최근 수정 시각 : 2022-04-13 00:25:33

굿스타인 정리


수학기초론
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1. 개요2. 약한 굿스타인 수열3. 반복 n진법 표현4. 굿스타인 수열5. 역사6. Fast-growing hierarchy

1. 개요

굿스타인의 정리(Goodstein's theorem)는 임의의 자연수에서 시작하는 굿스타인 수열이 유한한 숫자의 항을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 사실이지만 페아노 공리계로 증명할 수 없으며, 이것은 불완전성 정리가 발표된 뒤 발견된 "사실이지만 증명 불가능한 명제[1]"들 중 하나로, 앞선 것들보다 상대적으로 설명하기 쉽고 굿스타인 수열의 값 자체가 큰 수이기 때문에 유명해지게 되었다.

이 영상들을 참고하면 된다: 소개 상세

2. 약한 굿스타인 수열

약한 굿스타인 수열을 알고 있으면 굿스타인 수열을 이해하기 쉽다. 약한 굿스타인 수열은 이렇게 정의된다.
  1. 수열의 첫 번째 값 [math(a_1)]으로 임의의 자연수 [math(n)]을 선택한다.
  2. [math(n)]을 2진법으로 전개한다. [math(n=\displaystyle \sum_{i=0}^k {d_i 2^i})]가 될 것이다.
  3. 위의 식에서, 2를 3으로 바꾼 뒤 1을 빼면 다음 항이 된다. 따라서, 11로 시작한 약한 굿스타인 수열의 다음 항 [math(a_2)]는 [math(11=1011_{(2)})][2]이므로 [math(1011_{(3)}-1_{(3)})][3][math(=30)]이 된다.
  4. [math(a_3)]은 [math(a_2)]를 3진법으로 전개한 뒤, 3을 4로 바꾸고 1을 빼는 것으로 정의한다. 따라서 위의 경우 [math(a_3=4^3+4^1-1=67)]이다.
  5. 0에 도달하면 수열이 끝난다.

약한 굿스타인 수열은 항상 유한한 단계 뒤에 끝나게 되며, 이것은 서수 개념이 필요하지만 페아노 공리계에서 증명 가능하다. 수열의 각 값은 어떠한 서수에 대응되고, (예를 들어, 위의 [math(a_1=11=2^3+2^1+2^0)]은 [math(\omega^3+\omega+1)]) 이 대응된 서수는 1을 빼는 과정 때문에 줄어들기만 한다.

3. 반복 n진법 표현

반복 n진법 표현은 어떤 자연수 [math(m)]을 n진법 전개 [math(\displaystyle \sum_{i=0}^k {d_i n^i})]로 나타낸 뒤, 각각의 [math(i)]를 다시 n진법 전개로 나타내고, 이 과정을 더 이상 반복할 수 없을 때까지 계속하는 것이다.

따라서, 11의 반복 2진법 표현은 [math(11=2^3+2^1+2^0=2^{2^1+2^0}+2^1+2^0)]이 된다.

4. 굿스타인 수열

굿스타인 수열은 약한 굿스타인 수열의 n진법 표현을 반복 n진법 표현으로 대체한 것이다. 약한 굿스타인 수열보다 훨씬 급격히 커지지만 유한한 단계 뒤에 끝나는 것은 같다. 약한 굿스타인 수열과 달리, 이 수열이 유한한 단계 뒤에 끝난다는 것은 페아노 공리계에서 증명할 수 없다. 증명은 약한 굿스타인 수열의 경우와 거의 동일하지만, 이 경우 대응하는 서수가 [math(\omega^{\omega^{\omega^\cdots}}=\epsilon_0)]보다 작은 어떤 것이든 올 수 있게 된다. 약한 굿스타인 수열의 경우, 대응하는 서수의 상한은 [math(\omega^\omega)]였다.

5. 역사

불완전성 정리가 증명된 뒤 4년이 지난 1935년에, 게르하르트 겐첸은 초한 귀납법의 정당성을 [math(\epsilon_0)] 이상의 서수에 대해서 보일 수 없다는 사실을 증명하였다. 이것은 그 자체로 페아노 공리계에 대한 불완전성 정리의 직접적인 증명이 된다.

굿스타인은 1944년에 큰 서수에 대한 초한 귀납법이 필요한 굿스타인 정리를 증명하면서, 참이지만 페아노 공리계에서 증명할 수 없는 또 다른 명제를 만들어 냈다.

이후, 램지 이론에서 증명된 패리스-해링턴 정리가 페아노 공리계에서는 증명될 수 없다는 사실이 밝혀지면서, 패리스-해링턴 정리는 최초로 불완전성 원리의 "자연스러운" 예가 되었다.

6. Fast-growing hierarchy

[math(n)]에서 시작하는 약한 굿스타인 수열의 최대값을 [math(g(n))], 굿스타인 수열의 최대값은 [math(G(n))]이라고 하면, [math(g(n))]은 대략 [math(f_{\omega^\omega}(n))]와 비슷한 크기이고, [math(G(n))]은 [math(f_{\epsilon_0}(n))] 정도인 것을 알 수 있다.
[1] 명제의 증명은 38년 후 Paris와 Kibry에 의해 진행되었다. [2] [math(2^3+2^1+2^0)] [3] [math(3^3+3^1+3^0-1)]