1. 개요
Formule de Moivre / de Moivre’s formula / de Moivre 公 式[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta)][1] 또는 [math([ \mathrm{cis}(x) ]^n = \mathrm{cis}(nx))][2]
오일러 공식에서 유도되는, 절댓값이 [math(1)]인 복소수의 실수지수 거듭제곱을 단순화시켜주는 공식이다.[3]
[math(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta)]임에 따라 양쪽 항에 각각 [math(n)]거듭제곱을 취하면
[math(\left(e^{i\theta}\right)^{n}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}\quad\Longrightarrow\quad e^{in\theta}=\cos \left ( n\theta \right) +i\sin \left (n\theta \right))]
임이 됨을 확인할 수 있다.
2. 지수의 확장에 따른 드 무아브르 공식의 증명
증명 과정은 먼저 수학적 귀납법으로 자연수 지수에 대해서 증명한 뒤, 이를 바탕으로 정수 지수, 유리수 지수에 대해서 증명하고 마지막으로 실수의 완비성을 이용해 실수 지수에 대해서 증명한다.2.1. 정수
2.1.1. 자연수(양의 정수)
①. [math(n=1)]일 때는 [math((\cos\theta+i\sin\theta)^1=\cos\theta+i\sin\theta)]에 따라 자명하다.
②. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right))]가 임의의 양의 정수 [math(k)]에서 성립한다고 가정하자.
③. [math(n=k+1)]일 때 드 무아브르 공식이 성립하는지 확인한다.
[math(n=k)]를 대입한 식의 양변에 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right))]를 곱하면
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^k\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=(\cos k\theta + i\sin k\theta)\times\left ( \cos \theta+i\sin \theta \right ))]
좌변을 정리, 우변을 전개하면
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k+1}=\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta+i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta))]
이 되는데, 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 우변을 정리해주면
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k+1}=\cos{}\{(k+1)\theta\}+i\sin{}\{(k+1)\theta\})]
이 된다. 이는 [math(n=k+1)]일 때의 드 무아브르 공식이다.
①-③에 따라 드 무아브르 공식이 모든 자연수 [math(n)]에 대해서 항상 성립한다.
2.1.2. 0
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left (n\theta \right)+i\sin \left(n\theta\right))]에 [math(n=0)]을 대입하면좌변은 [math((\cos\theta+i\sin\theta)^0=1)], 우변은 [math(\cos0\theta+i\sin0\theta=1+0i=1)]이므로 [math(n=0)]일 때 드 무아브르 공식이 성립한다.
2.1.3. 음의 정수
[math(a^{-b}=\dfrac1{a^b})]와 [math(\cos{}(-\theta)=\cos\theta)], [math(\sin{}(-\theta)=-\sin \theta)]를 이용한다.음의 정수 [math(k)]에 대해서 [math(t=-k)]라 하면 [math(t)]는 양의 정수이므로, 자연수 지수에서의 드 무아브르 공식에 의해
[math((\cos\theta+i\sin\theta)^k=(\cos\theta+i\sin\theta)^{-t}=\dfrac1{(\cos\theta+i\sin\theta)^t}=\dfrac1{\cos t\theta+i\sin t\theta})]
이 성립한다.
분모를 실수화하기 위해 분자와 분모에 [math(\overline{\cos t\theta+i\sin t\theta}=\cos t\theta-i\sin t\theta)]를 곱하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{\cos t\theta-i\sin t\theta}{(\cos t\theta+i\sin t\theta)(\cos t\theta-i\sin t\theta)}=\dfrac{\cos t\theta-i\sin t\theta}{\cos^2 t\theta+\sin^2 t\theta}&=\cos t\theta-i\sin t\theta\\&=\cos{}(-t\theta)+i\sin{}(-t\theta)\\&=\cos k\theta+i\sin k\theta\end{aligned})]
임에 따라 음의 정수 [math(k)]에 대해 드 무아브르 공식이 성립한다.
2.2. 실수
2.2.1. 유리수
임의의 정수 [math(a)], [math(b)]를 설정한다. ([math(a\neq0)])위의 증명에 따라 [math((\cos\theta+i\sin\theta)^b=\cos b\theta+i\sin b\theta)]이다.
[math(b=\dfrac ba\cdot a)]와 자연수에서의 드 무아브르 공식을 이용해 다음과 같이 식을 변형한다.
[math(\begin{aligned}(\cos\theta+i\sin\theta)^{(b/a)\cdot a}&=\cos\left[\left(\dfrac ba\cdot a\right)\theta\right]+i\sin\left[\left(\dfrac ba\cdot a\right)\theta\right]\\&=\left[\cos\left(\dfrac ba\theta\right)+i\sin\left(\dfrac ba\theta\right)\right]^a\end{aligned})]
양변에 [math(a)]제곱근을 취하면
[math((\cos\theta+i\sin\theta)^{b/a}=\cos\left(\dfrac ba\theta\right)+i\sin\left(\dfrac ba\theta\right))]
인데 [math(a)]와 [math(b)]는 [math(a=0)]인 경우를 제외한 임의의 정수이므로 [math(q=b/a)]라 하면 [math(q)]는 임의의 유리수라 할 수 있으니, 임의의 유리수 [math(q)]에 대해 드 무아브르 공식이 성립한다.
2.2.2. 무리수
실수의 완비성[4]과 유리수의 조밀성[5]에 따라 임의의 무리수 [math(x)]로 수렴하는 유리수로 구성된 수열 [math((x_n))]이 존재한다.이때 임의의 복소수 [math(z)]에 대해 [math(z^x=\displaystyle\lim_{n\to\infty} z^{x_n})]으로 정의됨에 유의하라.
유리수에서의 드 무아브르 공식을 이용하면 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여
[math((\cos\theta+i\sin\theta)^{x_n}=\cos x_n\theta+i\sin x_n\theta)]
이 성립한다. [math(\sin)]과 [math(\cos)]는 실수에서 연속이므로 [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\cos x_n\theta=\cos x\theta)], [math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sin x_n\theta=\sin x\theta)]이 성립함에 따라
[math(\begin{aligned}
&\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\cos\theta+i\sin\theta)^{x_n}=\lim_{n\to\infty}(\cos x_n\theta+i\sin x_n\theta)\\
\Longrightarrow\quad&(\cos\theta+i\sin\theta)^x=\cos x\theta+\sin x\theta
\end{aligned})]
&\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\cos\theta+i\sin\theta)^{x_n}=\lim_{n\to\infty}(\cos x_n\theta+i\sin x_n\theta)\\
\Longrightarrow\quad&(\cos\theta+i\sin\theta)^x=\cos x\theta+\sin x\theta
\end{aligned})]
이 성립한다. 즉, 임의의 무리수 [math(x)]에 대해 드 무아브르 공식이 성립한다.
3. 1의 n제곱근 조사
[math(\omega=|\omega|(\cos\theta+i\sin\theta))] ([math(\omega^n=1)])에 대해 [math(|\omega^n|=1\Rightarrow |\omega|=1)]와 드 무아브르 공식을 통해 [math(\omega)], 즉 [math(1)]의 [math(n)]제곱근의 값을 찾아낼 수 있다.3.1. 예시: 1의 3제곱근
[math(1)]의 세제곱근을 [math(x\in\mathbb C)]라 하자. 즉 [math(x^3=1)]이다. [math(|x^3|=|x|^3=1)]임에 따라 [math(|x|=1)]임에 주목하라.[math(x)]를 [math(0\leq\theta<2\pi)]로 한정된 극형식으로 나타낸 후 [math(x^3)]에 드 무아브르 공식을 적용시켜보자.
[math(\begin{aligned}
x^3=\{|x|(\cos\theta+i\sin\theta)\}^3&=|x|^3(\cos 3\theta+i\sin3\theta)\\
&=|x^3|(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)=\cos 3\theta+i\sin 3\theta=1
\end{aligned})]
x^3=\{|x|(\cos\theta+i\sin\theta)\}^3&=|x|^3(\cos 3\theta+i\sin3\theta)\\
&=|x^3|(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)=\cos 3\theta+i\sin 3\theta=1
\end{aligned})]
따라서 [math(\theta)]는 [math(\cos 3\theta=1)]와 [math(\sin 3\theta=0)]을 만족시켜야 한다.
[math(\cos3\theta=1)]의 해집합 [math(A)]는 [math(3\theta=2n\pi)] ([math(n\in\Z)])임에 따라 [math(\left\{0,\,\dfrac23\pi,\,\dfrac43\pi\right\}=:A)],
[math(\sin3\theta=0)]의 해집합 [math(B)]는 [math(3\theta=n\pi)] ([math(n\in\Z)])임에 따라 [math(A\subseteq B)]이다.
[math(x=|x|(\cos\theta+i\sin\theta)=\cos\theta+i\sin\theta)]이니
[math(x=\cos 0+i\sin 0=1)] 또는 [math(\cos\dfrac23\pi+i\sin\dfrac23\pi=\dfrac{-1+\sqrt3i}2)] 또는 [math(\cos\dfrac43\pi+i\sin\dfrac43\pi=\dfrac{-1-\sqrt3i}2)]이다.
3.2. 일반화
자연수 [math(n)]에 대하여 [math(\omega)]를 [math(1)]의 [math(n)]제곱근이라 하자. 위의 세제곱근의 방법과 비슷하게 드 무아브르 공식을 적용하면
[math(x^n=\{|x|(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n=\cos n\theta+i\sin n\theta=1)]
이다.
따라서 [math(n\theta=2k\pi)] ([math(k\in\Z\cap[0,\,n))]), 즉 [math(\omega\in\left\{\cos\dfrac{2k\pi}n+i\sin\dfrac{2k\pi}n:k\in\Z\cap[0,\,n)\right\}=\left\{{\rm cis}\left(\dfrac{2k\pi}n\right):k\in\Z\cap[0,\,n)\right\})]이다.
4. 관련 문서
[1]
Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Accessere variae considerationes de methodis comparationum, combinationum & differentiarum, solutiones difficiliorum aliquot problematum ad sortem spectantium, itemque constructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quae in motibus corporum coelestium occurrunt - Abraham de Moivre, 1730. (
Google Books,
아카이브)
[2]
오일러 공식을 함수꼴로 쓸 때의 형태.
[3]
지수함수의 복소수지수 거듭제곱은 다가함수가 되기 때문에, 드 무아브르 공식으로 유도되는 값은 대표값이 된다.
[4]
모든 코시 실수열이 수렴한다는 성질.
[5]
임의의 다른 두 실수 사이에 유리수가 존재한다는 성질.