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[[대수학|대수학 Algebra ]]
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1. 개요
交 換 法 則 / commutativity원소 [math(a)], [math(b)]를 포함한 집합 [math(S)]와 연산 [math(*)] 가 정의되어 있을 때, [math(a*b=b*a)] 가 성립하면 집합 [math(S)]에서 연산 [math(*)] 에 대해 교환법칙이 성립한다고 한다.
반대로 [math(a*b\neq b*a)] 가 되는 반례가 하나라도 나온다면 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.
2. 교환법칙이 일반적으로 성립하는 연산
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.- [math(+)] ( 덧셈) 예시로 2+4=6, 4+2=6
- [math(\times)] ( 곱셈) 예시로 2×3=6, 3×2=6
- 지수와 로그(수학)의 곱
- [math(\max(a,b))] (둘 중 큰 수를 고르는 연산: 실수 범위)
- [math(\min(a,b))] (둘 중 작은 수를 고르는 연산: 실수 범위)
- [math(\cdot)] ( 내적: 벡터 범위)
- [math(*)] ( 합성곱: 라플라스 변환 관련 연산)
- [math(\circ)] (아다마르 곱: 행렬 범위)
- [math(\#)] (연결합: 위상)
3. 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.- [math(-)] ( 뺄셈): [math(a-b)], [math(b-a)]는 서로 부호가 반대이다.
- [math(\div)] (나눗셈, 당연히 0으로 나누면 안 된다.): [math(a\div b)]와 [math(b\div a)]는 서로 역수 관계이다.
- [math(^\wedge)] (제곱)[증명1]
- [math(\uparrow)] ( 테트레이션)
- [math(\circ)] (둘 이상의 함수의 합성)
- [math(\otimes)] ( 외적): 벡터 범위, [math(\mathbf a\otimes\mathbf b)]와 [math(\mathbf b\otimes\mathbf a)]는 크기가 같지만 방향이 반대로 뒤집힌다.
- [math(\times)] (곱셈: 곱셈이 정의된 행렬 범위)
- [math(\times)] (곱셈: 사원수 범위)[증명2]
- [math(+/\times)] (덧셈/곱셈): 무한서수가 포함된 연산
- [math(\otimes)] ( 텐서곱: 텐서 범위)