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1. 개요
Joint probability distribution결합확률분포란 두 개 이상의 확률 변수들에 대한 분포이다.
두 확률변수 X, Y에 대한 결합확률분포는 함수로 다음과 같이 표현된다.
[math(f_{X, Y}(x, y))]
이 함수는 확률변수가 이산형이면 결합확률질량함수, 연속형이면 결합확률밀도함수라고 부른다. [1]2. 결합확률함수
Joint probability mass function (결합확률질량함수)두 이산형 확률변수 X, Y의 결합확률질량함수는 [math(P(X=x, Y=y) = f_{X, Y}{(x, y)})] 처럼 사용된다.
두 연속형 확률변수 X, Y의 결합확률밀도함수는 [math(P(a\leq X\leq b, c\leq Y\leq d) = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f_{X, Y}{(x, y)} dx dy)] 처럼 사용된다.
3. 주변확률분포
Marginal probability distribution두 확률변수 X, Y의 결합확률분포에서 X, Y 각각의 확률함수를 구할 수 있는데 이를 주변확률분포라고 한다.
두 이산형 확률변수 X, Y에 대해 X의 주변확률질량함수는 [math(\displaystyle f_{X}(x)=\sum_{모든 y} f_{X, Y}{(x, y)})] 이다.
두 연속형 확률변수 X, Y에 대해 X의 주변확률밀도함수는 [math(f_{X}(x)=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X, Y}{(x, y)}dy)] 이다.
4. 성질
4.1. 확률변수가 독립일 때
두 확률변수가 독립일 때, 다음과 같은 성질이 성립한다.또한, 다음과 같은 성질이 성립하면, 두 확률변수는 독립이다.
두 이산형 확률변수 X, Y에 대해 [math(P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y))]
두 연속형 확률변수 X, Y에 대해 [math(f_{X, Y}(x, y) = f_{X}(x) * f_{Y}(y))]
[1]
결합확률분포를 이해할 때, 확률변수가 이산형일 때와 연속형일 때를 구분하는 것이 중요하다.