인수분해

1. 개요

2. 정수 위에서의 인수분해

3. 다항식 위에서의 인수분해

• 유리수 범위: [math((x^2+1)(x^2-2))]
• 실수 범위: [math((x^2+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2))]
• 복소수 범위: [math((x+i)(x-i)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2))]

3.1. 기본적인 인수분해

1. [math(x^2\pm2xy+y^2 = (x\pm y)^2)]
2. [math(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy)]
3. [math(x^2-y^2 = (x+y)(x-y))]
4. [math(x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b))]
5. [math(acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d))]

1. [math(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz = (x+y+z)^2)]
2. [math(x^3\pm 3x^2y+3xy^2\pm y^3 = (x\pm y)^3)]
3. [math(x^3\pm y^3 = (x\pm y)(x^2\mp xy+y^2))]
4. [math(x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = (x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+xz+yz))]
5. [math(x^4+x^2y^2+y^4 = (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2))]

1. [math(x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1))][4]
2. [math(x^n-1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots+x-1))] (단, [math(n)]은 짝수)
3. [math(x^n+1 = (x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+\cdots-x+1))] (단, [math(n)]은 홀수)
4. [math(x^4+4ax^3+6a^2x^2+4a^3x+a^4 = (x+a)^4)][5]
   (이상 복부호 동순)

1. [math(x^4+y^4 = (x+y)^4-4xy(x+y)^2+2x^2y^2)]
2. [math(x^4-y^4 = (x-y)(x+y)((x+y)^2-2xy)))]
3. [math(x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz = (x+y+z)^3)]
4. [math(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+2xyz = (x+y)(x+z)(y+z))]
5. [math(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+3xyz = (x+y+z)(xy+xz+yz))]
6. [math(x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)^3-3(x+y)(x+z)(y+z))]
7. [math(x^2+y^2+z^2+3xy+3xz+3yz = (x+y)(x+z)+(x+y)(y+z)+(x+z)(y+z))]
8. [math(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+2xyz(x+y+z) = (xy+xz+yz)^2)]
9. [math((x^2+y^2+z^2)^2+4(x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz)(xy+xz+yz) = (x+y+z)^4)]

3.1.1. 완전제곱식

3.2. 조립제법

3.2.1. 2차식 이상에 대한 조립제법

3.3. 대수학에서의 인수분해 스킬

• 한 변수에 대한 다항식
  특정 변수에 대해 1변수 다항식으로 정리하거나, 꼭 정리하지 않더라도 다양한 사고방식을 활용할 수 있다. 예를 들어 다항식 [math(F(x,y,z))]가 [math(F(x,y,y)=0)]을 만족한다고 하자. [math(z)]에 대한 다항식으로 볼 때 나머지 정리를 적용하면 [math(F)]는 [math(z-y)]를 인수로 가짐을 알 수 있다. [math(x^n-y^n)]에서 첫 번째 인수로 자연스럽게 [math(x-y)]을 떠올릴 수 있는 이유.

• 동차식
  모든 변수에 대한 총 차수가 같은 다항식을 동차다항식(homogeneous polynomial)이라 한다. 동차다항식의 인수는 동차다항식만이 가능하다. 예를 들어 [math(x^6 + x^3 y^3 + y^6)]을 인수분해했을 때 [math(x + y^2)] 같은 식이 인수로 들어갈 수 없다는 사실을 바로 알 수 있고, 이걸 잘 쓰면 인수로 가능한 범위를 꽤나 많이 줄일 수 있다.

• 대칭식과 교대식
  대칭식은 임의의 두 변수를 치환했을 때 불변하는 식(원래의 식과 같아지는 식)으로, 대칭인 다항식인 대칭다항식의 인수는 항상 대칭적으로 나타난다. 즉, 어떤 대칭식이 [math(x+y)]를 인수로 갖는다면 이는 [math(y+z)], [math(z+x)]도 인수로 가져야 한다. 대칭다항식의 기본정리[12]를 사용할 수도 있지만, 이걸 무작정 쓴다면 인수분해가 꼬이는 경우도 있다.
  
  교대식의 정의는 임의의 두 변수를 치환했을 때 식의 부호가 바뀌는 식이다. 3변수 교대식의 경우 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수로 갖고, 두 교대식의 비율은 대칭식이기 때문에 모든 교대식은 대칭식과 저 인수의 곱으로 나타난다. 일반적 [math(n))]변수의 경우 모든 [math(x_i-x_j)]들의 곱과 대칭다항식 부분으로 분해가 된다. 예를 들어 [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))]는 동차 교대식이고 따라서 [math((x-y)(y-z)(z-x))]를 인수를 갖고, 남은 부분은 일차 동차인 대칭식이므로 [math(c(x+y+z))] 꼴이다. [math(x^3 y)]의 계수를 비교하면 [math(c=-1)]이므로 [math(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z))]가 성립한다.

• 정수계수 인수분해
  
  가우스 보조정리(Lemma von Gauß)[13]
  
  

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  정수계수 다항식이 유리계수 다항식 둘로 [math(f=ab)]처럼 인수분해될 때, 적절한 유리수 [math(c)]가 존재해 [math(A=ca)], [math(B(x)=c^{-1}a)]가 정수계수 다항식이 되게 할 수 있다.
  
  즉, 다항식이 유리계수 위에서 인수분해되면 정수계수 위에서 인수분해 가능하고, 이는 심지어 다변수에 대해서도 성립한다. 상술한 유리근 정리의 상당한 일반화로 볼 수 있다. 이 정리의 증명은 현대대수학 수준이라 당연히 교과과정 외이지만, 정수계수만 인수로 생각해도 충분하다는 것을 보장해 주는 꼼수안전장치로 받아들이면 괜찮다.

• 기약다항식 판정법
  교과과정에서는 웬만하면 풀리는 인수분해를 내주지만, 보다 고급 과정에선 인수분해가 더 이상 불가능함을 증명하라는 상황이 등장하기도 한다. 인수분해가 불가능한 다항식을 기약 다항식(irreducible polynomial)이라 하는데, 정수론에 어느 정도 지식이 있으면 이 기약다항식 판정에 막무가내 미정계수법으로 인수분해의 불가능성을 보이는 것보다 세련된 방법을 몇 가지 동원할 수 있다. 그 중 대표적인 것으로 아이젠슈타인 판별법이 있다.
  
  아이젠슈타인 판별법(Eisensteinkriterium)
  
  

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  정수계수 다항식 [math(a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_1x +a_0)]의 계수들이 소수 [math(p)]에 대해 다음 세 조건 [math(p\nmid a_n)], [math(p\vert a_i)] ([math(i=0)], [math(1)], [math(2)], [math(\cdots)], [math(n-1)]), [math(p^2\nmid a_0)]을 만족시키면, 그 다항식은 기약다항식이다.
  
  예를 들어서 다항식 [math(x^{2222} +2x^{2220} +4x^{2218} +6x^{2216} +\cdots +2218x^4 +2220x^2 +2222)]는 [math(p=2)]에 대해 이 판별법을 만족시키므로 기약이다. 꼭 원래 다항식이 이걸 만족시키지 않더라도, [math(f(k))]가 소수가 되는 정수 [math(k)]를 찾을 수 있으면 아이젠슈타인 판별법을 [math(f(x+k))]에 대해 시도해볼 만하다. 예를 들어 소수 [math(p)]에 대해 다항식 [math(x^{p-1} +x^{p-2} +\cdots +1)]은 [math(x = y+1)]을 대입하면 아이젠슈타인 판별법으로 기약임을 보일 수 있다.[14]
  
  한편, 원래 다항식이 인수분해가 된다면, 합동식을 적용해서 소수 법(mod)으로 보았을 때도 인수분해가 되어야 한다. 따라서 합동식을 썼을 때 그 법 위에서 기약이 되는 소수를 찾거나, 아니면 2개 이상의 소수 법에 대한 인수분해 결과를 대조해서 모순을 이끌어내는 테크닉도 사용이 가능하다.

4. 여담

5. 관련 문서

• 대수학의 기본 정리
• 곱셈 공식
• 다항식
• 나머지 정리
• 소인수분해
• 분해체