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수와
연산 Numbers and Operations |
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<colcolor=#fff> 번분수
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1. 개요
繁 分 數 / complex fraction분수의 분자·분모 중 적어도 하나가 분수인 번잡한 분수다. 일반 분수(fraction)와는 달리 분수 안에 분수가 있는 분수다. 변형으로 연분수가 있다. 부분분수와도 관련있다.
2. 번분수 계산 방법
번분수는 분수의 나눗셈이다. 번분수 계산은 곱셈으로 바꿔가면서 간단하게 풀수있다.[math({a\over b}\over{c\over d})] 같은 번분수는 [math({a\over b} )] [math(\div)] [math({c\over d} )] [math( = )] [math({a\over b} )] [math(\times)] [math({d\over c} )] [math( = )] [math({ad\over bc} )]로, 나눗셈을 곱셈으로 바꿔 계산하면 된다.
또는 분수의 분모와 분자에 0이 아닌 동일한 수를 곱해도 원래 분수에 변화가 없음을 이용할수도 있다.
다시 말해서 분수 [math({a\over b} )]에 임의의 값 [math({c} )]를 분모와 분자에 한 번씩 곱하면 [math({a \times c \over b \times c} )]가 되어 원래의 분수와 같다.
이것은 [math({a\over b} )] 는 [math( {a \div b} )]이고 [math({a \over c})] [math(\div)] [math({b \over c} )]와 같기 때문에
이러한 사실을 이용해도 같은 결과를 얻을수 있다.
[math({a\over b} )] [math(\div)] [math({c\over d} )] [math(={a \over b \cdot {\color{red} c}} )] [math(\div)] [math({ c \over {\color{red} c} \cdot d } )]
[math({a\over b} )] [math(\div)] [math({c\over d} )] [math(={a \cdot {\color{red} d} \over b \cdot { c}} )] [math(\div)] [math({ c \cdot {\color{red} d} \over { c} \cdot d } )]
[math({a \cdot d \over b \cdot c} )] [math(\div)] [math({ {\cancel c} \cdot {\cancel d} \over {\cancel c} \cdot {\cancel d} } )]
[math({a \cdot d \over b \cdot c} )] [math(\div)] [math({ 1 \over 1 } )] [math(= {a \cdot d \over b \cdot c} )] [math(\div 1)] [math( = {a \cdot d \over b \cdot c} )]
2.1. 예
일반적인 분수는 분모가 1인 경우에서 생략된 것과 같다.이러한 경우를 알고 있으면 번분수 계산방법을 외우지 않고 역으로 생각해낼 수 있다.
[math({3})] [math( = {3\over 1} =)] [math( {3\over 1}\over{1\over 1})]
[math( {3\over 2} =)] [math( {3\over 1}\over{2\over 1})]
3. 비례식
모든분수는 [math({a\over b}\over{c\over d})] 의 모양에서 생략된것이므로 번분수가 비례식 [math( a:b = c : d)]과 같다는 사실을 이용하면 빠르고 쉽게 계산할수있다.따라서 내항([math(b,c)])들의 곱셈과 외항([math(a,d)])들의 곱셈에서
[math(외항 \over 내항)] [math(=)] [math( {a \cdot d} \over {b \cdot c } )] 이다.
유클리드 원론 제5권은 이러한
분수와 비례식의 관계에 대해 자세히 다루고 있다. [1] 3.1. 예
[math( {3\over 2} =)] [math({ {3\over 1}\over{2\over 1} } = )] [math( {3 \cdot 1}\over{ 1 \cdot 2})] [math( = {3\over 2} )]
4. 현재 번분수
2001년 중학교 1학년 수학과정에서 빠져 초등학교 6학년 수학에 들어갔으나 2003년 수학과정에서 완전히 빼버렸다. 이로 인해 번분수는 공식적으로 가르치진 않지만, 가끔 분수와 관련된 단원을 공부할 때 학교나 학원 수학 선생님들이 번분수라는 개념이 있다는 것까진 설명해주는 정도.번분수로 정의되는 수학적 이론으로 소수 정리 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln x}}=1)]이 대표적이다.
[1]
프로젝트 구텐베르크 The Elements of Euclid by John Casey 1885 The First Six Books -
https://www.gutenberg.org/ebooks/21076 P122 PROP. IV - Theorem