1. 垂直線(수직선)
Perpendicular line.
다른 직선이나 평면 등에 대해 직각으로 만나는 직선을 말하는 개념이다. 수직으로 되어있다 하면 수직선이 있다. 2차원 유클리드 평면에서는 두 직선이 수직으로 만나는 경우 두 직선이 만나서 생기는 네 각의 크기가 모두 동일해지며, 이 특성을 직각을 정의하는데 사용할 수도 있다.
3차원 공간에서 한 평면에 대한 수직선 l은 평면과 한 점에서 만나면서 평면 위에서 이 교점을 지나는 모든 직선이 l과 수직일 때로 정의된다. 이 평면 밖의 점 A에서 평면에 대한 수직선을 내렸을 때 이 평면에 대한 수직선의 교점을 B라고 놓으면 평면위의 임의의 점 C에 대해 직선 AC와 BC가 수직선을 공유한다는 내용의 정리가 바로 고등학교 기하와 벡터 시간에 배우는 삼수선 정리이다.
한점에서 주어진 직선에 수직인 선을 긋는 것을 수선의 발이라고 부른다.
1.1. 두 직선의 수직 조건
두 직선의 기울기의 곱이 [math(-1)]이면 두 직선은 서로 수직인데, 이는 다음과 같이 보일 수 있다.일차함수의 좌표평면에서 두 직선 [math(l:y=mx+n)]과 [math(l':y=m'x+n')]이 서로 수직일 조건은 우선 원점을 지나고 두 직선 [math(l)]과 [math(l')]에 평행한 두 직선 [math(y=mx)]와 [math(y=m'x)]으로 바꾸고 생각하면 된다.
이 두 직선의 교점을 각각 [math(P)], [math(Q)]라고 하면, [math(P(1, m))], [math(Q(1, m'))]이다. 이때 두 직선 [math(y=mx)], [math(y=m'x)]이 서로 수직이면 삼각형 [math(POQ)]는 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의하여
[math(\overline{OP}^2+\overline{OQ}^2=\overline{PQ}^2)]이다.
이때, [math(\overline{OP}^2=1+m^2)], [math(\overline{OQ}^2=1+m'^2)], [math(\overline{PQ}^2=(m-m')^2)]이므로, [math((2+m^2+m'^2)=(m-m')^2)]이 되는데, 이 식을 정리하면 [math(mm'=-1)]이다. 따라서 두 직선의 기울기의 곱이 [math(-1)]이면 두 직선은 서로 수직([math(l \perp l')])임을 보일 수 있다.
1.2. 관련 정리
2. 數直線
Number Line.
직선 위의 각각의 점들을 실수의 값에 대응해서 표현한 선이다. 1차원의 좌표계라고 말할 수 있다. 직선 위의 한 점이 0에 대응되고, 한쪽 방향은 양수, 다른 한쪽 방향은 음수에 대응한다. 보통 수평선으로 그려지며, 정수에 대응하는 점들을 수직선 위의 격자로 표시하는 경우가 많다. 아래 그림처럼...
[math(n)]차원 직교 좌표계는 [math(n)]차원 공간 전체를 서로 직교하는 [math(n)]개의 수직선들의 값의 모음으로 표현한 것이다. 예를 들면 평면좌표계의 [math(x)]축과 [math(y)]축은 각각이 수직선이다.
초등학교 수학할 때부터 덧셈의 개념과 곱셈의 개념을 이해하기 위해서 등장한다. 예를 들면 [math(3\times 5=15)]라는 식을 계산할 때 3칸 오른쪽으로 전진한 화살표를 5번 그려서 15에 도달하는 그림으로 묘사하든지. 중학교 1학년 때 음수를 포함한 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등에서도 이해를 돕는 데 쓰인다.
수의 범위를 확장해서 복소수가 될 때에는 수직선을 사용할 수 없고, 복소평면을 사용해서 설명하는데, 서로 다른 두 복소평면 혹은 벡터를 확대·축소·회전시켜서 복소수 간의 가감승제의 이해를 돕는데 쓰이기도 한다.