최근 수정 시각 : 2022-09-15 17:51:34

측도

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1. 개요
1.1. 왜 측도가 필요한가?
2. 정의 및 성질
2.1. 시그마 대수2.2. 측도2.3. 성질
3. 측도의 구성
3.1. 전측도3.2. 외측도와 대수3.3. 카라테오도리 정리와 측도
4. 용도5. 사용 예6. 관련 문서

1. 개요

/ measure

실해석학의 기초이자 집합에 ' 크기'라는 개념을 어떻게 부여할 수 있는지 추상적으로 정립한 것이다.

쉽게 예시를 들어서 설명해보면, 만약 물 한 컵이 있다고 해보자. 그러면 컵 안에는 물 분자들이 득시글할 텐데 컵 안에 물이 ‘얼마나’ 들어있는가를 어떻게 전달할 수 있을까? 물 분자 하나하나를 일일이 세서 몰 수로 전달해주거나 컵의 길이를 재서 부피를 정의하고 컵에 담겨있는 물의 부피를 계산하는 등의 다양한 방식을 생각해볼 수 있다. 이러한 방식들이 크기를 부여하는 과정이라고 할 수 있다. 전자는 물 분자 하나하나마다 1개라고 크기를 정의했을 때 물이 얼마나 들어있는가를 분자의 개수로 정의한 것이고, 후자는 길이라는 크기를 정의했을 때 물이 얼마나 들어있는가를 부피로 정의한 것이다. 위의 예시처럼 물이 담겨있는 컵과 그 안의 물 분자들에 크기 개념을 부여하는 작업을 집합과 원소의 개념으로 확장했을 때 얻어낸 집합에 크기의 개념을 바로 측도(測度, measure)라고 한다. 우리가 쓰는 길이, 질량, 부피, 개수, 확률 등 많은 것들이 측도가 될 수 있다.

더 간단한 설명을 들자면, 1차원 선의 집합에선 길이, 2차원 면의 집합에선 면적, 3차원 입체의 집합에선 부피가 바로 해당 차원의 측도이다.

1.1. 왜 측도가 필요한가?

그럼 기존에 있던 길이나 넓이, 개수 등을 쓰면 되지, 수학자들은 왜 굳이 측도라는 개념을 만들어낸 것일까? 이는 측도가 등장한 역사적 배경과 관련이 있다.

측도가 등장한 시점은 수학이 발전하면서 기존의 길이나 넓이가 불충분하게 느껴지는 시점이었다. 전통적으로 직사각형이 아닌 도형의 넓이는 구분구적법으로 계산하였고, 이것을 근대에 정립한 것이 바로 적분, 특히 리만 적분의 개념이었다. 현대식으로 말하면 영역 [math(A \subset \mathbb{R}^n)]이 있을 때, A 위에서는 1이고 A 밖에서는 0인 특성함수(characteristic function)의 적분이 넓이가 되는 것이다. 하지만 수많은 함수들은 리만 적분이 불가능했다. 예로 유리수 집합의 특성함수인 디리클레 함수
[math(\displaystyle \bold{1}_{\mathbb{Q}}(x) = \begin{cases} 1 & \text{if} \ x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases})]
도 리만 적분이 불가능하므로 이 기준으로는 유리수 집합의 길이를 정의할 수 없다. 수학자들은 자연스레 '리만 적분을 할 수 없는 경우에도 넓이를 생각할 수 있을까?'라는 의문이 떠올랐고, 여러 가지 새로운 넓이의 정의를 시도해 보았다. 그 결과 앙리 르베그(Henri Lebesgue, 1875-1941)가 기존의 조르당 측도(Jordan measure/Jordan contents) 등의 아이디어들을 정립해 르베그 측도(Lebesgue measure)와 그 위에서 이루어지는 르베그 적분을 만들어냈다. 르베그 측도는 유리수 집합 같은 경우도 길이를 줄 수 있었고(0이 된다), 무엇보다도 해석학에서 골머리를 때렸던 리만적분의 문제점을 다수 해결할 수 있었다. 자세한 것은 르베그 측도 문서에도 서술되어 있다.

하지만 르베그 측도도 모든 것을 잴 수는 없었는데, 수학자들이 이 르베그 측도마저 정의되지 않는 집합을 찾아냈던 것이다. 그런데 심지어 이건 르베그 측도의 개념이 불완전하기 때문이 아니었다. 정확히 말하면 길이의 조건을 만족하는 어떤 기준을 들고와도 비탈리 집합(Vitali set)이라 불리는 집합은 그 길이를 잴 수가 없었다.[1] 즉 수학자들은 모든 집합에 길이와 넓이를 주는 것은 어떻게 하든 불가능하다는 사실을 깨달은 것이다. 그러면 도대체 어떤 집합에 대해 길이와 넓이를 잴 수 있을까? 저 르베그 측도를 생각할 수 있는 집합만으로도 해석학을 하기에 과연 충분할까? 수학자들은 포기하는 대신에 이런 의문을 제시하고 해결하려 노력하면서 비로소 '측도론'을 정립하게 된다. 비록 모든 집합을 잴 수 없어도 르베그 측도가 잴 수 있는 집합들만 모아도 이들이 충분히 잘 행동하며 모순 없는 적분이론을 전개할 수 있다는 것이 바로 해석학(수학)에서의 측도론의 내용이다.

기존의 길이나 넓이가 없는 곳에서는 어떻게 측도를 생각할 수 있을까? 이에 대한 질문은 의외로 확률론에서 시작되었다. 확률 문서에도 있지만 확률이 무엇인지 정의하는 문제는 의외로 수학자들을 나름 골먹여 온 것중 하나였는데, 연속적인 공간에서 일관성 있게 확률을 정의하는 방식이 없었기 때문이다. 확률을 종종 넓이로 생각하던 기하학적 확률의 사고방식과 맞물려 측도론의 아이디어들이 확률론에도 점차 들어오게 되었고, 이것을 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov, 1903-1987)가 '확률=측도'로 정확히 못박은 것이 현대 공리적 확률론의 출발점이다. 더 정확히는 이 확률론에서의 측도를 정립하는 과정에서 실수 위에서만 적용되던 기존의 측도 내용이 임의의 집합에 대해서까지 일반화된 것에 가깝다.

이제 측도론은 길이/넓이 뿐만이 아니라 일반적인 상황을 다루어야 했고, 어떻게 하면 최소한의 조건만 갖고도 측도를 만들어낼 수 있을까에 대한 의문을 해결하게 되었다. 예를 들어 동전을 끝없이 던지는 상황을 생각해 보면, 앞면과 뒷면이 나오는 비율이 1로 수렴할 확률은 얼마일까? 아니 애초에 저 사건에 확률을 줄 수 있을까? 저 공간 자체에 확률을 주는 것이 가능은 할까? 의외로 이런 비교적 일상적인 상황에서도 확률을 모순없이 정의하는 데에는 측도론이 필요했던 것이다.

2. 정의 및 성질

2.1. 시그마 대수

위에서 설명했듯이 세상 모든 임의의 부분집합에 길이, 면적, 부피 등의 측도를 부여할 수 없기 때문에[2] 측정할 수 있는 대상을 엄밀히 정의하는 과정이 필요한데 이것이 바로 시그마 대수 (sigma-algebra 혹은 sigma-field)이다.
시그마 대수 자체는 측정할 수 있는 대상(measurable sets)을 모아 놓은 집합으로 후술할 측도의 엄밀한 정의와 호환되게 하기위해 아래와 같이 정의할 수 있다.
어떤 집합 [math(X)]가 있을 때 시그마 대수 [math(\mathcal{M})]은 [math(X)]의 부분집합으로 이루어진 집합인데 다음의 조건이 만족되어야 한다.
i. 공집합 [math(\emptyset)]과 전체 집합 [math(X)]는 [math(\mathcal{M})]에 속해 있다. (전체집합과 공집합은 잴 수 있다.)
i. [math(\mathcal{M})]에 속하는 어떤 임의의 원소 [math(M)]에 대해 [math(M)]의 여집합(complement) 역시 [math(\mathcal{M})]에 속한다. ([math(M)]이 잴 수 있으면 [math(M^c)]도 잴 수 있다.)
i. [math(M_1, M_2, \ldots)]이 [math(\mathcal{M})]에 속한다면 이들의 가산합집합 (countable union) [math(\cup_{i=1}^{\infty} M_i)] 역시 [math(\mathcal{M})]에 속한다. (무한번이더라도 셀 수 있을만큼의 잴 수 있는 집합들을 합하면 그 역시 잴 수 있다.)

2.2. 측도

측도는 어떤 집합의 크기를 재는 방법이므로 엄밀하면서도 쉽게 말하면 어떤 '잴 수 있는 집합'(즉, 시그마 대수의 원소)들에 함수를 부여한다고 할 수 있다. 단, 다음의 조건이 만족되어야 한다.
어떤 집합 [math(X)]가 주어져 있고 [math(X)]의 부분집합 중 잴 수 있는 집합(Measurable set)을 모아둔 집합족[3](즉, 시그마 대수)을 [math(\mathcal{M})]이라 할 때,
[math(\mathcal{M})]에서 구간 [math(\left[0,\,\infty\right])]로 가는 함수 [math(\mu\,:\,\mathcal{M}\to\left[0,\,\infty\right])] 에 대하여 다음이 성립한다.
i. 공집합의 측도는 0이다. 즉, [math(\mu\left(\emptyset\right)=0)]
i. [[math(\sigma)]-additive] [math(\mathcal{M})]에 속하는 임의의 서로소[4]인 가산 집합족(Countable disjoint family) [math(\left\{E_{k}\right\}_{k=1}^{\infty})] 이
[math({\displaystyle \mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\,E_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty}\mu\left(E_k\right)})] 를 만족한다. 즉, 만나지 않는 집합들의 합의 측도는 각 집합의 측도의 합과 같다.
이 때, [math(\left(X, \mathcal{M}, \mu\right))]를 집합 [math(X)]로 구성된 측도 공간(Measure space)이라고 하고, [math(\mu)]를 [math(\mathcal{M})] 위에서 정의된 측도(Measure)라고 한다.
쉽게 말하면, 원소가 없는 공집합은 크기를 0이라 하고, 서로 다른 잴 수 있는 집합들은 합집합을 하던 따로 측도를 계산해서 합하던 결국 셀 수 있는 연산 내에선 두 측도는 같다는 의미이다.

여기서 측도 [math(\mu)]의 정의역이 [math(X)]의 모든 부분집합을 다 모아놓은 [math(\mathcal{P}(X))] 가 아닌 '잴 수 있는 집합(Measurable set)'이란 것에 주목해보자. 우리는 측도를 잴 때 측도를 재길 원하는 대상들만 골라 선택하므로, 후에 추술할 측도를 재길 원하는 집합들만 깔끔하게 모아놓을 수 있는 특정한 조건을 만족하면 그 위에서 측도를 정의할 수 있다. 때문에 굳이 모든 부분집합들을 잡을 필요는 없다.

2.3. 성질

측도 공간(Measure space) [math(\left(X, \mathcal{M}, \mu\right))] 가 주어졌다고 하자.
i. [Monotonicity] 만약 [math(A, B \in \mathcal{M})]이고, [math(A \subseteq B)]이면 [math(\mu(A) \le \mu(B))] 이다.
i. [Excision] 만약 [math(A, B \in \mathcal{M})]이고, [math(A \subseteq B)]일 때, [math(\mu(A) < \infty)]이면 [math(\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A))] 이다.
i. [Countable Monotonicity] [math(E \in \mathcal{M})]일 때, [math(E)]를 덮는, 즉 [math(E \subseteq {\displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k})] 인 가측인 가산 집합족 [math(\{E_k\}_{k=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{M})] 에 대해
[math(\mu(E)\,\le\,{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\mu(E_k)})] 를 만족한다.

3. 측도의 구성

3.1. 전측도

3.2. 외측도와 대수

3.3. 카라테오도리 정리와 측도

4. 용도

가장 흔하고도 많이 쓰이는 측도는 '길이'일 것이다.[5] 이를 르벡 측도(Lebesgue measure)라 하며 르베그 적분의 중요한 요소이다. 르벡 측도의 여러 성질을 이용하면 우리가 쉽게 생각하지 못하는 놈의 길이도 잴 수 있다. 예를 들어, '0과 1 사이의 유리수로 된 집합의 길이'는 얼마인가? 르벡 측도는 숫자 하나에 대해선 값이 0이다. 점은 당연히 길이가 0이므로. 게다가 유리수는 셀 수 있는 집합이므로 0을 무한 번 더한 것이 르벡 측도가 된다. 따라서 그 값은 0.

이렇듯 측도론은 어지간한 집합에 대해서는 그 값을 알려 줄 수 있지만 잴 수 없는 집합도 존재한다. 대표적인 예가 비탈리 집합(Vitali set)이다. 비탈리 집합이란 다음과 같다.
1. 두 실수 [math(x, y)]에 대해 [math(x-y \in \mathbb{Q})]이면 [math(x \sim y)]라고 정의한다.

2. 실수 x에 대해 [math( \left[x\right] = \left\{ y \in \mathbb{R} : x \sim y \right\} )]라 정의한다.

3. 선택함수 [math( C: \left\{ \left[x\right] : x \in \mathbb{R} \right\} \to \left[0, 1 \right] )]를 정의한다. 즉, C는 [math( C\left( [x] \right) \in \left[ x \right] \cap \left[0, 1 \right])]인 함수이다.

4. [math( V= \left\{ C\left( [x] \right) : x\in \mathbb{R} \right\} )]이라 하면 [math( V)]는 비탈리 집합이 된다.

[math(q \in \mathbb{Q} )]에 대하여, [math( V_q = \left\{ v+q : v\in V \right\} )]라 하자. 그러면 [math( V)]의 정의에 의하여, 서로 다른 유리수 [math(p, q )]에 대해 [math( V_p \cap V_q = \emptyset)]임을 알 수 있다. 한편 [math( V_q )]는 [math( V)]를 평행이동한 것일 뿐이므로 만약 [math( V)]가 잴 수 있는 집합이라면 [math( V)]와 [math( V_q )]의 측도는 서로 같다. 이때 구간 [math( [-1, 1])]에 있는 모든 유리수를 모은 집합을 [math( \left\{ q_1, q_2, q_3, \cdots \right\})]라고 하면 포함관계
[math(\displaystyle [0,1] \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} V_{q_i} \subset [-1, 2])]
가 성립한다. 그러면 [math( V)]의 측도를 [math(m)]이라 놓을 때, [math(\displaystyle 1\leq \sum_{i=1}^{\infty} m \leq 3)]이 성립해야 하므로 모순이다. 따라서 비탈리 집합 [math( V)]는 잴 수 없는 집합이다.

5. 사용 예

측도는 실해석학의 기본으로 확률론쪽에서 굉장히 많이 쓰인다. 확률이라는 개념 자체를 '확률 측도'라는 개념으로 엄밀하게 따지고 들며, 그 외에도 하우스도프 측도를 굉장히 많이 사용한다.

길이, 면적, 부피를 일반화한 르베그 측도의 백미는 이를 이용한 르벡 스틸체스 적분이나 미적분학의 극한 정리를 유도할 수 있다. 르베그 적분이 측도로 적분하는 것이며, 이것은 흔히 '미적분' 하면 생각나는 리만 적분이 불가능한 함수에 대해서도 적분을 하게 해 준다. 경제에서는 이 적분법이 금융수학에서 사용되므로 깊게 배우면 만날 수 있다. 사실 말은 안했지 경제학에서 쓰는 적분이 이거라고 생각하면 된다. 그렇다고 함부로 수강하지말자. 학부과목이라도 수학과 학생뿐 아니라 경제학 석사생들이 사이좋게 멘붕한다.

물리학의 경우 통계역학으로 가면 '깁스 측도' 라는, 바른틀 앙상블을 확장시킨 개념을 만나볼 수 있다.

전산학의 경우, 요즈음 베이즈 통계학에 기반한 방법론들이 판을 치고 있는 것과는 별개로 측도론을 사용해서 엄밀한 접근을 하는 경우가 있다.

6. 관련 문서

  • 선택공리 - 측도론의 내용은 거의 모든 부분에서 엄밀한 공리적 접근 없이는 수학적 개념이 공허해질 수 있는 함정에 빠질 수 있다. 그러한 접근 중 측도에서 가장 관련성이 있는 것은 선택 공리이다. 가장 대표적인 예로, 비탈리 집합이 르벡 비가측임을 증명하는 데 선택공리를 사용한다. (정확히는 비탈리 집합을 만들 때 선택공리를 이용하여 만든다.)
  • 측정 - 사회과학 연구방법론에서 취급되는 개념.

[1] 엄밀하게 말하면 다음과 같다. 실수 위의 구간의 부분집합에 숫자를 주는 함수 [math(\mu)]가 평행이동에 대한 불변성([math(\mu(A+c) = \mu(A))])과 포함에 대한 대소([math(A \subset B)]이면 [math(\mu(A) \le \mu(B))])를 모두 만족하게 할 수 없다. 이 함수로 비탈리집합 [math(V)]을 재서 나온 [math(\mu(V))]를 무한번 더했을 때 1보단 크고 3보단 작은 무언가가 나와야한다. 무한소를 포함하는 초실수라면 가능할 수도? [2] 물론 "무조건 0인 측도"같은 아무짝에 쓸모 없는 측도는 부여할 수 있지만 뭔가 유용한 측도를 부여할 수 없다. 자세한 내용은 바나흐-타르스키 역설 참조 [3] 집합을 원소로 갖는 집합이다. [4] [math(E_i \cap E_j=\emptyset\ (i \ne j))], 서로 만나지 않는 집합이란 의미이다. [5] 다르게 보면 길이보다는 , 마리, 횟수 같은 ' 셈 측도(Counting measure)'일 수도 있다. 단지 0차원이라서 중요성이 떨어질 뿐.