효용극대화 문제

1. 개요

소비자의 욕구는 무한하지만 예산(소득)은 유한하다. 무한한 욕구를 충족하려면 무한한 재화가 필요하지만 예산이 부족하여 그럴 수 없다. 따라서 소비자는 자신의 한정된 예산으로 구입할 수 있는 소비묶음 중에서 본인의 효용이 최대가 되는 것을 선택해야 한다. 이 선택을 최적 선택( 最適選擇, optimal choice) 또는 소비자 균형( 消費者均衡, consumer equilibrium)이라고 한다. 그리고 소비자의 선호를 효용함수로 표시하면, 이를 효용극대화 문제( 效用極大化問題, utility maximization problem)라고 한다.

소비자의 최적 선택은 소비자의 주관적인 선호관계와 객관적인 예산제약에 따라 결정된다.[1] 일견 당연해 보이는 말이지만, 효용극대화 문제에서 사용하는 논리의 기본 원칙과도 같으므로 잘 기억하는 편이 좋다. 이에 따라 선호관계와 예산제약이 수요에 미치는 영향을 고찰할 필요가 있다. 또한 예산제약은 다시 각 재화의 가격과 소비자의 소득으로 결정되는데, 변수가 너무 많은 관계로 분석하기 어려워서 어느 한 쪽을 세테리스 파리부스의 가정에 따라 고정해 놓고 다른 한 쪽이 수요에 미치는 영향을 고찰하게 된다.

본디 경제학은 인간의 무한한 욕망 앞에 놓인 한정된 자원을 가지고 최대한의 효용을 이끌어내는 방법을 탐구하는 학문인바, 이러한 효용극대화 문제는 경제학의 가장 핵심적인 질문에 답하는 길이다. 또한, 주어진 효용을 최소한의 지출로 달성하는 방안을 모색하는 지출극소화 문제와 양대 산맥을 이루는, 소비자이론에서 매우 중요한 주제이다.

2. 소비자의 선택 원리

효용극대화 문제를 제대로 다루려면 먼저 다음의 소비자의 선택 원리들을 도출해야 한다.

자신의 소득을 모두 사용한다

이 원리는 단조성의 가정하에서 성립한다. 각 재화의 한계효용이 양이어서 재화의 소비량이 늘어날수록 전체 효용도 늘어난다는 가정이 있어야, 최대한의 효용을 얻기 위해 소득을 최대한으로 사용해야 한다는 논리가 성립하기 때문이다.

참고로, 효용함수 [math(U(x_1,\,x_2))]의 독립변수에는 소득이 나타나 있지 않은데, 그 이유는 소득을 가지고 있는 것 자체만으로 효용을 변화시킬 수 없기 때문이다. 소득은 직접 재화를 구매하는 데에 사용해야 비로소 효용에 영향을 준다. 소비자는 소득을 아무리 많이 가지고 있어도, 그것을 실제로 사용할 수도, 사용하지 않을 수도 있는 것이다. 다만 최대한의 효용을 얻기 위해서는 소득을 모두 사용해야 한다.

객관적 교환비율과 주관적 교환비율이 동일하도록 재화를 선택한다

예산선 문서에서 두 재화의 객관적 가치의 비율인 상대가격을 객관적 교환비율이라고 함을 설명했고, 효용함수 문서에서 소비자의 선호관계에 따라 달라지는 한계대체율을 주관적 교환비율이라고 함을 설명했다. 이 원리는 효용극대화 문제에서 결정되는 최적 선택은 항상 이 둘의 값이 동일해야 한다는 뜻이다.

한계대체율이 상대가격보다 크면 어떻게 될까? 예를 들어 재화1에 대한 재화2의 한계대체율이 2이고, 재화1과 재화2의 가격이 같아서 상대가격이 1이라고 하자. 그러면 소비자는 재화1 한 단위를 얻는 대신 재화2를 최대 두 단위 포기할 용의가 있는 셈이다. 그런데 두 재화의 시장가격은 같아서 상대가격이 1이므로, 실제로 재화를 구매할 때는 재화1 한 단위를 얻는 대신 재화2를 한 단위만 포기해도 되는 것이다. 소비자는 마음속으로 두 단위까지도 포기하려고 했었는데 실제로는 한 단위만 포기해도 된다면 소비자로서는 그만큼 단조성의 가정에 따라 효용을 증가시킬 수 있다.

한계대체율이 상대가격보다 작으면 어떻게 될까? 이번에는 한계대체율이 2가 아닌 0.5라고 하자. 그러면 소비자로서는 재화1 한 단위와 재화2 0.5단위가 무차별한 것이다. 그런데 객관적 교환비율은 1임에 따라 재화1 한 단위를 포기하면 재화2를 0.5단위가 아니라 그 이상, 곧 한 단위를 얻을 수 있다. 그러므로 단조성의 가정에 따라 효용을 증가시킬 수 있다.

요컨대, 한계대체율이 상대가격보다 크면 재화1을, 작으면 재화2를 구매함으로써 효용을 더욱 증가시킬 수 있다. 효용을 더욱 증가시킬 여지가 있다는 말은 곧 현재의 선택은 최적 선택이 아니라는 뜻이다. 따라서 한계대체율과 상대가격이 같은 지점에서 효용이 최대가 되어 효용을 더욱 증가시킬 수 없게 된다.

한계대체율과 상대가격을 비교하는 것은, 비용-편익의 원리에 따라 한계편익과 한계비용을 비교하는 것과도 같다. 한계편익이 한계비용보다 크면 선택수준을 증가시킬 때 순편익이 증가하며, 한계편익이 한계비용보다 작으면 선택수준을 감소시킬 때 순편익이 증가한다. 따라서 한계편익과 한계비용이 일치하는 지점에서 순편익은 극대화된다. 이와 같이 내용이 연계되는 이유는, 효용함수 문서에서 설명했듯이 한계대체율을 '재화1을 한 단위 더 소비할 때 소비자가 얻는 한계편익을 재화2의 양으로 표시한 것'으로도 해석할 수 있기 때문이다. 요컨대 다음이 성립한다.

한계대체율>상대가격 ⇔ 한계편익>한계비용
한계대체율=상대가격 ⇔ 한계편익=한계비용
한계대체율<상대가격 ⇔ 한계편익<한계비용

3. 기본 그래프 분석: 예산선과 무차별곡선

이제 그래프를 이용하여 분석해 보자. 위에서 설명한 소비자의 선택 원리를 해석기하학적으로 표현하면 다음과 같다.

최적 선택점은 예산선 위에 있다.
이 점에서 예산선과 무차별곡선은 접한다.

이것이 정확히 어떤 의미인지 다음 그림으로 알아보자.

점 [math(A)], [math(B)], [math(C)], [math(D)]는 모두 무차별곡선 위에 있으며, 각기 다른 소비묶음을 나타낸다. 또한 우하향하는 검정색 직선은 예산선 [math(p_1x_1+p_2x_2=m)]으로서, 회색으로 표시된 삼각형 모양의 예산집합을 나타낸다. 소비자는 이 회색 삼각형 안에 있는 소비묶음만을 소비할 수 있다. 또한, 단조성의 가정에 따라 적색 무차별곡선이 녹색 무차별곡선보다 원점에서 멀리 떨어져 있으므로 더욱 효용수준이 높다. 따라서 효용을 극대화하려면 적색 무차별곡선 위에 있는 소비묶음을 선택해야 한다. 이에 따라 네 점 중에서 최적 선택을 찾아 보자.

점 [math(A)]

예산집합 안에 있어서 소비자가 이 소비묶음을 소비할 수는 있으나 모든 예산을 소비하지 않았으므로 최적 선택이 아니다. 또한, 녹색 무차별곡선 위에 있어 상대적으로 효용수준이 낮은 선택이므로 최적 선택이 아니다.

점 [math(B)]

예산집합의 경계가 되는 예산선 위에 있으므로 소비자는 이 소비묶음을 소비함으로써 모든 예산을 소비하게 된다. 그러나 녹색 무차별곡선 위에 있어 상대적으로 효용수준이 낮은 선택이므로 최적 선택이 아니다.

점 [math(C)]

적색 무차별곡선 위에 있어 상대적으로 효용수준이 높은 선택이다. 그러나 예산집합 바깥에 있으므로 소비자의 예산제약하에서 소비할 수 없는 소비묶음이므로 최적 선택이 아니다.

점 [math(D)]

적색 무차별곡선 위에 있어 상대적으로 효용수준이 높은 선택이다. 또한, 예산집합의 경계가 되는 예산선 위에 있으므로 소비자는 이 소비묶음을 소비함으로써 모든 예산을 소비하게 된다. 따라서 모든 소비자의 선택 원리를 만족시키므로 최적 선택이다.

점 [math(D)]에서 예산선과 무차별곡선은 접한다. 접한다는 것은 이 접점에서의 접선의 기울기가 서로 같다는 의미이므로, 예산선의 기울기인 상대가격과 무차별곡선의 접선의 기울기인 한계대체율이 같다는 뜻이다.

이러한 소비자 선택 원리를 대수적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(p_1x_1+p_2x_2=m)]: 예산선 위에 있음
[math(MRS(x_1,\,x_2)=\dfrac{p_1}{p_2})]: 한계대체율=상대가격(객관적 교환비율=주관적 교환비율)

위 두 조건을 만족시키는 소비묶음이 최적 선택이 되며, 위 그림에도 표시되어 있듯이 최적 선택은 별표(*)를 사용하여 [math((x_1^*,\,x_2^*))]와 같이 표기한다. '엑스 원 스타 콤마 엑스 투 스타'와 같이 별표는 '스타(star)'로 읽으며, [math(x_1^*)]와 [math(x_2^*)]는 소비자가 최종적으로 구매하려는 재화의 양이므로 두 재화에 대한 수요( 需要, demand)라고 한다. 수요는 단순히 무언가를 갖고 싶다는 욕구가 아니라, 구매력이 수반된 욕구의 개념임이 여기에서도 드러나는 것이다.

4. 선호관계가 수요에 미치는 영향

일반적으로, 재화1을 상대적으로 더 좋아하는 소비자는 재화1에 치중하는 소비를 하며, 그렇지 않은 소비자보다 한계대체율이 크다. 재화1을 더 좋아하는 만큼, 재화1을 얻기 위해서라면 재화2를 기꺼이 더 많이 포기할 것이기 때문이다. 한계대체율은 무차별곡선의 접선의 기울기이므로 재화1을 좋아하는 소비자일수록 무차별곡선이 가파르며, 이에 따라 최적 선택은 예산선상에서 우하로 치우치게 된다. 곧, 재화1을 재화2보다 더 많이 수요한다. 반면 재화2를 더 좋아하는 소비자는 모든 것이 반대가 된다. 무차별곡선이 완만해지고 최적 선택은 예산선상에서 좌상으로 치우쳐, 재화2를 재화1보다 더 많이 수요한다. 다음 그림을 참고하자.

여기에서 주목할 점은, 선호가 다른 두 소비자의 각 최적 선택 [math(A)], [math(B)]는 한계대체율이 같다는 점이다. 효용극대화 문제에서 소비자들은 항상 자신의 한계대체율을 상대가격에 맞추려고 하는데, 이 상대가격은 객관적 교환비율로서 모든 소비자들에게 동일하게 적용되기 때문에 여기에 맞게 한계대체율을 조정한 것이 다름 아닌 최적 선택인 이상 모든 소비자의 최적 선택은 한계대체율이 같으며, 그 값은 두 재화의 상대가격과 같다.

4.1. 1계 조건과 2계 조건

우선, 앞서 언급한 '소비자의 선택 원리'를 1계 조건( 一階條件, first order condition; FOC)이라 한다. 그런데 1계 조건을 만족시키는 선택이 최적이 되지 못하고 오히려 최악이 되는 경우가 있다. 어떤 선택이 최적 선택임을 확신하려면 2계 조건( 二階條件, second order condtion; SOC)까지 만족시켜야 한다. 2계 조건은 다름이 아니라 무차별곡선이 원점을 향해 볼록할 것(=한계대체율이 체감할 것)을 요구한다. 2계 조건이 성립하지 않으면 1계 조건으로 최적 선택을 찾으면 안 된다. 그 이유를 알아보기 위해 한계대체율이 체증하는, 곧 원점을 향해 오목한 무차별곡선을 살펴 보자.

위 그림과 같이 한계대체율이 체증하여 무차별곡선이 원점을 향해 오목할 때, 점 [math(A)]는 소비자의 선택 원리를 모두 만족시킨다. 예산선 위에 있으면서 이 점에서 무차별곡선과 예산선이 접하기 때문이다. 그러나 점 [math(A)]가 위치한 무차별곡선보다 효용수준이 더 높은 보라색 무차별곡선이 존재한다. 이 보라색 무차별곡선 위에 있으면서 예산집합 내에 속하는 점으로는 [math(B)], [math(C)]가 있다. 다시 말해서 [math(A)]보다 [math(B)]와 [math(C)]가 효용이 더 높으므로 굳이 [math(A)]를 선택할 이유가 없는 것이다. 요컨대, 예산선 위에 있는 점 중에서는 무차별곡선과 예산선이 접할 수 있는 점 [math(A)]가 가장 효용이 낮다. 한계대체율이 체감하던 상황과는 정반대로, 점 [math(A)]는 최적 선택이 아닌 최악의 선택인 것이다. 두 재화가 모두 비재화(bads)일 때 이런 형태의 무차별곡선이 나타날 수 있다.

요약하면, 최적 선택이 되기 위해서는 예산선과 무차별곡선이 접하는 점이기만 해서는 안 되며, 무차별곡선이 원점을 향해 볼록한 무차별곡선(한계대체율체감)이어야 한다.

4.2. 코너해와 내부해

나아가, 1계 조건(소비자 선택 원리)과 2계 조건(한계대체율체감)을 모두 만족시키는 소비묶음이 존재하지 않는 경우도 있다. 이 경우에는 1계 조건과 2계 조건을 가지고 최적 선택을 찾아낼 수 없다. 이런 상황은 무차별곡선이 직선인 경우 혹은 무차별곡선이 원점을 향해 볼록하지만 그 정도가 미미한 경우에 발생하는데, 최적 선택이 존재하지 않는 것은 아니다. 다만 찾아내는 방법이 다를 뿐이다. 다음 그림을 보자.

[math(\rm(a))]와 같이 한계대체율이 상대가격보다 크면, 무차별곡선이 예산선보다 기울기가 급하다. 위에서 밝혔듯이 한계대체율이 상대가격보다 크면 소비자는 재화1을 더 소비하면서 효용을 증가시키려 한다. 이에 따라 효용이 최대가 되는 점은 가장 원점에서 멀리 떨어진 보라색 무차별곡선 위에 있으며, 이 점은 횡축 위에 있게 된다. 곧, 재화1만을 소비하는 것이 최적 선택이다.

반면 [math(\rm(b))]와 같이 한계대체율이 상대가격보다 작으면, 무차별곡선이 예산선보다 기울기가 완만하다. 위에서 밝혔듯이 한계대체율이 상대가격보다 작으면 소비자는 재화2를 더 소비하면서 효용을 증가시키려 한다. 이에 따라 효용이 최대가 되는 점은 가장 원점에서 멀리 떨어진 보라색 무차별곡선 위에 있으며, 이 점은 종축 위에 있게 된다. 곧, 재화2만을 소비하는 것이 최적 선택이다.

요약하면, 무차별곡선이 직선이면 한 재화만을 소비하는 것이 최적 선택이며, 이는 위 그림과 같이 좌표평면의 제1사분면상의 구석에 나타나므로 이를 코너해(corner solution)라고 한다. 다시 말해서 무차별곡선이 직선이면 코너해가 발생한다. 반면 더 위에서 살펴본 바와 같이 구석이 아닌 곳에 최적 선택이 나타나면 이를 내부해( 內部解, interior solution)라고 한다. 따라서 모든 최적 선택은 코너해 또는 내부해이다. 코너해와 내부해의 정확한 정의는 다음과 같다.

코너해: 한 재화의 소비가 0인 최적 선택
내부해: 두 재화의 소비가 모두 양인 최적 선택

사실, 위에서 소비자들의 한계대체율이 최적 선택을 이룬 뒤에는 모두 상대가격과 같아진다고 했는데, 이는 엄밀히 말하면 최적 선택이 내부해일 경우에만 해당한다. 최적 선택이 코너해이면 앞서 살펴본 그림과 같이 한계대체율과 상대가격이 절대로 같아질 수 없기 때문이다.

1계 조건과 2계 조건을 다시 보자. 단조성의 가정하에서 코너해와 내부해는 모두 예산선 위에 있다. 다시 말해서 모든 경우에 1계 조건 중 첫째 것은 성립한다. 소비자가 갖고 있는 예산을 전부 써서 가능한 한 재화를 많이 구입해야 효용이 가장 많이 늘어난다는 것이 단조성의 가정 그 자체이기 때문이며, 최적 선택이 코너해인지 내부해인지는 중요하지 않은 것이다. 반면, 내부해와 달리 코너해는 일반적으로 1계 조건 중 둘째 것과 2계 조건을 만족시키지 않는다. 코너해의 경우 무차별곡선과 예산선이 접할 수 없기 때문에 1계 조건 중 둘째 것을 무조건 만족시키지 못한다. 또한, 2계 조건은 한계대체율체감을 의미하는데, 한계대체율이 체증하여 무차별곡선이 원점을 향해 오목하더라도 코너해가 발생할 수 있다. 이 경우 소비자는 앞서 밝혔듯이 예산선과 무차별곡선이 접하는 점에서는 오히려 최악의 선택을 하게 되며, 예산선의 중간에서부터 멀리 떨어질수록 효용이 높아져 결국 우하단이나 좌상단의 점이 코너해가 된다.

코너해를 직관적으로 해석해 보자. 한 소비자가 항상 사과 한 개를 배 두 개만큼 좋아하는데 시장에서는 사과 한 개와 배 한 개의 가격이 같다고 하자. 그러면 이 소비자에게는 사과와 배가 완전대체재이고 한계대체율은 2로 일정하다. 따라서 무차별곡선은 기울기가 2인 직선이다. 이때 소비자는 배를 사 먹을 이유가 없다. 왜냐하면 사과와 배가 가격은 같은데 사과가 배보다 두 배 더 좋기 때문이다. 따라서 소비자는 사과만 먹으며, 이것이 바로 무차별곡선이 직선일 경우 나타나는 코너해이다. 그렇다고 해서 배가 소비자에게 비재화인 것은 아닌데, 배를 공짜로 준다면 물론 마다하지는 않기 때문이다. 반대로 배 한 개를 사과 두 개만큼 좋아한다면 한계대체율은 0.5가 되어 상대가격 1보다 작아진다. 이 경우 소비자는 배만 먹는데 이 역시 코너해이며, 마찬가지로 사과를 공짜로 준다면 마다하지는 않는다.

5. 예산제약이 수요에 미치는 영향

바로 위 문단에서 선호관계에 따라 한계대체율과 무차별곡선이 달라진다는 점에 입각하여 선호관계가 수요에 미치는 영향을 알아보았다. 이번에는 예산제약을 나타내는 예산선이 변화하면 최적 선택이 어떻게 변화하는지를 고찰해 보자.

예산집합이 변하면, 최적 선택도 물론 따라서 변한다. 예산집합을 한정하는 예산선의 방정식은 [math(p_1x_1+p_2x_2=m)]인 만큼, 예산집합을 결정하는 변수는 각 재화의 가격 그리고 소비자의 소득이다. 이 변수들의 변화에 따른 소비자 균형의 변화를 함수로 나타낸 것을 수요함수( 需要函數, demand function)라고 하고, 해당 소비자 균형을 나타내는 각 재화의 소비량을 특별히 수요( 需要, demand)라고 하여 [math(x_1^*)] 그리고 [math(x_2^*)]로 표시한다. 수요함수의 형태는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}x_1^*&=x_1(p_1,\,p_2,\,m)\\x_2^*&=x_2(p_1,\,p_2,\,m)\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{x_1})]과 [math(\boldsymbol{x_2})]의 수요함수

요컨대, 수요함수는 두 재화의 가격과 소득이 주어질 때 소비자가 최종적으로 선택하게 되는 각 재화의 소비량(소비자 균형)을 알려준다.

일반적으로, 함수를 분석할 때는 그래프로 시각화하는 것이 효과적이지만, 수요함수의 독립변수는 [math(x_1)], [math(x_2)], [math(m)] 이렇게 세 개이므로 4차원 그래프를 그려야 하는데 이는 불가능하다. 그래서 세테리스 파리부스의 가정에 따라 소득이나 가격 중 어느 하나를 고정하여, 나머지 하나의 변화에 따른 수요의 변화를 그래프로 나타내는 수밖에 없다. 다시 말해서, 소득과 수요의 관계 그리고 가격과 수요의 관계를 따로 고찰해야 한다.

5.1. 한계대체율체감의 법칙에 관하여

한계대체율체감의 법칙을 설정하는 이유를 효용함수 문서에서 직관적으로 설명했는데, 이 문서에서는 효용극대화 문제를 좌표평면상에서 분석하는 방법을 사용하여 이유를 밝혀보자.

우선, 한계대체율이 체증하면 무차별곡선이 원점을 향해 오목해지고, 이 경우 다음 그림과 같이 최적 선택은 예외 없이 코너해이다.

그런데 현실의 소비자들은 코너해를 실현하는 경우가 그다지 많지 않다. 다시 말해 두 재화를 적절히 조합해서 소비하지, 한 재화만을 소비하는 양상을 좀처럼 보이지 않는다. 따라서 한계대체율체증을 가정하면 대부분의 소비자들이 실현하는 내부해를 설명하기 어렵다. 또한, 한계대체율체증을 가정하면 변수들의 미미한 변화에도 최적 선택이 상식적으로 이해하기 힘들 정도로 극단적으로 변한다. 다음 그림을 보자.

[math(\rm(a))], [math(\rm(b))], [math(\rm(c))]는 동일한 무차별곡선에서 예산선의 기울기만을 변형한 것이다. 예산선의 기울기는 상대가격이므로, 곧 재화의 가격의 비율이 변화함에 따라 최적 선택이 어떻게 변하는지를 보고자 하는 것이다. 참고로 위 그림의 무차별곡선은 원호이다.

[math(\rm(a))]: [math(p_1<p_2)]이므로 상대가격이 1보다 작다. 이 경우 코너해는 횡축에 나타난다(=재화1만을 소비한다).
[math(\rm(b))]: [math(p_1>p_2)]이므로 상대가격이 1보다 크다. 이 경우 코너해는 종축에 나타난다(=재화2만을 소비한다).
[math(\rm(c))]: [math(p_1=p_2)]이므로 상대가격이 1이다. 이 경우 코너해는 횡축과 종축에 나타난다(=재화1만을 소비하거나 재화2만을 소비한다).
코너해가 발생하는 위치는 상대가격에 의존한다.

이와 같은 결론이 왜 문제가 되는지 알아보자. 예를 들어

[math(p_1=100001,\,p_2=100000)]

인 경우를 보자. 그러면 상대가격은 [math(p_1/p_2=1.00001>1)]이므로 [math(\rm(a))]에 해당하여 코너해는 종축에 나타난다. 곧, 재화2만을 소비하는 것이 최적이다. 그런데 [math(p_1)]의 가격이 딱 2만큼 내렸다고 해 보자. 그러면 다음이 성립한다.

[math(\dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{99999}{100000}=0.99999<1)]

이 경우, 매우 미세한 변화이긴 하지만 상대가격이 1보다 작아진 것은 사실이므로, [math(\rm(b))]에 해당하여 코너해는 횡축에 나타난다. 곧, 재화1만을 소비하는 것이 최적이다. 가격이 매우 미세하게 변했는데, 최적 선택이 극단적으로 변한다. 고작 2의 변화분 때문에, 재화2만을 소비하다가 재화1만을 소비하는 것이 최적이라는 결론이 나온다.

현실적으로 생각해 보자. 짜장면이 4000원이고 짬뽕이 5000원인데, 원래 짜장면만 먹다가 짜장면의 가격이 1원 올라서 4001원이 되자마자 '상대가격의 변화에 따라서' 짬뽕만 먹는 사람(...)이 있을까? 이와 같이 미세한 가격 변화에 매우 민감하게 반응하는 양상은 대부분의 사람들에게 공감을 얻지 못할 것이다. 이와 같은 문제는 한계대체율체증을 가정했기 때문에 발생한다. 요컨대, 미세한 가격 변화에 대하여 소비자의 선택이 극단적이 아닌 연속적으로, 서서히 변해감을 자연스럽게 설명하기 위해서 한계대체율체감을 가정하는 것이다.

5.2. 소득과 수요의 관계

소득이 변화할 때 수요가 어떻게 변하는지 알아보자. 이를 위해 각 재화의 가격은 일정한 수준으로 고정한다. 예산선의 방정식에는 소득이 포함되어, 각 재화의 가격이 고정되어 있을 때 소득이 변화하면 예산선이 변화한다. 소득이 증가하면 예산선은 원점에서 더욱 멀리 떨어져 예산집합을 확장시킨다. 곧, 소비할 수 있는 소비묶음의 범위가 늘어나는 셈이다. 그러나 예산선의 기울기는 각 재화의 가격의 비율로 계산되는 상대가격이므로, 소득의 변화만으로는 전혀 영향을 받지 않는다. 이제 다음 그림을 보자.

위 그림은 소득이 [math(m)]에서 [math(m')]으로 증가한 상황을 나타낸다. 소득이 증가하기 전에는 예산선과 무차별곡선이 접하는 점 [math(A)]가 최적 선택이 된다. 그런데 소득이 [math(m')]으로 증가하면 점 [math(A)]는 더 이상 예산선 위에 있지 않게 되므로 최적 선택이 아니다. 그러면 새로운 최적 선택은 어디에 있을까? 한 가지 확실한 것은 새로운 예산선상에서 점 [math(B)]와 [math(C)] 사이에 존재한다는 것이다. 왜냐하면 효용수준이 다른 무차별곡선은 교차하지 않으므로, 원점을 향해 볼록한 무차별곡선이 새로운 예산선과 접하기 위해서는 기하학적으로 접점이 점 [math(B)]와 [math(C)] 사이에 존재할 수밖에 없기 때문이다. 새로운 최적 선택으로서의 그 접점이 구체적으로 어디에 있는지는, 효용수준이 더 높은 새로운 무차별곡선이 정확히 어디에 그려지느냐에 따라 결정될 것이다. 다음 그림을 보자.

새로운 예산선에 접하는, 효용수준이 더욱 높은 무차별곡선은 보라색으로 표시되어 있으며, 이에 따라 최적 선택은 점 [math(A)]에서 점 [math(D)]로 변한다. 이제 [math(\rm(a))], [math(\rm(b))], [math(\rm(c))]의 차이를 분석해 보자.

[math(\rm(a))]: 점 [math(D)]는 점 [math(A)]보다 오른쪽 위에 있다. 곧, 재화1과 재화2의 수요가 모두 증가한다.
[math(\rm(b))]: 점 [math(D)]는 점 [math(A)]보다 왼쪽 위에 있다. 곧, 재화1의 수요는 감소하고 재화2의 수요는 증가한다.
[math(\rm(c))]: 점 [math(D)]는 점 [math(A)]보다 오른쪽 아래에 있다. 곧, 재화1의 수요는 증가하고 재화2의 수요는 감소한다.

소득이 증가할 때 수요가 증가하는 재화를 정상재( 正常財, normal goods)라고 하며, 소득이 증가할 때 수요가 감소하는 재화를 열등재/하급재( 劣等財/ 下級財, inferior goods)라고 한다. 이 정의에 따르면, 위 그림에서 [math(\rm(a))]는 두 재화가 모두 정상재인 경우, [math(\rm(b))]는 재화1이 열등재이고 재화2가 정상재인 경우, [math(\rm(c))]는 재화1이 정상재이고 재화2가 열등재인 경우가 된다.

특기할 만한 점은, 소득이 증가할 때 두 재화의 수요가 모두 감소할 수는 없다는 것이다. 곧, 적어도 한 재화의 수요는 증가해야 하며, 두 재화가 모두 열등재가 될 수는 없다. 가격이 고정되어 있고 소득이 증가하면 예산선은 위로 평행이동하는데, 두 재화의 수요가 모두 감소하면 새로운 최적 선택은 기존 최적 선택의 왼쪽 아래에 위치하게 된다. 다시 말해서 예산선은 우상으로, 최적 선택은 좌하로 이동한다는 말인데, 이 경우 최적 선택은 기하학적 관점에서 절대로 예산선 위에 있을 수가 없으므로 모순이다. 곧, 소비자는 본인의 소득을 전부 사용한다는 선택 원리를 위배한다고 할 수 있다.

어떤 재화가 정상재가 될지 열등재가 될지, 또는 두 재화가 모두 정상재이고 소득이 증가할 때 어떤 재화의 수요가 더 많이 증가할지는 무차별곡선의 이동 양상으로 결정되므로, 소비자의 주관적인 선호관계에 달렸다고 할 수 있다. 또한, 경험적으로 그리고 현실적으로 볼 때 열등재는 흔하지 않으며, 대부분의 재화는 정상재이다.

5.2.1. 소득소비곡선

자세한 내용은 소득소비곡선 문서 참고하십시오.
두 재화의 가격을 고정한 채, 두 재화의 수요를 횡축과 종축으로 놓고 소득의 변화에 따른 소비자 균형의 변화를 시각화한 것으로, 효용함수 및 재화의 특성에 따라서 예산선의 평행이동에 따른 소비자 균형의 이동 양상도 달라진다.

5.3. 가격과 수요의 관계

5.3.1. 엥겔곡선

수요함수에서 두 재화의 가격을 고정하고, 소득과 수요의 관계를 그래프로 나타낸 것을 엥겔곡선(Engel curve)이라고 한다. 이때 횡축은 소득, 종축은 수요를 나타낸다. 수요는 재화1의 수요가 있고 재화2의 수요가 있는 만큼 둘 다 종축에 놓을 수 없으므로, 어느 하나는 세테리스 파리부스의 가정에 따라 고정한 채 다른 하나를 종축에 놓는다. 따라서 수요의 대상이 되는 재화가 정상재이면 엥겔곡선의 기울기는 양이며, 열등재이면 음이다.

5.3.2. 가격소비곡선

자세한 내용은 가격소비곡선 문서 참고하십시오.

6. 라그랑주 승수법

특기할 만한 점은, 라그랑주 승수법으로도 소비자 균형을 구할 수 있다는 것이다. 라그랑주 승수법 자체가 다변수 실함수의 임계점을 구하는 방법론이며, 한계대체율이 체감하는 한 소비자 균형 역시 이에 해당하기 때문이다. 바꿔 말하면, 앞서 밝힌 2계 조건이 충족되지 않으면 소비자 균형이 임계점으로 나타나지 않기 때문에 라그랑주 승수법을 적용할 수 없음에 주의해야 한다.

구체적인 식을 계산하여 보자. 무차별곡선은 효용함수의 함숫값을 고정했을 때 나타나는 곡선이고 이것이 예산선에 접할 때 그 접점에서 소비자 균형이 발생하므로, 라그랑주 승수법에서는 다음과 같이 효용함수를 목적함수로, 예산선의 방정식을 제약조건식으로 두어야 한다.

[math(L(x_1,\,x_2,\,\lambda)=u(x_1,\,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-m))]

이제 이 라그랑주 함수 [math(L)]을 [math(x_1)], [math(x_2)], [math(\lambda)]에 대하여 각각 편미분하여 그 값을 0으로 두자.

[math(\begin{aligned}\dfrac{\partial L}{\partial x_1}&=\dfrac{\partial u(x_1^*,\,x_2^*)}{\partial x_1}-\lambda p_1=0\\\dfrac{\partial L}{\partial x_2}&=\dfrac{\partial u(x_1^*,\,x_2^*)}{\partial x_2}-\lambda p_2=0\\\dfrac{\partial L}{\partial\lambda}&=-p_1x_1^*-p_2x_2^*+m=0\end{aligned})]

이때 첫 두 식을 정리하면 다음과 같다.

[math(\begin{cases}\dfrac{\partial u(x_1^*,\,x_2^*)}{\partial x_1}=\lambda p_1\\\dfrac{\partial u(x_1^*,\,x_2^*)}{\partial x_2}=\lambda p_2\end{cases})]

위 식을 아래 식으로 나누면 다음과 같다.

[math(\dfrac{\partial u(x_1^*,\,x_2^*)/\partial x_1}{\partial u(x_1^*,\,x_2^*)/\partial x_2}=\dfrac{p_1}{p_2})]

이는 객관적 교환비율과 주관적 교환비율이 동일하여, 소비자 균형에서 무차별곡선과 예산선이 접함을 이르는 소비자의 선택 원리와 일치한다. 한편, 셋째 식을 정리하면

[math(p_1x_1^*+p_2x_2^*=m)]

이므로 소비자는 최적 선택을 위해 자신의 소득을 모두 사용한다는 의미가 된다. 이와 같이 라그랑주 승수법을 이용해도 소비자의 선택 원리를 도출할 수 있다.

7. 예제

[문제]

소득 [math(15)]를 갖고 있는 어느 소비자의 효용함수가 [math(u=x_1\sqrt{x_2})]이다. 재화1의 가격은 [math(4)]이고 재화2의 가격은 [math(3)]일 때, 소비자 균형과 그때의 효용을 구하시오. (단, [math(x_1)]과 [math(x_2)]는 각각 재화1과 재화2의 소비량이다.)

[풀이 1]: ----
재화1의 가격을 [math(p_1=4)], 재화2의 가격을 [math(p_2=3)], 소득을 [math(m=15)]로 둘 수 있으므로 예산선의 방정식은 다음과 같다.

[math(4x_1+3x_2=15)]

구하고자 하는 소비자 균형점을 [math((x_1^*,\,x_2^*))]라 하면 소비자의 선택 원리에 따라 다음이 성립한다.

[math(4x_1^*+3x_2^*=15)]

또한, 2계 조건을 만족시키는지를 검토하기 위하여 한계대체율을 구하면 다음과 같다.

[math(MRS=\dfrac{MU_1}{MU_2}=\dfrac{\sqrt{x_2}}{x_1/2\sqrt{x_2}}=\dfrac{2x_2}{x_1})]

[math(x_1)]이 분모에 있으므로, [math(x_1)]이 증가할 때 한계대체율은 감소한다. 곧, 한계대체율은 체감하며 무차별곡선은 원점에 대하여 볼록하므로 문제의 효용함수는 2계 조건을 만족시킨다. 이에 따라 최적 선택은 예산선과 무차별곡선이 접하는 점에서 발생함을 확신할 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.

[math(MRS(x_1^*,\,x_2^*)=\dfrac{p_1}{p_2}\quad\rightarrow\quad\dfrac{2x_2^*}{x_1^*}=\dfrac43)]

[math(\therefore 2x_1^*=3x_2^*)]

이렇게 [math(x_1^*)]과 [math(x_2^*)]에 대한 식을 두 개 얻었으므로 두 미지수의 값을 모두 구할 수 있는 것이다.

[math(\begin{cases}4x_1^*+3x_2^*=15\\2x_1^*=3x_2^*\end{cases})]

이 연립방정식을 풀면

[math(x_1^*=\dfrac52,\,x_2^*=\dfrac53)]

이며 그에 따른 효용은 이 값들을 효용함수 [math(u)]에 대입하면 되므로

[math(u\left(\dfrac52,\,\dfrac53\right)=\dfrac52\times\sqrt{\dfrac53}=\dfrac{5\sqrt{15}}6)]

실제로 무차별곡선과 예산선의 그래프를 그리면 다음과 같은데, 무차별곡선은 원점에 대하여 볼록하며 예산선과 접하는 점에서 소비자 균형이 발생하고 있다.

[풀이 2: 라그랑주 승수법]: ----
라그랑주 승수법을 이용하여 풀어 보자. 앞서 밝혔듯이 라그랑주 승수법은 해당 효용함수가 2계 조건을 만족시킬 때만 사용할 수 있는데, [풀이 1]에서 그렇다는 것을 밝혔으므로 이렇게 풀어도 되는 것이다.

먼저, 라그랑주 함수는 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}L(x_1,\,x_2,\,m)&=u(x_1,\,x_2)-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-m)\\&=x_1\sqrt{x_2}-\lambda(4x_1+3x_2-15)\end{aligned})]

이제 이를 [math(x_1)], [math(x_2)], [math(\lambda)]에 대하여 각각 편미분하여 그 값을 0으로 두면 된다.

[math(\begin{aligned}\dfrac{\partial L}{\partial x_1}&=\sqrt{x_2^*}-4\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial x_2}&=\dfrac{x_1^*}{2\sqrt{x_2^*}}-3\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial\lambda}&=-4x_1^*-3x_2^*+15=0\end{aligned})]

첫째 식과 둘째 식을 연립하면

[math(\begin{cases}\sqrt{x_2^*}=4\lambda\\\dfrac{x_1^*}{2\sqrt{x_2^*}}=3\lambda\end{cases})]

이고 첫째 식을 둘째 식으로 나누면

[math(\dfrac{2x_2^*}{x_1^*}=\dfrac43\quad\rightarrow\quad2x_1^*=3x_2^*)]

이를 셋째 식과 연립하면

[math(\begin{cases}2x_1^*=3x_2^*\\4x_1^*+3x_2^*=15\end{cases})]

이 연립방정식을 풀면

[math(x_1^*=\dfrac52,\,x_2^*=\dfrac53)]

이며 그에 따른 효용은 이 값들을 효용함수 [math(u)]에 대입하면 되므로

[math(u\left(\dfrac52,\,\dfrac53\right)=\dfrac52\times\sqrt{\dfrac53}=\dfrac{5\sqrt{15}}6)]

따라서 [풀이 1]과 결론이 완전히 같다.

8. 관련 문서

[1] 흔히 말하는 가성비가 최종적으로는 이것으로 귀결된다.

[[미시경제학\|미시경제학 '''{{{#!wiki style="font-family:Times New Roman, serif;font-style:Italic"''']]
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"	<colbgcolor=#FFA500> 기본 개념	시장( 수요와 공급( 수요 · 공급) · 시장가격· 균형) · 한계 이론 · 탄력성 · 재화
소비자이론	효용함수( 효용 · 선호관계 · 한계 효용 체감의 법칙 · 효용극대화 문제 · 지출극소화 문제 · 기대효용이론) · 수요함수 · 무차별곡선 · 예산선 · 소득소비곡선 · 가격소비곡선 · 슬러츠키 분해
생산자이론	생산함수( 콥-더글러스) · 생산요소시장 · 이윤 · 비용( 기회비용 · 매몰비용 · 규모의 경제 · 범위의 경제 · 거래비용 · 수직적 통합)
산업조직론	경쟁시장이론( 완전경쟁시장) · 과점시장이론( 과점 · 담합 · 카르텔 · 쿠르노 모형 · 베르트랑 모형( 에지워스 순환) · 게임이론( 내시균형) · 독점시장이론( 독점 · 가격차별) · 입지론 · 중심지 이론
후생경제학	잉여 · 사중손실 · 파레토 효율성 · 불가능성 정리
공공경제학	경제정책론( 정책 · 조세) · 시장실패 · 외부효과 · 공공재( 공유지의 비극) · 공공선택론
정보경제학	역선택 · 도덕적 해이
금융경제학	기본 요소	증권 · 화폐 · 주식 · 채권 · 파생상품
	재무가치평가	자본자산가격결정모형 · 차익거래 가격결정이론
	가치평가모형	배당할인모형 · 블랙-숄즈 모형 · 기업가치평가
	기타	DCF · 자본구조 · 모디글리아니-밀러 정리 · 금융수학
기타 응용	거시경제학	동태확률일반균형( RBC)	}}}}}}}}}