[math(L^p)]-space, Lebesgue space
1. 개요
[math(L^p)]공간(르베그 공간)은 측도공간에서 절댓값의 [math(p)]제곱이 르베그 적분 가능한 함수의 공간이다. 이때, 거의 어디에서나 같은 함수들은 동일한 함수로 본다. [math(p\ge1)]일 때 [math(L^p)] 공간은 완비 노름공간, 즉 바나흐 공간이다. 특히 [math(p=2)]일 때에는 완비 내적공간, 즉 힐베르트 공간이다.2. 정의
2.1. Lp 공간
측도공간 [math( (X,\ \mathcal{M},\ \mu) )]와 실수 [math(p\in(0, \infty])]가 주어졌을 때, 보렐 가측함수 [math(f : X \rightarrow \mathbb{K}\ (\mathbb{K\in\{R,\ C\}}))]에 대하여 범함수 [math(\|\cdot\|_{L^p})](또는 [math(\|\cdot\|_p)]로 표기)를[math(\|f\|_{L^p}=\begin{cases}\displaystyle\left(\int_X|f|^p d\mu\right)^{1/p}&\text{if }p\in[1,\infty)\\
\text{ess}\sup_{x\in X}|f(x)|&\text{if }p=\infty
\end{cases})]
라 하자. 여기서 [math(\text{ess}\sup_{x\in X}|f(x)|)]는 [math(|f|)]의 본질적 상한으로, [math(\inf \{ M : \mu(|f|>M)=0\})]를 뜻한다. 함수공간 \text{ess}\sup_{x\in X}|f(x)|&\text{if }p=\infty
\end{cases})]
[math(\mathcal{L}^p(X,\ \mathcal{M} ,\ \mu):= \left\{ f : \|f\|_{L^p} <\infty \right\})]
의 동치관계 [math(f\sim_{\text{a.e.}} g\Longleftrightarrow f=g\text{ a.e. })]에 의한 상공간 [math(L^p(X,\mathcal{M},\mu):=\mathcal{L}^p/\sim_{\text{a.e.}})]
(또는 [math(L^p, L^p(X), L^p(\mu))] 등으로 표기)를 [math(L^p)] 공간 또는 르베그-[math(p)] 공간이라고 한다.2.2. lp 공간
셈 측도공간 [math((A,\mathcal{P}(A),\mu))]와 실수 [math(p\in(0, \infty])]가 주어졌을 때, [math(L^p(A,\mathcal{P}(A),\mu))] 공간을 [math(l^p(A))]로 나타낸다. 특히, [math(A=\mathbb{N})]일 때 [math(l^p(\mathbb{N}))]을 [math(l^p)]로 나타낸다. [math(\mathbb{N})]을 정의역으로 하는 함수는 수열이므로 수열 [math(a_n:\mathbb{N}\to\mathbb{K})]에 대한 범함수 [math(\|\cdot\|_{l^p}=\|\cdot\|_{L^p})]는 다음과 같이 정의한다.[math(\|a_n\|_{l^p}=\begin{cases}\displaystyle\left(\sum_{n=1}^\infty|a_n|^p \right)^{1/p}&\text{if }p\in[1,\infty)\\
\sup_{n\in\mathbb{N}}|a_n|&\text{if }p=\infty
\end{cases})]
\sup_{n\in\mathbb{N}}|a_n|&\text{if }p=\infty
\end{cases})]
3. 구조
3.1. 벡터공간
[math(p\in(0,\infty))]일 때, [math(f\in \mathcal{L}^p)]와 [math(a\in\mathbb{K})]에 대하여[math(\displaystyle\int|af|^p=|a|^p\int |f|^p<\infty)]
이므로 [math(af\in \mathcal{L}^p)]이다. 또한 [math(f,g\in \mathcal{L}^p)]에 대하여[math(\begin{aligned}
|f(x)+g(x)|^p&\le(2\max\{|f(x)|,|g(x)|\})^p\\
&=2^p\max(|f(x)|^p,|g(x)|^p)\\
&\le 2^p(|f(x)|^p+|g(x)|^p)
\end{aligned})]
이므로 [math(f+g\in \mathcal{L}^p)]이다. 이는 거의 모든 곳에서 같은 함수족 사이에서 동일하게 성립하므로 [math(L^p)] 공간은 벡터공간이다.|f(x)+g(x)|^p&\le(2\max\{|f(x)|,|g(x)|\})^p\\
&=2^p\max(|f(x)|^p,|g(x)|^p)\\
&\le 2^p(|f(x)|^p+|g(x)|^p)
\end{aligned})]
[math(p=\infty)]일 때, [math(f\in \mathcal{L}^\infty)]와 [math(a\in\mathbb{K},M>0 )]에 대하여 [math(\{x:|f(x)|>M\}=\{x:|af(x)|>|a|M\})]이므로
[math(\mu(\{x:|f(x)|>M\})=0\Longleftrightarrow\mu(\{x:|af(x)|>|a|M\})=0)]
이다. 따라서 [math(\|af\|_\infty=|a|\|f\|_\infty<\infty)]로, [math(af\in \mathcal{L}^\infty)]이다. 또한 [math(f,g\in \mathcal{L}^\infty)]에 대하여 거의 모든 [math(x)]에서[math(|f(x)+g(x)|\le|f(x)|+|g(x)|\le\|f\|_\infty+\|g\|_\infty)]
이므로 [math(\|f+g\|_\infty<\infty)]이다. 따라서 [math(f+g\in \mathcal{L}^\infty)]이다. [math(p\in(1,\infty))]인 경우와 마찬가지로 위 성질은 거의 모든 곳에서 같은 함수족 사이에서 동일하게 성립하므로 [math(L^\infty)]는 벡터공간이다.3.2. 노름공간
측도공간 [math((X, \mathcal{M},\mu))]의 가측함수에 대하여 다음 부등식이 성립한다.- 횔더 부등식
-
([math(p\in(1,\infty))]인 경우) 가측함수 [math(f, g)]와 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]인 두 양수 [math(p, q)]와 에 대하여 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(\|fg\|_{L^1}\le\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q})]}}}특히 [math(f\in \mathcal{L}^p, g\in L^q)]이면 [math(fg\in \mathcal{L}^1)]이다. 등식이 성립할 필요충분조건은 [math(|f|^p)]와 [math(|g|^q)]가 선형종속인 것이다. 횔더 부등식을 만족시키는 두 양수 [math(p, q)]를 횔더 켤레(Hölder conjugate)라고 한다. -
([math(p=1)]인 경우) 가측함수 [math(f, g)]에 대하여 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(\|fg\|_{L^1}\le\|f\|_{L^1}\|g\|_\infty)]}}} [math(f\in \mathcal{L}^1, g\in \mathcal{L}^\infty)]인 경우 [math(\|fg\|_{L^1}=\|f\|_{L^1}\|g\|_\infty)]일 필요충분조건은 [math(\text{supp}(f))]의 거의 모든 [math(x)]에서 [math(|g(x)|=\|g\|_\infty)]인 것이다. -
([math(p\in(0,1))]인 경우, 반대 횔더 부등식) 함수 [math(g)]가 거의 모든 [math(x)]에서 [math(g>0)]이고 [math(r<0)]일 때, [math(\|g\|_{L^r}:=\left\|g^{-1}\right\|_{|r|}^{-1})]이라고 하자. 거의 모든 [math(x)]에서 [math(f\ge 0, g>0)]인 가측함수 [math(f, g)]와 [math(p^{-1}+q^{-1})]을 만족시키는 두 실수 [math(p, q)] 대하여 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(\|fg\|_{L^1} \ge \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q})]}}} - 민코프스키 부등식
-
([math(p\in[1,\infty])]인 경우) 함수 [math(f, g\in \mathcal{L}^p)]에 대하여 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(\|f+g\|_{L^p}\le\|f\|_{L^p}+\|g\|_{L^p})]}}}[math(p=2)]인 경우, 위 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이다. -
([math(p\in(0,1))]인 경우, 반대 민코프스키 부등식) 가측함수 [math(f, g\in \mathcal{L}^p)]에 대하여 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(\|f+g\|_{L^p}\ge\|f\|_{L^p}+\|g\|_{L^p})]}}}
- (양의 동차성) 임의의 [math(f\in\mathcal{L^p})]와 [math(a\in \mathbb{K})]에 대하여 [math(\|af\|_{L^p}=|a|\|f\|_{L^p})].
- (삼각 부등식) 임의의 [math(f,g\in\mathcal{L^p})]에 대하여 [math(\|f+g\|_{L^p}\le\|f\|_{L^p}+\|g\|_{L^p})].
[math(L^p)]가 벡터공간임을 증명하는 과정에서 양의 동차성을 보였으며, 삼각 부등식은 민코프스키 부등식에 의해 성립한다. 범함수 [math(\|\cdot\|_{L^p})]가 노름을 이루기 위해서는 양의 정부호성을 추가로 만족시켜야 한다.
- (양의 정부호성) 임의의 [math(f\in L^p)]에 대하여 [math(\|f\|_{L^p}=0)]이면 [math(f=0)]이다.
[math(f\in \mathcal{L}^p)]에 대하여 [math(\|f\|_{L^p}=0)]이면 거의 모든 [math(x)]에서 [math(f=g)]인 [math(g\in\mathcal{L}^p)]에 대하여 [math(\int|g|=\int|f|=0)]이므로 [math(\|g\|_{L^p}=0)]이다. 즉, [math(\|\cdot\|_{L^p})]는 양의 정부호성을 만족시키지 않아 노름이 아니다. 여기서 반노름공간 [math(\mathcal{L^p})]에 동치관계 [math(\sim_{\text{a.e.}})]에 대한 상공간을 취하면 동치류 [math([f]\in\mathcal{L^p}/\sim_{\text{a.e.}})]에 대하여 [math(f_1, f_2\in[f])]이면 [math(\int|f_1|^p=\int|f_2|^p)]이므로 [math(\|\cdot\|_{L^p})]는 [math(\mathcal{L^p}/\sim_{\text{a.e.}})] 위에서 반노름을 이룬다. 특히, [math(\int|f|^p=0)]이면 [math(f\in[0])]이므로 반노름 [math(\|\cdot\|_{L^p})]는 양의 정부호성을 만족시켜 [math(\mathcal{L^p}/\sim_{\text{a.e.}})] 위의 노름이다. 노름공간 [math(\mathcal{L^p}/\sim_{\text{a.e.}})]를 [math(L^p(X,\mathcal{M},\mu))](또는 [math(L^p(X), L^p(\mu))] 등으로 표기)로 나타낸다. [math(L^p)]의 원소는 엄밀히 함수가 아닌 함수의 동치류이지만, [math(L^p)]공간을 다룰 때 동치류 [math([f])]를 하나의 함수 [math(f)]로 취급한다.
[math(f,g\in\mathcal{L^p})]에 대하여 [math(\|f-g\|_{L^p}=0)]일 필요충분조건은 [math(f\sim_{\text{a.e.}}g)]이므로 [math(L^p)] 공간은 [math(\mathcal{L}^p)]의 부분공간 [math(\mathcal{N}=\{f:\|f\|_{L^p}=0\})]에 의한 상공간과 같다.
3.2.1. 준노름공간
[math(p\in(0, 1))]일 때, [math(\|\cdot\|_{L^p})]에 대하여 반대 민코프스키 부등식[math(\|f+g\|_{L^p}\ge\|f\|_{L^p}+\|g\|_{L^p})]가 성립한다. 따라서 [math(\|\cdot\|_{L^p})]는 반노름을 이루지 않는다. 그러나 [math(\mathcal{L}^p)] 공간이 벡터공간임을 보이는 과정에서 보인 바와 같이 [math(\|\cdot\|_{L^p})]는 양의 동차성을 만족시키며, 임의의 [math(f, g\in\mathcal{L}^p)]에 대하여 [math(\|f+g\|_{L^p}\le K(\|f\|_{L^p}+\|g\|_{L^p}))]를 만족시키는 양수 [math(K)]가 존재하므로 준반노름(quasi semi norm)이다. [math(p\in[1,\infty])]일 때와 마찬가지로 [math(\|\cdot\|_{L^p})]가 양의 정칙성을 만족시켜 준노름을 이룰 수 있도록 준반노름공간 [math(\mathcal{L^p})]에 동치관계 [math(\sim_{\text{a.e.}})]에 의한 상공간을 취하여 준노름공간 [math(L^p)]를 얻는다.3.2.2. 내적공간
[math(L^2)] 노름은 평행사변형 법칙[math(\|f+g\|_{L^2}^2+\|f-g\|_{L^2}^2=2\left(\|f\|_{L^2}^2+\|g\|_{L^2}^2\right))]
을 만족시키므로[1] [math(L^2)] 공간은 내적공간이다. [math(L^2)] 공간의 내적은 [math(f, g\in L^2)]에 대하여[math(\displaystyle\left<f, g\right>=\int f\overline{g})]
로 정의하며 실제로 [math(\left<f, f\right>=\int f\overline{f}=\int |f|^2=\|f\|_{L^2}^2)]이므로 [math(L^2)] 노름은 내적에서 유도된 노름이다.[math(p\ne 2)]일 때 [math(L^p)] 공간은 일반적으로 내적공간이 아니다. 실수 위의 르베그 측도가 주어졌을 때, [math(f=1_{(0, 1)}, g=1_{(1, 2)})]라고 하면
[math(\begin{aligned}\displaystyle&\|f+g\|_{L^p}^2+\|f-g\|_{L^p}^2\\
&=\left(\int|f+g|^p\right)^{2/p}+\left(\int|f-g|^p\right)^{2/p}\\
&=2\cdot2^{2/p}
\end{aligned})]
이지만 [math(\|f\|_{L^p}^2=1)]이므로 [math(2(\|f\|_{L^p}^2+\|g\|_{L^p}^2)=4)]로 [math(p\ne2)]일 때 [math(\|f+g\|_{L^2}^2+\|f-g\|_{L^2}^2\ne2\left(\|f\|_{L^2}^2+\|g\|_{L^2}^2\right))]이다.&=\left(\int|f+g|^p\right)^{2/p}+\left(\int|f-g|^p\right)^{2/p}\\
&=2\cdot2^{2/p}
\end{aligned})]
3.2.3. 균등 볼록 공간
[math(1<p<\infty)]일 때, [math(L^p)] 공간은 균등 볼록 공간이다.3.3. 거리공간
[math(p\ge1)]일 때, 함수 [math(d:L^p\times L^p \to [0, \infty))]를 [math(d(f,g)=\|f-g\|_{L^p})]로 정의한다. [math(d(f,f)=\|f-f\|_{L^p}=\|0\|_{L^p}=0)]이며, [math(f\ne g)]이면 [math(f-g\ne 0)]이므로 임의의 [math(f, g(f\ne g)\in L^p)]에 대하여 [math(d(f, g)>0)]이다. 또한 [math(f-g=g-f)]이므로 [math(d(f, g)=d(g, f))]이며 민코프스키 부등식에 의해 임의의 [math(f, g, h)]에 대하여[math(\begin{aligned}d(f, h)&=\|f-h\|_{L^p}\\
&=\|f-g+g-h\|_{L^p}\\
&\le\|f-g\|_{L^p}+\|g-h\|_{L^p}\\
&=d(f, g)+d(g, h)
\end{aligned})]
이므로 [math(d)]는 [math(L^p)] 공간의 거리함수이다.&=\|f-g+g-h\|_{L^p}\\
&\le\|f-g\|_{L^p}+\|g-h\|_{L^p}\\
&=d(f, g)+d(g, h)
\end{aligned})]
[math(p\in(0, 1))]일 때 함수 [math(d:L^p\times L^p\to[0,\infty))]를 [math(d(f, g)=\|f-g\|_{L^p}^p)]로 정의한다. [math(p\in[1, \infty))]인 경우와 동일하게 정의할 경우, 반노름 [math(\|\cdot\|_{L^p})]는 역 민코프스키 부등식을 만족시켜 거리를 유도할 수 없다. 삼각부등식을 제외한 거리함수의 공리는 [math(p\ge1)]인 경우와 동일하게 만족한다. [math(d)]가 삼각 부등식을 만족시키는 것을 보이기 위하여 [math(p\in (0, 1))]와 [math(a, b\ge0)] 에대하여 [math((a+b)^p\le a^p +b^p)]를 활용한다.
|
증명 실수 [math(t\ge0)]에 대하여 함수 [math(f)]를 [math(f(t):=(1+t)^p-1-t^p)]라 하자. 임의의 양수 [math(t)]에 대하여 [math(f^\prime(t)=p(1+t)^{p-1}-pt^{p-1})]이고 [math(f(0)=0)]이므로 모든 [math(t>0)]에 대하여 [math(f(t)<0)]이다. [math(a, b\ne0)]일 때, [math(t=a/b)]라 하면 [math((1+a/b)^p-1-(a/b)^p<0)]이므로 [math((a+b)^p<a^p+b^p)]이다. [math(ab=0)]이면 [math((a+b)^p=a^p+b^p)]이다. |
따라서 [math(L^p)] 공간은 거리위상을 갖춘 거리공간이다. 특히 [math(p\in[1,\infty])]일 때 [math(L^p)] 노름 [math(\|\cdot\|_{L^p})]은 [math(L^p)] 위의 연속사상이다.
3.3.1. Lp 수렴
[math(L^p)]의 함수열 [math(\{f_n\})]이 [math(L^p)] 노름으로부터 유도된 거리에 대하여 코시열인 경우, 즉 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(m, n>N)]이면[math(\|f_n-f_m\|_{L^p}<\epsilon)]
을 만족시키는 [math(N\in\mathbb{N})]이 존재하는 경우 [math(\{f_n\})]를 [math(L^p)] 코시열이라고 한다. 또한 [math(\{f_n\})]가 [math(L^p)] 노름으로부터 유도된 거리에 대하여 함수 [math(f)]로 수렴하는 경우, 즉 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대하여 [math(m>N)]이면 [math(\|f_n-f\|_{L^p}<\epsilon)]
을 만족시키는 [math(N\in\mathbb{N})]이 존재하는 경우 [math(\{f_n\})]은 [math(f)]로 [math(L^p)] 수렴하는 수열이라고 한다.[math(L^p)] 수렴성은 거의 어디에서나 수렴성을 함의하지 않으나, 측도수렴성을 함의한다.
3.4. 완비공간
임의의 [math(p\in(0,\ \infty])]에 대하여 [math(L^p(X))]는 완비공간이다. 특히, [math(p\in[1,\ \infty])]일 경우 [math(L^p)] 공간은 완비 노름공간이므로 바나흐 공간이다.|
증명 [math(p\in(0,\infty))]일 때, [math(\{f_n\})]을 [math(L^p)] 공간의 코시열이라고 하면 임의의 [math(k\in\mathbb{N})]에 대하여 [math(d(f_{n_k}, f_{n_{k+1}})<2^{-k})]를 만족시키는 부분열 [math(\{f_{n_k}\})]가 존재한다. 함수 [math(f:X\to\mathbb{K})]를 [math(\displaystyle f=f_{n_1}+\sum_{k=1}^\infty (f_{n_{k+1}}-f_{n_k}))] 라고 하면 임의의 [math(N\in\mathbb{N})]에 대하여 거리함수의 삼각부등식에 의해[math(\begin{aligned}\displaystyle d(f_{n_{N+1}},f_{n_1})&\le \sum_{k=1}^N d(f_{n_{k+1}}, f_{n_k})\\ 이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 [math(|f_{n_1}|+\sum_{k=1}^\infty|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}|\in L^p)]이므로 지배 수렴 정리에 의해 [math(f\in L^p)]이다. [math(\lim_{k\to\infty}f_{n_k}=f)]이므로 [math(\{f_n\})]은 [math(f)]로 수렴하는 부분열을 갖는 코시열로, [math(\{f_n\})]은 [math(f)]로 수렴한다. 즉 [math(L^p)] 공간은 바나흐 공간이다.&\le\sum_{k=1}^N \frac{1}{2^k}\le1\end{aligned})] [math(p=\infty)]일 때, [math(L^\infty)] 공간의 급수 [math({\sum_{n=1}^\infty f_n})]가 [math(L)]로 절대수렴한다고 하자. [math(\sum_{n=1}^\infty |f_n(x)|>L)]이면 어떤 [math(n)]에 대하여 [math(|f_n(x)|>\|f_n\|_\infty)]이다. 즉 [math(\displaystyle\left\{x:\sum_{n=1}^\infty|f_n (x)|> L\right\}\subseteq \bigcup_{n=1}^\infty\left\{x:|f_n(x)|>\|f_n\|_\infty\right\})] 가 성립한다. 따라서[math(\displaystyle\mu\left(\left\{x:\sum_{n=1}^\infty|f_n (x)|> L\right\}\right)\le \sum_{n=1}^\infty\mu\left(\left\{x:|f_n(x)|>\|f_n\|_\infty\right\}\right))] 이고 [math(\sum_{n=1}^\infty\mu\left(\left\{x:|f_n(x)|>\|f_n\|_\infty\right\}\right)=0)]이므로 [math(\|\sum_{n=1}^\infty |f_n|\|_\infty\le L)]이다. [math(\left|\sum_{n=1}^\infty f_n\right|\le \sum_{n=1}^\infty|f_n|)]이므로 [math(\sum_{n=1}^\infty f_n\in L^\infty)]이다. 즉 [math(\sum_{n=1}^\infty f_n)]가 [math(L^\infty)] 수렴하여 [math(L^\infty)] 공간은 바나흐 공간이다.
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4. 성질
4.1. Lp 공간 사이의 관계
[math(L^p)] 공간 사이에서 일반적으로 성립하는 포함 관계는 없다. 르베그 측도 공간 [math((0,\ \infty))] 위의 함수 [math(f_a(x)=x^{-a}(a>0))]에 대하여 [math(f_a1_{(0,\ 1)}\in L^p)]일 필요충분조건은 [math(p<a^{-1})]이고 [math(f_a1_{(1,\ \infty)}\in L^p)]의 필요충분조건은 [math(p>a^{-1})]이다. 따라서 [math(p<q)]일 때 [math(p<a^{-1}<q)]이면 [math(f_a1_{(0,\ 1)})]는 [math(L^p)]의 원소이지만 [math(L^q)]의 원소가 아니며, [math(f_a1_{(1,\ \infty)})]는 [math(L^q)]의 원소이지만 [math(L^p)]의 원소가 아니다.[math(L^p)] 공간 사이의 단순한 포함관계는 일반적으로 성립하지 않으나, [math(1 < p_1 < q < p_2\le\infty)]에 대하여
[math(L^{p_1} \cap L^{p_2} \subset L^q \subset L^{p_1} + L^{p_2})]
가 성립하며, 특히 [math(1/q=(1-\theta )/p_1+\theta /p_2)]인 [math(0\le\theta \le1)]에 대하여 [math(\|f\|_{L^q}\le\|f\|_{L^{p_1}}^{1-\theta}\|f\|_{L^{p_2}}^{\theta })]
이다. 두 벡터공간 [math(L^{p_1}\cap L^{p_2})]와 [math(L^{p_1}+L^{p_2})]는 각각 노름 [math(\|f\|=\|f\|_{L^{p_1}}+\|f\|_{L^{p_2}})]와 [math(\|f\|=\inf\{\|g\|_{L^{p_1}}+\|h\|_{L^{p_2}}:f=g+h\})]가 부여된 바나흐 공간이다.
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증명 [math(q=\infty)]일 때, 임의의 [math(p\in(0, \infty))]에 대하여 [math(\displaystyle\|f\|_{L^p}^p=\int|f|^p\le \|f\|_\infty^p\int 1 =\|f\|_\infty^p\mu(x))] 이므로 위 성질이 성립한다.[math(q<\infty)]인 경우 켤레 지수 [math(q/p)]와 [math(q/(q-p))]에 대하여 횔더 부등식을 적용하여 다음을 얻는다. [math(\displaystyle\begin{aligned} 즉, [math(L^q)] 노름이 유한한 함수 [math(f)]는 [math(L^p)]노름 또한 유한하여 [math(L_q(\mu)\subset L_p(\mu))]가 성립한다.
\|f\|_{L^p}^p =\int |f|^p\cdot 1 &\le \|\,|f|^p\,\|_{q/p}\|1\|_{q/(q-p)}\\ &=\|f\|_{L^q}^p\mu(X)^{(q-p)/q} \end{aligned})] |
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증명 [math(q=\infty)]일 때, 임의의 [math(p\in(0, \infty))]에 대하여 [math(\displaystyle\|a_n\|_{L^p}^p=\sup_{n\in\mathbb{N}}|a_n|^p\le\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p)] 이므로 [math(\|a_n\|_\infty\le \|a_n\|_{L^p})]이다.[math(q<\infty)]인 경우 [math(p<q<\infty)]이므로 [math(\theta=(q-p)/q)]에 대하여 성질 [math(\|a_n\|_{L^q}\le\|a_n\|_{L^{p_1}}^{1-\theta}\|a_n\|_{L^{p_2}}^{\theta})]를 적용하면 [math(\displaystyle\|a_n\|_{L^q}\le\|a_n\|_{L^p}^{1-\theta} \|a_n\|_\infty^{\theta}\le \|a_n\|_{L^p})] 가 성립한다. 즉, [math(l^p)] 노름이 유한한 수열 [math(a_n)]은 [math(l^q)]노름 또한 유한하여 [math(l_p\subset l_q)]가 성립한다.
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4.2. Lp 공간의 쌍대공간
[math(p\in(1, \infty))]와 [math(p)]의 횔더 켤레 [math(q)]에 대하여 [math(L^p)]의 쌍대공간은 [math(L^q)]이다. 즉, [math(L^p)] 공간의 연속 선형 범함수의 집합 [math((L^p)^*=L(L^p, \mathbb{K}))]와 [math(L^q)] 공간 사이에 전단사 등거리 사상이 존재하여 [math(L^p)] 공간의 범함수는 [math(L^q)] 공간의 함수로 결정되며, 그 역도 성립한다.[math(g\in L^q)]에 대하여 선형 범함수 [math(\phi_g:L^p\to\mathbb{K})]를
[math(\displaystyle \phi_g(f)=\int fg)]
로 정의하면 [math(\phi_g)]는 유계로, [math(\|\phi_g\|=\|g\|_{L^q})]가 성립한다. 여기서 [math(\phi_g)]의
작용소 노름은 [math(\|\phi_g\|=\sup\left\{\left|\int fg\right|:\|f\|_{L^p}=1\right\})]이다. 또한 [math(L^q)]에의 각 원소에 [math((L^p)^*)]의 원소 [math(\phi_g)]를 대응시키는 사상 [math(g\mapsto\phi_g)]는 단사사상이다. 이는 [math(\mu)]가 반유한 측도인 경우 [math(q=\infty)]일 때에도 성립한다.
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이 쌍대성은 [math(L^1)]과 [math(L^{\infty})]사이에서는 성립하지 않는다. [math(L^1)]에서 [math((L^{\infty})^*)]로의 사상 [math(g\mapsto\phi_g)]는 등거리 단사 사상 이지만 이 사상은 일반적으로 전사가 아니다. 마찬가지로 [math(L^\infty)]에서 [math((L^1)^*)]로의 사상 [math(g\mapsto\phi_g)]는 일반적으로 전단사가 아니다. [math(L^\infty)] 노름의 정의에서 영측도 조건을 국소적 영측도로 교체하여 단사성을, 이 조건에 분해가능 측도 조건이 추가로 만족되면 전사성을 얻는다.
[math(p\in(0,1))]일 때, [math(\mu)]가 비원자적 측도인 경우 [math((L^p)^*=\{0\})]이다. 이는 노름공간의 비자명 연속 선형 범함수 공간의 존재를 보장하는 한-바나흐 정리가 준노름 공간에서는 성립하지 않음을 보이는 대표적인 반례이다.
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4.3. Lp 공간의 부등식
- 횔더 부등식과 민코프스키 부등식은 [math(p\in[1,\infty])]에서 성립한다. [math(p\in (0,1))]일 때 반대 횔더 부등식과 반대 민코프스키 부등식이 성립한다.
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([math(L^p)] 노름의 로그 볼록성)
[math(0<p_1<q<p_2\le\infty)], [math(0\le\theta \le1)], [math(1/q=(1-\theta )/p_1+\theta /p_2)]일 때
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
}}}이다. 이는 사상 [math(1/p\mapsto\|f\|_{L^p})]의 로그 볼록성을 의미하는 것으로 횔더 부등식과 동치이다.
([math(\mu)]가 유한 측도인 경우) [math(\theta=2^{-1})], [math(q=2)]라 하면 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]이다. [math(X)]의 어느 점에서도 [math(0)]이 아닌 두 단순함수 [math(f, g)]와 두 실수
[math(\displaystyle\gamma=\frac{p}{2-p},\quad\delta=\frac{-p}{2-p})]
에 대하여 함수 [math(\nu:\mathcal{M}\to[0, \infty])]를 [math(\displaystyle\nu(E)=\int_E |f|^\gamma|g|^\delta\,d\mu)]
로 정의하면 [math(\nu)]는 [math((X, \mathcal{M}))] 위의 측도이다. 두 실수 [math(\displaystyle\alpha=\frac{1-p}{2-p},\quad\beta=\frac{1}{2-p})]
에 대하여 [math(h=|f|^\alpha|g|^\beta)]라 하면 [math(L^p(X, \nu))] 노름 [math({\|\cdot\|_{\nu_p}})]의 로그 볼록성에 의하여 [math(\|h\|_{\nu_2}^2\le\|h\|_{\nu_p}\|h\|_{\nu_q})]가 성립한다. [math(f=\sum_{k=1}^m a_k1_{E_k}, g=\sum_{k=1}^n b_k 1_{F_k} )]라 하면 [math(\displaystyle fg=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_ib_j1_{E_i\cap F_j},)]
[math(\begin{aligned}\nu(E_i\cap F_j)&=\int_{E_i\cap F_j}|f|^\gamma|g|^\delta d\mu\\
&=|a_i|^\gamma|b_j|^\delta\mu(E_i\cap F_j)\end{aligned})]
이므로[math(\begin{aligned}\nu(E_i\cap F_j)&=\int_{E_i\cap F_j}|f|^\gamma|g|^\delta d\mu\\
&=|a_i|^\gamma|b_j|^\delta\mu(E_i\cap F_j)\end{aligned})]
[math(\displaystyle\begin{aligned}
&\|h\|^2_{\nu_2}\\
&=\int\|f\|^{2\alpha}\|g\|^{2\beta}\,d\nu\\
&=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_i|^{2\alpha}|b_j|^{2\beta}\nu(E_i\cap F_j)\\
&=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_i|^{2\alpha+\gamma}|b_j|^{2\beta+\delta}\mu(E_i\cap F_j)\\
&=\int |f|^{2\alpha+\gamma}|g|^{2\beta+\delta}\,d\mu\\
&=\int |f||g|\,d\mu\\
&=\|fg\|_{L^1}
\end{aligned})]
이다. 위와 같은 방법으로&\|h\|^2_{\nu_2}\\
&=\int\|f\|^{2\alpha}\|g\|^{2\beta}\,d\nu\\
&=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_i|^{2\alpha}|b_j|^{2\beta}\nu(E_i\cap F_j)\\
&=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_i|^{2\alpha+\gamma}|b_j|^{2\beta+\delta}\mu(E_i\cap F_j)\\
&=\int |f|^{2\alpha+\gamma}|g|^{2\beta+\delta}\,d\mu\\
&=\int |f||g|\,d\mu\\
&=\|fg\|_{L^1}
\end{aligned})]
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\|h\|_{\nu_p}&=\left(\int|f|^{\alpha p}|g|^{\beta p}\, d\nu\right)^{1/p}\\
&=\left(\int |f|^{\alpha p+\gamma}|g|^{\beta p+\delta}\,d\mu\right)^{1/p}\\
&=\left(\int |f|^p|g|^0\,d\mu\right)^{1/p}\\
&=\|f\|_{L^p}
\end{aligned})]
이고 [math(p=q/(q-1))]에서\|h\|_{\nu_p}&=\left(\int|f|^{\alpha p}|g|^{\beta p}\, d\nu\right)^{1/p}\\
&=\left(\int |f|^{\alpha p+\gamma}|g|^{\beta p+\delta}\,d\mu\right)^{1/p}\\
&=\left(\int |f|^p|g|^0\,d\mu\right)^{1/p}\\
&=\|f\|_{L^p}
\end{aligned})]
[math(\displaystyle\beta=\frac{1-q}{2-q},\quad \delta=\frac{q}{2-q})]
이므로 [math(\|h\|_{\nu_q}=\|g\|_{L^q})]이다. 즉, [math(\|fg\|_{L^1}\le\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q})]가 성립한다. 임의의 [math(f\in L^p(X, \mu), g\in L^q(X,\mu))]에 대하여 [math(E=\operatorname{supp}(f)\cap\operatorname{supp}(g))]라 할 때, 각 항이 [math(E)]의 모든 점에서 [math(0)]이 아니고 절댓값이 증가하며 각각 [math(|f|)]와 [math(|g|)]로 수렴하는 두 단순 함수열을 [math(\{f_n\}, \{g_n\})]이라고 하면 유계 수렴 정리에 의해 [math(\|fg\|_{L^1}\le \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q})]가 성립한다.([math(\mu)]가 [math(\sigma)]-유한 측도인 경우) [math(\{E_n\})]을 [math(X=\bigcup_{n=1}^\infty E_n)]인 증가 유한측도 집합렬이라 하자. 자연수 [math(n)]과 두 함수 [math(f\in L^p, g\in L^q)]에 대하여 [math(f_n=f|_{E_n}, g_n=g|_{E_n})]에 대하여 [math(\|f_ng_n\|_{L^1}\le\|f_n\|_{L^p}\|g_n\|_{L^q})]이다. [math(n\le n+1)]이면
[math(\begin{aligned}\|f_ng_n\|_{L^1}&\le\|f_{n+1}g_{n+1}\|_{L^1},\\
\|f_n\|_{L^p}&\le\|f_{n+1}\|_{L^p},\\
\|g_n\|_{L^q}&\le\|g_{n+1}\|_{L^q}
\end{aligned})]
이므로 [math(n\to\infty)]일 때\|f_n\|_{L^p}&\le\|f_{n+1}\|_{L^p},\\
\|g_n\|_{L^q}&\le\|g_{n+1}\|_{L^q}
\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}\|f_ng_n\|_{L^1}&\to\|fg\|_{L^1},\\
\|f_n\|_{L^p}&\to\|f\|_{L^p},\\
\|g_n\|_{L^q}&\to\|g\|_{L^q}
\end{aligned})]
이고 [math(\|fg\|_{L^1}\le\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q})]가 성립한다.\|f_n\|_{L^p}&\to\|f\|_{L^p},\\
\|g_n\|_{L^q}&\to\|g\|_{L^q}
\end{aligned})]
([math(\mu)]가 임의의 측도인 경우) 두 함수 [math(f\in L^p, g\in L^q)]와 [math(X)]의 [math(\sigma)]-유한 집합족 [math(\mathcal{E})]에 대하여 [math(M=\sup_{E\in\mathcal{E}}\|fg|_E\|_{L^1})]이라 하자. [math(\|fg|_{E_n}\|_{L^1})]가 [math(M)]으로 수렴하도록 하는 [math(\mathcal{E})]의 집합렬 [math(\{E_n\})]에 대하여 [math(E=\left(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\right)\cup\operatorname{supp}(fg))]이라 하면 [math(E)]는 [math(\sigma)]-유한 집합이다. 따라서
[math(\displaystyle\begin{aligned}\|fg\|_{L^1}&=\|fg|_E\|_{L^1}\\
&\le \|f|_E\|_{L^p}\|g|_E\|_{L^q}\\
&\le \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q}
\end{aligned})]
이다.&\le \|f|_E\|_{L^p}\|g|_E\|_{L^q}\\
&\le \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q}
\end{aligned})]
}}}||
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(
체비셰프 부등식)
[math(p\in(0,\infty))]일 때 함수 [math(f\in L^p)]와 양수 [math(\alpha>0)]에 대하여 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;"
[math(\displaystyle\mu(\{x:|f(x)|>\alpha\})\ge \left(\frac{\|f\|_{L^p}}{\alpha}\right)^p)]}}}
4.4. 작용소의 보간
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리츠 보간 정리(Riesz interpolation theorem) 주어진 지수 [math(1 \le p_1<p_2 \le \infty,1 \le q_1<q_2 \le \infty)]에 연관된 작용소 [math(T : L^{p_1} + L^{p_2} \rightarrow L^{q_1} + L^{q_2})]가 [math(T(L^{p_1}) \subseteq L^{q_1})], [math(T(L^{p_2}) \subseteq L^{q_2})]을 만족하고 정의역 위에서 유계일 때, 임의의 [math(0<\lambda<1)]과
[math( \displaystyle (p,q)= \left( \frac{\lambda}{p_1} + \frac{1-\lambda}{p_2} \right)^{-1}, \left( \frac{\lambda}{q_1} + \frac{1-\lambda}{q_2} \right)^{-1})]
에 대해서 [math(T)]는 [math(L^{p} \rightarrow L^{q})]로의 잘 정의된 유계 연산자이며, 그 크기는 다음의 식으로 제한된다.
[math( \displaystyle \|T|_{L^p}\| \le \|T|_{L^{p_1}} \|^{\lambda} \|T|_{L^{p_2}} \|^{1-\lambda} )]
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5. 적용
편미분방정식을 전공하지 않으면 흔히 보는 것은 [math(L^1, L^2, L^{\infty})] 정도일 것이다.이 중 [math(L^2)] 공간은 많은 분야에서 특별한 지위를 누리고 있는데, [math(L^p)] 공간 중에서 유일하게 내적을 논할 수 있는 공간이 [math(L^2)]이기 때문이다. 일반적인 작용소를 분석하기 가장 쉬운 공간이 스펙트럼 정리의 위력을 자유자재로 사용할 수 있는 힐베르트 공간이며, 많은 이계 미분작용소[2]는 특정 가중치가 주어진 변형된 [math(L^2)] 공간에서의 에르미트 연산자로 간주될 수 있으므로 이 접근 방식은 상당히 범용적인 방법이다. 꼭 미분방정식이 아니더라도 [math(L^2)]는 푸리에 변환이 연산자로 정의되는 유일한 공간인 등등의 여러 가지 특수성을 지니고 있다. 해석학 전공자가 아니라면 이러한 내용들의 응용 예시 중 제일 유명하고 중요한 경우인 양자역학에서 [math(L^2)] 공간을 제일 자주 보게 될 것이다. 양자역학 자체가 내적(브라켓)과 연산자를 힐베르트 공간[3], 위에서 다루는 내용 위에 쌓아올려진 학문이기 때문.
[math(L^1)]과 [math(L^{\infty})] 공간은 정의 자체가 매우 직관적이기 때문에 제일 먼저 배우기도 하며, 유계성을 다루는 곳에서 외려 [math(L^2)]보다도 훨씬 자연스럽게 등장하는 경우가 많다. 다만 연산자로서의 성질을 다수 희생해야 하는 단점이 있어 의외로 [math(L^2)]보다 다루기 불편한 상황들도 있다. 통계학이나 최적화 이론 등등의 응용수학에선 선형 계획법(linear programming) 형태의 대부분 문제에서 [math(L^1)]이나 [math(L^{\infty})] 노름이 적용되고, 이차형식과 유클리드 노름을 다룬다면 [math(L^2)] 공간이 나오는 경우가 많다. 보통 [math(L^2)] 노름은 미분에 대해 최적화하기가 쉽지만 계산하긴 어렵고, [math(L^1)]이나 [math(L^{\infty})] 노름은 반대의 성질을 가지게 된다.
확률론에서의 적률(모멘트, moment)을 높은 차수까지 요구한다면 그 차수만큼의 [math(L^n)]을 요구할 수 있겠지만, 부득이한 상황이 아니고선 적절한 방법으로 꼬리를 잘라내고 일반적인 확률변수에 대해 확장하는 것이 요구되기 때문에 [math(L^2)]를 넘어서는 공간이 잘 나오지는 않는 편이다.
푸리에 변환은 [math(1 \le p \le 2)]이면 [math(L^p \rightarrow L^q)] 위에서 잘 정의되며, 특별히 [math(L^2 \rightarrow L^2)] 범위에서는 동형사상(isomorphism)이 된다.
해석학 내에선 [math(L^p)] 공간은 비교적 단순한 편으로, 더 다양한 상황을 묘사하기 위해선 도함수 등등에 조금 더 다양한 조건이 붙어 있는 여러 가지 함수공간을 생각하기도 한다. 모든 차수의 도함수가 [math(L^p)]에 있는 소볼레프 공간(Sobolev space)이 대표적인 예이다. 이런 상황에서도 특정 편미분방정식을 전공하지 않는 한 대부분의 사람들이 [math(p=1,2,\infty)]가 아닌 다른 특정한 차수의([math(L^3)], [math(L^4)] 같은) 공간을 볼 일은 별로 없다.
[1]
[math(\|f+g\|_{L^2}^2+\|f-g\|_{L^2}^2=\int|f+g|^2+\int|f-g|^2=2\int|f|^2+2\int|g|^2=2\|f\|_{L^2}^2+2\|g\|_{L^2}^2)]
[2]
정확히 말하면 타원 작용소(elliptic operator)들
[3]
다만 양자역학의 힐베르트 공간 중에서도 [math(L^2)]공간으로 정의되지 않는 것도 많으므로 주의하자.