유한소수

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1. 개요2. 상세3. 판별법4. 분석5. 예시

1. 개요

有限小數 / terminating decimal, finite decimal

초등적으로는 무한소수와 구분되는 개념으로, 일정한 한계가 있는 소수를 말한다.

2. 상세

쉽게 말해서 일정하게 뚝 끊어지는 소수이다. 초등학교 때부터 중1 때까지 흔히 쓰이는 소수가 바로 이것이다. 유한소수는 유리수에 속한다.

그러나 이 개념은 소수점 아래에서 마지막에 반복되는 0이 곱셈/나눗셈을 해봤자 0만 뱉어내고 쓸데없이 자리만 차지하기 때문에 일반적으로 생략한다는 약속 때문에 만들어진 것이다.[1] 이러한 초등적인 개념에서, 유한소수는 '소수점 아래 자릿수가 유한한 소수', 무한소수는 '소수점 아래 자릿수가 무한한 소수'로 정의할 수 있으나, 이는 특정 진법(10진법 등)내에서만 성립한다. 일반적으로는 '똑같은 수라 하더라도 진법에 따라 유한소수가 되기도 하고 무한소수가 되기도 한다.'는 식으로 가볍게 짚고 넘어가는 편이다.[2]

[ 관련 예제 펼치기 · 접기 ]: 이를테면 [math(\dfrac18)]은 십진법에서 보통 유한소수인 [math(0.125)]로 표기하지만, 9진법에서는 [math(0.111\cdots_{(9)} = 0.\dot1_{(9)})]로 무한소수가 된다. 실제로 9진법은 연산 결과 어떤 자릿수가 9가 될 때 그 자리에 0을 쓰고 그보다 하나 높은 자릿수에 1을 쓰는 체계이므로, 세로셈법에서는 다음과 같이 계산할 수 있다. 아래 계산에서 9에서 8을 뺀 수를 1이 아닌 09로 쓰는 이유는 9진법에서 [math(10_{(9)} = 09)]이기 때문.
[math(\begin{array}{r} \begin{array}{r}\\ 8~\big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \!\!\!\!\!\!\!\: \begin{array}{r}0.1111\cdots_{(9)} \\ \hline 0.9_{(9)}\qquad\;\;\; \\ 8\qquad~~~\;\;\;\> \\ \hline 09\quad\quad\;\;\;~\> \\8\quad\quad\;\;\;~\> \\ \hline 09\quad\;\;\;~~~\> \\8\quad\;\;\;~~~\> \\ \hline09\quad\;\;\;~\> \\ 8\quad\;\;\;~\> \end{array} \end{array})]
위 특성은 모든 [math(n)]진법으로 일반화시킬 수 있으며, [math(n)]진법 체계에서 [math(\cfrac1{n-1} = 0.\bar1_{(n)})]이고, [math(0.\overline{n-1}_{(n)} = 1)]이다. 후술하는 것처럼 [math(1)]은 사실 [math(1 = 1.\overline0)]이므로 마지막 관계식으로부터 [math(0.\overline{n-1}_{(n)} = 1.\overline0)], 즉 어떤 진법 체계에서 딱 나누어 떨어지는 수의 소수 표기법은 항상 2가지 방식이 존재한다는 것을 알 수 있다. 물론 [math(0.overline9 = 1.overline0)]은 극한 개념을 이용해서 엄밀하게 증명이 가능한 명제이지만, 애초에 모든 진법에서 성립하는 [math(0.\overline{n-1}_{(n)} = 1.\overline0)]에서 [math(n = 10)]인 경우이므로 뒤집어서 말하면 이는 곧 소수 표기법이 가진 고유한 성질 중 하나이며, 특정 진법 내에서도 소수점을 이용한 표기법은 언제나 유일하지만은 않다는 사실을 알 수 있다.

잘 생각해보면 '소수점 아래에서 마지막에 반복되는 0은 생략한다.'라는 약속은 단지 인간의 편의에 따른 것이므로, 0을 생략하지 않고 엄밀하게 나타내면 앞선 예제에서 [math(\dfrac18 = 0.125)]는 [math(0.125\dot0)] 혹은 [math(0.125\bar0)]이며 유한소수는 소수점 아래에서 끝에 0이 반복되는 무한소수의 일종으로 볼 수 있다.[3] 이렇게 정의하면 십진법에서 유한소수이던 것이 다른 진법에서 무한소수가 되기도 한다는 설명 역시 아귀가 맞는다. 애초에 유한소수란 것이 소수점 아래에서 끝에 0이 반복되는 무한소수의 특수한 케이스이기 때문이다. 즉, '유한소수는 0이 반복되는 혼순환소수[4] 일종'이라고 개념을 받아들이게 되면, 흔히들 배우는 '유리수는 무한소수 중 일부인 순환소수와 유한소수에 걸쳐 있다.'라는 설명 역시, '유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.'라는 설명으로 깔끔하게 정리할 수 있다. 게다가 이 정의에 따르면 소수는 순환소수와 비순환소수로 나뉘게 되며, 유리수는 모두 순환소수이고 무리수는 비순환소수가 되기 때문에 수 분류체계와 1:1로 대응시킬 수 있다는 장점도 있다.

그러나 실제 초등학교나 중학교의 교육 현장에서 이렇게 가르치지 않는 이유는 실생활에서 십진법이 아닌 다른 진법을 만날 일이 별로 없으며[5], 소수점 아래 끝에서 나타나는 0 반복은 생략하는 게 일반적인만큼 유한소수와 무한소수를 구분해서 가르치는 것이 딱 보기에 가르치기 편하고 쉽게 와닿기 때문이다. 이러한 초등적인 정의는 훗날 [math(0.overline{9}=1)]이 왜 참인지 학생들로 하여금 헷갈리게 하는 근본적인 원인이 되기도 하며, [math(0.5)]는 사실 [math(0.5 = 0.5\dot0)]말고도 [math(0.5 = 0.4\dot9)]임을 쉬이 납득시키기 어렵게 하기도 한다. 때문에 한국의 수학교육과에서는 이처럼 유한소수를 혼순환소수의 일종으로 가르치기보다는 아예 [math(\boldsymbol{0.\overline{9}=1})]에 대해 언급하는 것을 금지하는 방식으로 회피하고 있다.

일부 중학교 교과서에서는 소수점 아래에 '0이 아닌 숫자'가 유한/무한 번 나타나는 소수로 정의하여, '소수점 아래 자릿수가 유한/무한한 소수'라는 정의에서 오는 문제점을 없앴다.

3. 판별법

어떤 분수를 소수로 변환했을 때 유한소수인지 무한소수인지 구별할 수 있는 방법은 간단하다. 분수를 기약분수로 고치고 소인수분해한 후 분모를 봤을 때 분모의 소인수가 2나 5밖에 없으면 유한소수, 2나 5 외에 다른 소인수가 존재하면 무한소수이다.

4. 분석

유한소수는 정수 부분과 소수 부분으로 나눌 수 있다. 일단 정수 부분은 무시하고, 소수 부분은 0.xxxx...xxx(소수점 아래의 자릿수가 n자리)와 같은 형태가 되는데 a=0.xxxx라고 하면 a=xxxx/10ⁿ=xxxx/(2ⁿ×5ⁿ)이다. 정수 부분은 분모를 10ⁿ으로 바꿔 소수 부분과 더할 수 있으므로 결국 유한소수는 분모를 10의 거듭제곱으로 나타낼 수 있다. 분모에 2나 5가 곱해져 있다면 기약분수에서 약분되지만, 결국 유한소수의 분모에는 2와 5만 남게 된다.

유한소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2나 5밖에 없다. 그래야 10의 제곱, 즉 2×5의 제곱 꼴로 나타내어 유한소수로 나타내어지기 때문이다.

5. 예시

0.1, 0.2, -0.1, -0.2 등이 유한소수에 속하는 수이다.

정수는 정의하기에 따라 유한소수로 볼 수 있는지의 여부가 달라지며, 사람들의 견해 차이가 생긴다.

유리수를 자연수, 정수, 정수가 아닌 유리수의 3가지 집합으로 구분한 뒤에는, 소수는 모두 정수가 아닌 유리수에 속하므로 정수는 유한소수가 아니다.
유리수의 정의만을 사용하여 정수를 표현했을 때는 유한소수이다. 이쪽이 조금 더 범용적인 해석이 된다.
유한소수는 순환소수의 특수한 경우라고 생각한다면, 정수 역시 순환소수의 일종으로 볼 수 있는데, 순환마디가 0인 순순환소수라고 볼 수 있다.

[1] 사실 이 0을 생략하는 개념은 일반 수학 정도에서만 통용되는 것으로, 과학계에서는 유효숫자 때문에 소수점 아래의 0을 생략하지 않는 경우가 많다. [2] 이 점을 가장 크게 느끼는 때가 바로 전자계산기를 만들 때이다. 전자계산기는 2진법을 쓰기 때문에 십진법으로는 유한소수이지만 2진법으로는 무한소수가 되는 문제가 생기는 경우를 모두 처리해 주어야 한다. [3] 의외로 해외에서도 이러한 견해를 볼 수가 있다. 울프럼 알파에서 에릭 바이스슈타인(Eric Weisstein)은 '[math(0.5)]와 같은 수는 [math(0.5 = 0.5\bar0 = 0.4\bar9)]이기 때문에 무한소수로 볼 수도 있다.'고 하였고, 캐나다의 앨버타 주정부의 교육사이트에서도 '13.2와 같은 유한소수는 13.20000000000000...와 같은 무한소수로 나타낼 수 있으나, 반복되는 수가 0일 경우 일반적으로 유한소수로 나타낸다.'라고 하였으며, 인도의 온라인 튜터링 플랫폼인 베단투에서도 앨버타 주정부의 교육사이트와 비슷한 견해를 보인다. 일본어판 위키피디아의 순환소수 문서에서도 '유한소수는 순환마디가 0(0자리라는 의미가 아닌, 반복되는 단위가 0)이라고 생각할 수 있다.'라는 서술을 볼 수 있다. [4] 순순환소수일수도 있지만 이 경우는 정수가 된다. 정수가 아닌 유리수라면 혼순환소수. [5] 요즘은 계산기의 보급으로 많이 사라져 가고 있는데 옛날에는 5진법 체계인 주판이 종종 쓰였기 때문에 5진법을 몸으로 터득하는 어린이들이 많았다. 최근엔 컴퓨터의 보급으로 2진법이나 16진법이 그나마 알려져 있는 편이지만, 일반적으로는 그와 같은 진법으로 사칙연산하는 방법을 심도 있게 배우지는 않는다. 수능에서도 과거에 직업탐구 영역에서나 나왔을 뿐이었다.