1. 정의
조화수(harmonic numbers) [math(\boldsymbol{H_n})]은 자연수 [math(n)]에 대하여 다음과 같은 조화수열의 합으로 정의되는 수이다. ([math(n=0)]인 경우, [math(H_n=H_0=0)]으로 정의된다.)[math(\displaystyle H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k )]
특히, [math(n\to\infty)]일 때에 해당하는 다음 급수는 '조화급수'라고 하며, 이는 양의 무한대로 발산함이 알려져 있다.[1]
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k=1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty )]
나아가 비교판정법에 의하여 다음과 같은 임의의 조화수열의 무한급수는 항상 발산한다.
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac a{1+a(k-1)d} = a +\frac a{1+ad} +\frac a{1+2ad} +\cdots)]
니콜 오렘(Nicole Oresme, 1325~1382)은 조화급수가 아래 관계임을 보여 수렴하지 않음을 증명했다.
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k > 1+\frac12\sum_{k=2}^\infty 1 )]
조화수를 아래와 같이 무한급수로도 표현할 수 있다. 급수를 전개해보면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
[math(\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{\infty} \!\left( \frac1k - \frac1{k+n} \right) )]
한편, 조화수의 정의역을 양의 실수로 확장할 수도 있다. 이 때에는 아래와 같이 정적분으로 표현한다. [math(x)]가 자연수일 때는 분수를 약분한 후 정적분하면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
[math(\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t )]
2. 성질
2.1. 점화 관계
조화수는 다음과 같은 점화식 관계를 만족한다. [math(x)]가 자연수 [math(n)]일 때에는 아래의 점화 관계를 직관적으로 이해할 수 있다.[math(\displaystyle H_{x+1}=H_x+\frac1{x+1} )]
2.2. 반사 공식
조화수에는 다음과 같은 반사 공식이 존재한다. 디감마 함수의 반사 공식으로부터 쉽게 유도할 수 있다.[math(\displaystyle H_{1-x}-H_x=\pi\cot(\pi x)+\frac1{1-x}-\frac1x )]
3. 적분
정적분식 정의를 사용하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 H_x \,\mathrm{d}x &= \iint_{(0,\,1)^2} \frac{1-t^x}{1-t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}x = \gamma \\
\int_0^n H_x \,\mathrm{d}x &= n\gamma + \ln(n!)
\end{aligned})][2][3]
여기서 [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이고 [math(n)]은 자연수이다.
4. 일반화
조화수를 일반화한 버전으로, '일반화된 조화수'(generalized harmonic numbers)를 생각할 수 있다. 다음과 같이 정의된다.[math(\displaystyle H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n\frac1{k^m} )]
[math(n)]을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.
[math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n^{(m)} = \zeta(m) )]
5. 생성함수
조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다. 증명은 생성함수 문서의 해당 부분에서 볼 수 있다.[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_nx^n=-\frac{\ln(1-x)}{1-x} )]
조화수의 지수 생성함수는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}H_n\frac{x^n}{n!}&=-e^x\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k\frac{(-x)^k}{k!} \\&=e^x[\mathrm{Ei}(x)+\gamma+\ln x] \end{aligned} )]
여기서 [math(\mathrm{Ei}(x))]는 지수 적분 함수이다.
일반화된 조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_n^{(m)}x^n=\frac{\mathrm{Li}_m(x)}{1-x} )]
여기서 [math(\mathrm{Li}_m(x))]는 폴리로그함수이다.
6. 알려진 값
실수 범위에서 몇 가지 알려진 조화수의 값은 다음과 같다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
H_{1/2} &= 2 -2\ln2 \\ &\approx0.6137056389 \\ H_{1/3} &= 3 -\frac32\ln3 -\frac\pi{2\sqrt3} \\ &\approx0.4451818849 \\ H_{1/4} &= 4 -3\ln2 -\frac\pi2 \\ &\approx0.3497621315 \\ H_{1/5} &= 5 -\frac54\ln5 +\frac12\ln2 -\frac\pi{10}\sqrt{25+10\sqrt5} \\ &\qquad +\frac{\sqrt5-1}4\ln(\sqrt5-1)-\frac{\sqrt5+1}4\ln(\sqrt5+1) \\ &\approx0.2881757683 \\ H_{1/6} &= 6 -\frac32\ln3 -2\ln2 -\frac{\sqrt3}2\pi \\ &\approx0.2450881595 \end{aligned} )] |