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수와
연산 Numbers and Operations |
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1. 개요
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복소수 [math(z)]에 대하여
[math(z^0 \equiv \dfrac zz )]
로 정의하는데, [math(0/0)]은 그 값을 하나로 정할 수 없기 때문이다.[2]
2. 극한값
2.1. x^x의 극한
[math(0^0)]은 다음처럼 극한으로 나타낼 수 있다.[3][math(\displaystyle 0^0=\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} )]
자연로그로 식을 다시 쓰면
[math(\displaystyle x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x} )]
이고, [math(x\equiv t^{-1} )]로 잡으면 [math(x\to0^+)], [math(t\to\infty)]가 되므로
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{t\to\infty} \exp \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) )]
이다. 이때, 지수의 극한값이 존재하므로 로피탈의 정리에 의해
[math(\displaystyle \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac{\ln t}t \biggr) \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{t\to\infty} \biggl( -\frac1t \biggr) = 0)]
이 됨에 따라
[math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} x^x = e^0 = 1)]
이 된다.
복소로그함수를 이용하면 좌극한은 물론 일반적인 복소극한도 생각할 수 있다.
[math(\displaystyle\lim_{z\to0}z^z=\lim_{z\to0}\exp(z\operatorname{Log}z)=\exp\left(\lim_{z\to0}z\operatorname{Log}z\right)=1)]
여기서 [math(\rm Log)]은 편각을 [math([0,2\pi))]로 제한한 복소로그함수이다.[* 이런식으로 치역의 편각을 [math(2\pi)] 기준으로 제한하는 것을 분지절단이라고 한다. 주로 [math([0,2\pi))]를 쓰지만 [math([a,a+2\pi))] 아무거나 써도 큰 문제가 생기지는 않는다.]
2.2. y^x의 극한
그렇다면, 이변수함수 [math(f(x,\,y)=y^x)]은 어떨까? 이는 다음과 같이 생각할 수 있다.[math(\displaystyle 0^0 = \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]
[math(y=0)]이라는 조건에서 이 극한을 생각하면
[math(\displaystyle \lim_{x\to0} 0^x = 0)]
이 되고, 반대로 [math(x=0)]이라는 조건을 따라서 생각하면
[math(\displaystyle \lim_{y\to0} y^0 = 1)]
이 된다. 즉, 극한이 진행하는 방향에 따라 그 극한값이 달라지기 때문에 [math(\displaystyle \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y) )]는 정의되지 않게된다. 같은 이유로 복소함수에서의 극한 [math(\displaystyle \lim_{(z,\,w)\to(0,\,0)} z^w )]도 정의되지 않는다. 따라서 [math(0^0)]의 값은 정할 수 없다.
2.3. 무한 번 제곱한다면?
우선 다음을 정의하자.[math( \overset{n}{\overbrace{a^{a^{\cdots^a}} }}=a\uparrow\uparrow n)]
이를 테트레이션(tetration)이라고 한다. 덧셈, 곱셈, 지수에 이은 4차 연산이라는 의미이다.
그리고 이 연산에서 [math(n)]을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.
[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a \uparrow\uparrow n = -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} )]
여기서 [math(\ln)]은 자연로그, [math(W)]는 람베르트 [math(W)] 함수이다.
이제 [math(a)]에 [math(0)]을 대입해 보자. 여기서 [math(\displaystyle \lim_{x\to0^+} (-\ln x) = \infty)]이고 [math(\displaystyle \lim_{x\to\infty} W(x) = \infty)]이므로 결국 위 극한은 [math(\dfrac{\infty}{\infty})] 꼴의 부정형이 된다.
여기서 부정형의 극한값을 구하기 위해 로피탈의 정리를 적용하면, 최종적으로 무한 번의 [math(0)]제곱은 [math(0)]에 수렴한다는 사실을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \lim_{a\to0^+} \biggl( -\frac{W(-\ln a)}{\ln a} \biggr)
\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}0)]
3. 편의상 값을 정하는 경우
엄밀하게는 정의되지는 않지만, 계산기, 프로그래밍 등과 같은 실용적인 분야에선 편의상 [math(0^0=1)]로 놓는 경우가 많으며, [math(0^{-n}=\infty \,(n \in \mathbb{N}) )]로 두는 경우도 많다.엄밀한 증명이 필요치 않은 경우, 그 값을 1로 둬도 문제되지 않으며, 계산의 편의성이 증가한다. 여기에서 더 많은 예시를 볼 수 있다.
3.1. 다항식
다항식 [math(f(x) )]를[math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k )]
의 형태로 표현하고자 할 때, [math(x)]의 값에 관계없이 [math(x^0=1)]이라 놓으면 편리하다. 그렇기 때문에 다항식을 다룰 때 [math(0^0=1)]이라 정의하는 경우가 많다.
3.2. 함수의 개수
두 집합 [math(X)], [math(Y)]에 대하여 각 집합의 원소의 개수를 각각 [math(x)], [math(y)]라 하자. 그런데 만약 두 집합이 모두 공집합이라면, [math(X \to Y)]인 함수는 순서 모음 [math( (\varnothing,\,\varnothing,\,\varnothing) )]으로 단 하나 존재한다. 이런 관점에서 [math(0^0=1)]이라 정의할 수 있다.그렇기 때문에, 초한기수 문서에도 기재돼 있지만, 기수의 지수 연산에서는 [math(0^0=1)]로 정의된다.
3.3. 중복 순열
마찬가지로, 0개에서 0개를 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수는 사실상 '그냥 안 뽑는 것' 딱 한 가지이다. 따라서 조합론의 관점에서는 명백히 [math(0^0=1)]로 생각할 수 있다.3.4. 뮌하우젠 수
뮌하우젠 수에서는 [math(0^0=0)]으로 정의한다.3.5. 계산기 프로그램
- 많은 계산기 프로그램에서 [math(0^0=1)]로 정한다. 심지어 윈도우 계산기에도 0^0이라 치면 1이 나온다. 추측건대, 계산기가 모든 수의 0제곱을 1로 인식해서 그런 듯하다.
- 카시오 공학계산기에서는 'Math Error'라며 계산을 거부하고, TI-84 계열 계산기에서는 도메인 오류를 띄우며, Wolfram Alpha 역시 '정의되지 않은 값'이라는 결과를 표시한다. 아예 안드로이드 계산기에는 '정의되지 않거나 1임'이라는 결과를 표시해준다.
4. 바퀴 이론에서의 정의
실수 [math(a)]에 대하여[math(\displaystyle {a^0 = {a \over a}})]
라고 한다면, [math(a = 0)]일때 [math(\displaystyle {0 \over 0})]이다. 그러니까
[math(\displaystyle {0^0 = ⊥})]
이다.