최근 수정 시각 : 2022-07-13 07:06:13

거짓말쟁이의 역설

수학기초론
Foundations of Mathematics
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1. 개요2. 타르스키의 표준적 해결책3. 기타4. 더 볼 만한 글5. 대중매체에서

1. 개요

Liar Paradox

철학 논리학에서 패러독스( 모순)의 가장 대표적인 예. 자기 언급의 패러독스라고도 한다.
명제: 이 문장은 거짓이다.
1. 이 명제가 사실이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 사실이다.
1. 즉 '이 문장이 거짓이다'라는 게 사실이므로, '이 명제는 거짓'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 사실이다'라는 전제와 모순된다.
1. 이 명제가 거짓이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 거짓이다.
1. 즉 '이 문장은 거짓이다'라는 게 거짓이므로, '이 명제는 사실'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 거짓이다'라는 전제와 모순된다.
이 명제가 사실이다 라는 전제는 이 명제가 거짓이라는 결론으로 이어지며, '이 명제가 거짓이다'라는 전제는 '이 명제가 사실이다'라는 결론으로 이어지는 논리의 무한순환이 이어진다. 말 그대로 답이 없는 문제.
나는 지금 거짓말을 하고 있다.
임무: 이 임무를 거부하라.
'낙서 금지'라는 낙서

2. 타르스키의 표준적 해결책

수학이나 철학에서 표준적으로 받아들이는 해결책은 현대 모형 이론의 창시자인 알프레트 타르스키(Alfred Tarski)이 1933년에 내놓은 해결책이다. 러셀 화이트헤드의 분지 유형 이론(ramified type theory)에 영향을 받은 타르스키 이론의 핵심 발상은 다음과 같이 거칠게 요약될 수 있다.
1. '참' 술어는 언어-상대적으로 정의된다.
* e.g., 한국어 문장의 '참'과 영어 문장의 '참'은 별개의 술어다.
1. 특정 언어에 적용되는 '참' 술어는 그 언어에 포함되지 않는다.
* e.g., '참이다'라는 술어를 한국어 문장에 붙임으로써 그 문장이 참임을 뜻할 수 있다고 해보자. 그렇다면 '참이다'는 한국어 어휘가 될 수 없다.
1. 대상 언어와 메타 언어는 구분되어야 한다. - 한 대상 언어의 메타 언어는 그 대상 언어를 진부분으로 포함해야 한다.
* e.g., 한국어가 대상 언어일 경우, 한국어의 메타 언어는 한국어를 진부분으로 포함하며 추가적으로 '참이다' 같은 술어 또한 포함한다. 예를 들어 '눈은 하얗다'는 한국어 문장이 될 수도, 한국어의 메타 언어의 문장이 될 수도 있지만, ''눈은 하얗다'는 참이다'는 한국어의 메타 언어의 문장이지만 한국어 문장이 될 수는 없다.
1. 한 대상 언어의 메타 언어는 그 자체로 또다른 메타 언어를 필요로 하며, 이처럼 언어들은 계층을 이룬다.
분지 유형 이론이나 ZFC에서 러셀의 역설이 조기에 차단되는 것처럼 이런 타르스키식 해결책을 받아들인다면 '이 문장은 거짓이다' 같은 거짓말쟁이 역설은 애초에 발생할 수 없게 된다.

3. 기타

  • 에피메니데스의 역설[1]과 혼용되곤 한다. 하지만 에피메니데스의 역설은 논리적으로는 역설이 아니다.[2] 단, 에피메니데스는 이런 역설을 의도해서 얘기했기보다는 자국을 자조적으로 일컫는, 헬조선과 같은 의미로 사용했을 가능성이 크다.[3]
  • 이 문장은 거짓이다가 참으로 가정해도 거짓으로 가정해도 가정과 모순되는 것과 다르게 이 문장은 참이다는 참으로 가정해도 모순이 없고 거짓으로 가정해도 모순이 없다.[4]
  • 이 역설을 절묘하게 변주한 결과가 바로 괴델 불완전성 정리다. 간단히 말하면, 괴델은 "이 문장은 증명 불가능하다"라는 문장을 모순이 없도록 구축해내면서 이 정리를 증명했다.

4. 더 볼 만한 글

여러분 이거 다 거짓말인 거 아시죠

5. 대중매체에서

포탈 2에서 글라도스 휘틀리에게 이 명제를 이용한 '패러독스 공격'을 가했다.[5] 주변에 있던 기형 큐브터렛은 이 말을 듣자마자 전부 회로가 터졌지만, 정작 휘틀리는 너무 지능이 낮아서 이해하지도 못하고 멀쩡한 채로 "어...참?"이라고 답했다. 글라도스가 황당해하며 "이건 패러독스야! 참이나 거짓이 없다고!"라 지적한다. 그러자 휘틀리가 하는 말. '어 그럼 거짓.'

공각기동대 Stand Alone Complex에서 타치코마들은 오퍼레이터에게 역설을 말해서 무한 루프를 일으키고 오퍼레이터가 지키고 있던 프로토타입을 가져간다. 그리고는 거짓말쟁이의 역설조차 처리하지 못하는 깡통이라고 놀린다.

마음의소리에서는 추리게임을 할 때 거짓말 탐지기를 사용해서 범인을 판별하려 했는데, "거짓말을 하는 놈이 범인"이라는 전제로 탐지기를 썼는데 조석이 탐지기에 손을 대고 내가 범인이라고 했더니 소리가 안 나서 사건이 미궁에 빠지는 개그가 벌어졌다.

[1] 고대에도 워낙 유명한 주장이었는지, 성경에도 나온다. "그들 중의 한 사람이 "우리 그레데 사람들은 언제나 거짓말쟁이이고 몹쓸 짐승이고 먹는 것밖에 모르는 게으름뱅이이다." 하고 말하지 않았습니까? 이 말을 한 사람은 바로 그들(그레데 사람)의 예언자라는 사람입니다."( 디도서 1:12). [2] 에피메니데스가 한 말인, "모든 크레타 사람은 거짓말쟁이다."를 부정하는 '어떤 크레타 사람은 거짓말쟁이가 아니다.'라는 명제가 '에피메니데스 본인이 거짓말쟁이다'와 상충하지 않기 때문이다. [3] '디도서'에서 에피메니데스의 역설을 인용한 사도 바울로 역시 바로 다음 절(디도서 1:13)에서 "이 증언이 참되다"라고 평하였다. [4] 이 문장은 거짓이다가 마치 0×a=3 처럼 불능이라면 이 문장은 참이다는 0×a=0처럼 부정이라고 할 수 있다. [5] AI라면 True냐 False냐 하는 정확한 답이 나와야 하는데 답이 없는 문제이므로, 연산에서 무한 루프가 걸려 오류과정을 내뱉고 다운된다고 한다. 글라도스가 이 문제를 말할 때, "This", "sentence" , "is", "false" 하는 식으로 단어를 끊어서 말하고 계속 '생각하지 말자...생각하지 말자..."귀엽다하고 자기최면을 거는 것으로 볼 때, 글라도스도 이 오류를 회피할 수는 없는 듯.