1. 개요
曲 線 / curve끊어지지 않고 휘어 있는 선.
수학 및 물리학 등에서 곡선은 대략 연속적으로 움직이는 점의 자취로 생각된다. 특히 물리학에서 시간에 따라 물체가 이동한 자취를 보통 곡선으로 설명하게 되는데, 위치를 좌표로 묘사하느냐 벡터로 묘사하느냐에 따라 다변수 함수 혹은 벡터함수의 형태를 띄게 된다. 예를 들어 커브볼의 위치를 시간 [math(t)]에 대한 함수로 기록하면[1] 보통 물리학적인 의미가 있는 3차원 공간 혹은 평면 속의 대개 충분히 매끄러운 곡선을 생각하게 된다. 속도, 가속도, 힘 등을 벡터함수의 미분으로 구하고 아름답게 표현하는 게 고전역학의 기초가 되는 사고방식이다.
물론 운동과 상관없어 보이는 곡선도 수학적 함수로 나타내어 미분을 통해 연구할 수 있다. 미분기하학에서 다루게 되는데, 길이나 곡률, 접선 벡터 같은 비교적 일상적인 개념들을 미분으로 나타내는 것부터 출발해 접촉 평면(osculating plane), 법선 벡터, 종법선(binormal vector) 벡터, 법평면 등 다양한 기하학적 성질을 탐구하게 된다.
이렇듯 학술적으로는 직선도 곡선의 일종으로 간주되지만(직선도 연속적으로 움직이는 점의 자취이니), 일상 언어로서 곡선은 보통 직선과 반의어로 쓰이고, 직선과 대조되는 이미지를 전달하는 경우가 많다.
2. 기하학에서의 곡선
2.1. 곡선의 수학적 정의와 매끄러움
곡선의 가장 기본적인 정의는 실수의 구간에서 위상 공간으로 가는 연속함수, 혹은 그 치역(즉, 점의 집합으로서의 곡선의 모양) 정도로 생각할 수 있다. 곡선의 모양이 주어져 있을 때 이것을 연속함수로 나타내는 것을 매개화(parametrization)라 한다. 가장 친근한 예로, 중심이 원점이고 [math(x)]축 양의 방향을 시초선으로 하여 동경이 [math(\theta)](단, [math(underlinetheta = theta/{rm rad})]), 반지름이 1인 단위원 위의 점 [math((x,\,y))]를 [math((x(\theta),\,y(\theta)) = (\cos\underline\theta,\,\sin\underline\theta) ~ (0 \le t \le 2\pi))]의 함수로 나타내는 것을 들 수 있다. 하지만 연속함수라는 조건만으로는 미분가능성이 보장되지 않아 얼마든지 이상한 모양이 나올 수 있고, 따라서 보통 제약조건을 추가하게 된다.미분기하학에서 연구하는 유클리드 공간(좌표공간 [math(\R^n)]) 속의 곡선 [math(\bm\gamma: [0,\,1] \to \R^n)]을 배울 때는 매끄러운 곡선(smooth curve)만을 취급하는데, 이는 간단히 얘기하면 위의 연속함수가 무한히 미분가능([math(C^\infty)])하여야 하고, 정칙 곡선(regular curve), 즉 미분해서 [math(0)]이 되는 점이 없어야([math(\|\bm\gamma'(t)\|>0)]) 한다. 매끄러움 항목에도 나와있지만, 정칙 조건을 없애면 [math(C^\infty)] 함수의 자취라도 절대값 함수의 모양이라든지 얼마든지 부드럽지 않은 모양이 될 수 있기 때문이다. 꽤나 제한적인 조건이긴 하지만 보통의 기하학에선 매끄러운 곡선만 생각해도 충분하다.
보다 정밀하게 분류한다면, 정칙곡선 중 길이에 대한 매개화를 했을 때(자세한 것은 후술) 그 함수가 연속적으로 [math(k)]번 미분가능하면 [math(C^k)] 곡선으로 분류하는 기준이 있다. 예를 들어, 육상 트랙처럼 원과 직선을 붙인 곡선은 [math(C^1)]이다. 물리학적으로 생각하면, 속도가 연속이지만 가속도가 불연속인 경우에 해당한다. 매끄러운 곡선은 [math(C^\infty)] 곡선이라 부른다.
2.2. 유클리드 공간에서의 곡선
유클리드 공간의 매끄러운 곡선이 벡터함수 혹은 다변수함수로 나타나기 때문에, 기본적인 벡터 미적분학에 대한 지식이 있어야 한다. 간단히 말하면, 벡터함수 [math(\bf f)]의 미분은 일변수함수와 동일하게 다음과 같다.| [math(\begin{aligned} {\bf f}'(t) &= \frac{{\rm d}\bf f}{{\rm d}t} \\ &= \lim\limits_{h\to0} \frac{{\bf f}(t+h)-{\bf f}(t)}h \end{aligned})] |
|
[math(\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\{{\bf u}(t) + {\bf v}(t)\} &= {\bf u}'(t) + {\bf v}'(t) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\{f(t){\bf u}(t)\} &= f'(t){\bf u}(t) + f(t){\bf u}'(t) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\{{\bf u}(t)\bm\cdot{\bf v}(t)\} &= {\bf u}'(t)\bm\cdot{\bf v}(t) + {\bf u}(t)\bm\cdot{\bf v}'(t) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\{{\bf u}(t) \bm\times {\bf v}(t)\} &= {\bf u}'(t)\bm\times{\bf v}(t) + {\bf u}(t)\bm\times{\bf v}'(t) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\{{\bf u}(f(t))\} &= {\bf u}'(f(t))f'(t) \end{aligned} )] |
2.2.1. 접선벡터와 접선
이하 [math(\bm\gamma: [a,\,b] \to \R^n)]의 매끄러운 곡선을 생각하자. 곡선의 한 점에서 그은 접선은 함수의 미분 방향으로 결정된다. 접선의 방향을 나타내기 위해서 길이를 1로 표준화한 다음의 벡터| [math({\bf T}(t) = \dfrac{\bm\gamma'(t)}{\|\bm\gamma'(t)\|})] |
이렇게 표준화를 하는 이유는 곡선을 다른 방식으로 매개화, 즉 재매개화(reparametrization)를 하면 [math(\bm\gamma'(t))]의 크기는 변할 수 있지만 방향은 변하지 않기 때문이다. 즉, 매개화에 상관 없는 곡선 모양의 고유한 성질을 연구하기 위해서이다.
2.2.2. 길이
함수 [math(\bm\gamma)]가 미분가능할 때 곡선의 길이는 다음처럼 구할 수 있다.| [math(\displaystyle L = \int_a^b \|\bm\gamma'(t)\|{\rm\,d}t)] |
| [math(a<t_1<t_2<\cdots<t_k<b)] |
| [math(\displaystyle \sum_i \|\bm\gamma(t_{i+1}) - \bm\gamma(t_i)\|)] |
당연해 보이긴 하지만, 이 길이 역시 매개화에 의해 변하지 않는다.(물론 증명이 필요하다.) 주어진 곡선이 정칙, 즉 [math(\|\bm\gamma'(t)\|>0)]을 만족한다면 곡선을 길이에 대해 재매개화 할 수 있다. 즉 구간을 [math([0,\,L])]로 정하고, [math([a,\,b])] 사이의 곡선의 길이가 정확히 구간의 길이가 되는 것이다. 실제로 [math(\bm\gamma = (x(t),\,y(t),\,z(t)))]라 놓으면 미소 길이 [math({\rm d}s)]는
| [math({\rm d}s = \sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 + \{z'(t)\}^2}{\rm\,d}t)] |
| [math(\begin{aligned} \bm\gamma'(s) &= \frac{{\rm d}\bm\gamma(s)}{{\rm d}s} \\ &= \frac{{\rm d}t}{{\rm d}s}\frac{\bm\gamma(s(t))}{{\rm d}t} \\ &= \frac{\bm\gamma'(t)}{\sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 + \{z'(t)\}^2}}\end{aligned})] |
2.2.3. 곡률
곡선이 얼마나 휘었는지를 나타내는 척도인 곡률(curvature) [math(\kappa)]는 초등적으로는 곡선 위의 어떤 점에서 접하는 접촉원(osculating circle)[4]의 반지름을 이용해서 가늠해볼 수 있다. 직관적으로 접촉원의 반지름인 곡률 반지름(radius of curvature) [math(r)]이 작다면 곡선의 굽은 정도가 크고, 거꾸로 [math(r)]이 크다면 굽은 정도가 작아지며 [math(r\to\infty)]로 발산하는 경우는 직선이라고 간주할 수 있으므로 곡률과 반지름이 반비례한다고 볼 수 있다. 따라서 곡률의 차원은 [math(\sf L^{-1})]이 된다.| [math(\kappa = \dfrac1r)] |
3차원 공간이라면 접촉원을 접촉구로 확장하여 논의할 수 있겠으나 이보다 고차원일 경우 기하학적으로 논증하기가 어렵기 때문에, 고전역학의 접근 방법, 즉 벡터의 속도를 도입하여 원이나 구 같은 도형을 쓰지 않고서도 곡률을 논할 수 있으며 똑같은 결론에 도달할 수 있다.
우선 곡률 벡터(curvature vector) [math({\bf k}(s))]는 [math({\bf T}(s))]를 길이 [math(s)]에 대해 미분한 것으로 정의되는데 이를 기존에 매개했었던 변수 [math(t)]로 나타내면 다음과 같다.
| [math(\begin{aligned} {\bf k}(s) &= {\bf T}'(s) = \bm\gamma(s) \\ &= \frac{{\rm d}{\bf T}(s)}{{\rm d}s} \\ &= \frac{{\rm d}t}{{\rm d}s}\frac{\rm d}{{\rm d}t}{\bf T}(s(t)) \\ &= \frac1{\|\bm\gamma'(t)\|}\frac{\rm d}{{\rm d}t}{\left(\frac{\bm\gamma'(t)}{\|\bm\gamma'(t)\|}\right)} \\ &= \frac1{\|\bm\gamma'(t)\|}\frac{\bm\gamma(t)\|\bm\gamma'(t)\| - \bm\gamma'(t){\color{red}\|\bm\gamma'(t)\|'}}{\|\bm\gamma'(t)\|^2}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\color{red}\|\bm\gamma'(t)\|'} &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\bm\gamma'(t)\| \\ &= \frac{x'(t)x(t) + y'(t)y(t) + z'(t)z(t)}{\sqrt{\{x'(t)\}^2 + \{y'(t)\}^2 + \{z'(t)\}^2}} \\ &= \frac{\bm\gamma'(t)\bm\cdot\bm\gamma(t)}{\|\bm\gamma'(t)\|} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \bf k &= \frac{\|\bm\gamma'(t)\|\bm\gamma(t) - \bm\gamma'(t)\dfrac{\bm\gamma'(t)\bm\cdot\bm\gamma(t)}{\|\bm\gamma'(t)\|}}{\|\bm\gamma'(t)\|^3} \\ &= \frac{\|\bm\gamma'(t)\|^2\bm\gamma(t) - (\bm\gamma'(t)\bm\cdot\bm\gamma(t))\bm\gamma'(t)}{\|\bm\gamma'(t)\|^4} \\ &= \frac{\bm\gamma'(t)\bm\times(\bm\gamma''(t)\bm\times\bm\gamma'(t))}{\|\bm\gamma'(t)\|^4}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\bf k} &= \frac{{\bf v}\bm\times({\bf a\bm\times v})}{\|{\bf v}\|^4} \\ &= \frac{{\bf T}\bm\times({\bf a\bm\times T})}{\|{\bf v}\|^2} \end{aligned})] |
곡률 [math(\kappa)]는 곡률 벡터의 크기, 즉 [math(\kappa = \|{\bf k}\|)]로 정의된다. [math(\bf k)]의 식에서 [math({\bf v} \perp {\bf a}\bm\times{\bf v})]이므로 [math(\|{\bf v}\bm\times({\bf a}\bm\times{\bf v})\| = \|{\bf v}\|\|{\bf a}\bm\times{\bf v}\|)]가 되며 대입하면
| [math(\begin{aligned} \kappa &= \|{\bf k}\| \\ &= {\left\| \frac{{\bf v}\bm\times({\bf a\bm\times v})}{\|{\bf v}\|^4}\right\|} \\ &= \frac{\|{\bf v}\|\|{\bf a}\bm\times{\bf v}\|}{\|{\bf v}\|^4} \\ &= \frac{\|{\bf a}\bm\times{\bf v}\|}{\|{\bf v}\|^3}\end{aligned})] |
이제 다시 곡률을 접촉원으로 근사하는 경우를 고려하자. 원운동에서는 [math({\bf a}\perp{\bf v})]이므로 [math(\|{\bf a\bm\times v}\| = \|{\bf a}\|\|{\bf v}\|)]이고 각속도의 크기를 [math(\omega)](단, [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})])로 나타내면 [math(\|{\bf v}\| = r\underline\omega)], [math(\|{\bf a}\| = r\underline\omega^2)]이므로 곡률은 다음과 같이 반지름의 역수가 되며 이는 문단 처음에서 유추했던 관계와 결과가 같다.
| [math(\begin{aligned} \kappa &= \frac{(r\underline\omega^2){\cdot}(r\underline\omega)}{(r\underline\omega)^3} \\ &= \frac1r\end{aligned})] |
2.2.4. 공간곡선의 프레네 프레임
3차원 공간에서는 곡률의 수치만으로는 곡선이 어느 방향으로 휘는지 결정하는 것이 불분명하기 때문에, 방향의 기준을 잡아줄 좌표계와 또 다른 변수가 필요하다. 곡선이 길이 변수 [math(s)]에 대해 매개화되었고, 곡률이 [math(0)]이 아니라고 하자. 이 때, 다음의 세 벡터 [math({\bf T}(s))], [math({\bf N}(s))], [math({\bf B}(s))]로 이루어진 국소 직교좌표를 프레네 프레임(Frenet frame)이라 부른다.- 단위접선벡터: [math({\bf T}(s))]
- 단위법선벡터(unit normal vector): [math({\bf N}(s) = \cfrac{{\bf T}'(s)}{\|{\bf T}'(s)\|})]
- 종법선벡터(binormal vector): [math({\bf B}(s) = {\bf T}(s)\bm\times{\bf N}(s))]
종법선벡터의 방향은 곡선의 진행 방향과 곡선이 휘는 방향에 모두 수직한 방향이다. 이제 곡률 [math(\kappa = \|{\bf T}'(s)\|)]에 더해 [math(\tau = {\bf B}'(s)\bm\cdot{\bf N}(s))]을 생각한다면, 이 좌표계의 변화는 다음과 같이 프레네 세레 공식(Frenet-Serret formula)으로 나타낼 수 있다.
|
[math(\begin{aligned} {\bf T}' &= \kappa{\bf N} \\ {\bf N}' &= -\kappa{\bf T} + \tau{\bf B} \\ {\bf B}' &= - \tau{\bf N} \end{aligned})] |
미분기하학에선 기타 수많은 평면 및 공간곡선의 성질을 배울 수 있다.
2.3. 예시
- 직선: 수학적으로 직선은 곡률이 0인 곡선이다.
- 원뿔곡선
- 타원곡선
- 포물선
- 쌍곡선
- 현수선
- 정규분포: 상대평가 시의 성적분포곡선
- 사인곡선
- 사이클로이드
- 시그모이드
- 베지에 곡선
- 코흐 곡선
- 페아노 곡선
- 폐곡선: 조르당 곡선이라고도 한다.
3. 그래프의 곡선
경제학 등의 응용과학에선 함수나 통계 자료 등의 선 그래프에서 나타나는 선을 ○○곡선 등의 형식으로 부르는 경우도 많다.이러한 경우 이름은 곡선이지만 직선인 경우도 있는데, 기하학적으로 보면 직선도 곡선 안에 포함되어 있기에 사실 결과가 직선으로 나와도 크게 상관 없긴 하다.
3.1. 목록
[1]
공을 던진지 1초 후에 투수로부터 [math(3\rm\,m)] 앞을 [math(2\rm\,m)] 높이로 지났다면 [math({\bf r}(1{\rm\,s})= (3,\,2){\rm\,m})]라고 쓰는 식.
[2]
여기서 [math(\bm\gamma)]가 벡터 함수라는 점에 주의. 사실상 부호 함수로 나타낼 수 있는 일변수함수와는 다르게 벡터 함수는 성분이 2개 이상이기 때문에 부호 함수로 나타낼 수 없고 상수 함수인 부호 함수로 나타내서도 안 된다.
[3]
이런 곡선을 별도로 '길이를 갖는 곡선'(rectifiable curve)이라고 한다. 유클리드 공간에서는 길이를 갖는 곡선은
거의 모든 점에서 미분가능하다는 것이 증명되어 있으므로 사실상 같은 개념이 된다.
[4]
이때 원의 중심은 곡선의 오목한 쪽에 있는 걸 전제로 한다.
[5]
이는
원운동에서 각속도 [math(\bm\omega)]와 구심가속도 [math({\bf a_c} = \bm{\underline\omega}\bm\times(\bm{\underline\omega}\bm\times{\bf r}))]를 떠올려보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다. [math({\bf k} \to {\bf a_c})], [math(\bm{\underline\omega} \to {\bf T})]에 대응된다.