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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
角 / angle각은 평평한 면에서 면으로 급격히 꺾여 튀어나온 모퉁이를 뜻하는 한자어다. '각지다', ' 사각지대'( 死角 地 帶), ' 사각턱' 등의 예가 있다. 수학에서는 더욱 엄밀하게 정의되어 쓰인다. 순우리말은 모. 초등학교 3ㆍ4학년 때 배우며, 중1 때도 나온다.
2. 정의
수학적으로는 반직선과 반직선이 맞붙었을 때 꼭짓점 안팎에서 생기는 공간으로 정의된다. 기호는 °을 쓴다.보통 기하학적으로 다루는 각은 육십분법[A]을 기준으로 [math(0\degree \sim360\degree)]까지이며, [math(360\degree)]가 넘어가면[2] 다시 [math(0\degree)]부터 세어나간다고 보면 된다.
2.1. 고등학교 과정에서
고정되어 있는 반직선 [math(\overrightarrow{\rm OX})]와 같은 위치에 있던 반직선 [math(\overrightarrow{\rm OP})]가 점 [math(\rm O)]를 중심으로 회전하게 되면 각 [math(\angle\rm POX)]가 생성되는데, 여기서 [math(\overrightarrow{\rm OX})]를 [math(\angle\rm POX)]의 시초선, [math(\overrightarrow{\rm OP})]를 [math(\angle\rm POX)]의 동경이라 한다. 이때 동경 [math(\overrightarrow{\rm OP})]가 시초선 [math(\overrightarrow{\rm OX})]를 기준으로 회전하는 방향이 반시계 방향이면 양의 방향이라 하고, 시계 방향이면 음의 방향이라 부른다.
이런
정의를 사용하는 이유는 중학교 수준에서 쓰는 정의만으로는
각의 범위가 한정되어있기 때문이다. 그래서 위와 같이
회전량이라는 새로운 방법으로 각을 정의하며, 이 정의에 따르면 음의 각과 [math(360\degree)]를 초과하는 각을 표현할 수 있다. 특히
삼각함수에서 음의 각이나 [math(360\degree)]를 넘어가는 각을 다루는데, 예를 들면 [math(30\degree)], [math(390\degree)], [math(-330\degree)] 등이다. 이를 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.|
[math(0\degree\le\theta_0\le360\degree)]인 각 [math(\theta_0)]와 정수 [math(n)]에 대하여 [math(\theta=360\degree\times n+\theta_0)] |
2.2. 대학 과정에서
내적을 먼저 정의하고, 그로부터 각도를 정의하게 된다.2.2.1. 각 변위
본 문단에서는 3차원 공간 좌표계로 일반화한 각 변위에 대하여 벡터로 다룰 수 있는지의 여부를 논할 것이다.
어떠한 축의 방향을 가진 단위 벡터 [math({\bf\hat n}=a{\bf\hat x}+b{\bf\hat y}+c{\bf\hat z})]를 고려해보자.
이때, 위 그림과 같이 [math(\bf\hat n)]을 축으로 [math(\theta)](단위는 [math(rm rad)]. 단, [math(underlinetheta = theta/{rm rad})])만큼 회전하는 상황을 고려하자. 이때, 회전 방향은 [math(\bf\hat n)]에 대하여 오른손 법칙에 따라 정한다.
초기 벡터 [math(\bf r)]이 나중 벡터 [math(\bf r')]으로 변했다고 할 때, 이는 사실상 [math(\bf\hat n)]을 법선 벡터로 갖는 평면의 성분만 [math(\theta)]만큼 회전한 것이므로 다음과 같은 방법을 통해 [math(\bf r')]을 구할 수 있다.
[math(\bf r)]과 [math(\bf r')]은 각각 [math(\bf\hat n)]에 나란한 성분 [math(\bf r_\parallel)]과 [math(\bf\hat n)]에 수직한 성분 [math(\bf r_\perp)], [math(\bf r'_\perp)]의 합, 즉
| [math(\begin{aligned}\bf r &= \bf r_\parallel + r_\perp \\ \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp\end{aligned})] |
[math(\bf r_\perp)]에 [math(\bf\hat n)]을 앞쪽에 크로스곱으로 곱하면 [math(\bf r'_\perp)]의 [math(\sin\underline\theta)] 방향의 벡터가 얻어지는데
| [math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r_\perp &= \bf\hat n\bm\times\!\{r-(r\bm\cdot\hat n)\hat n\} \\ &= \bf\hat n\bm\times r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\bm\times\hat n \\ &= \bf\hat n\bm\times r\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} |{\bf\hat n\bm\times r_\perp}| &= |{\bf\hat n} | {\bf r_\perp}|\sin\frac\pi2 \\ &= |{\bf r_\perp}|\end{aligned})] |
| [math({\bf r'_\perp} = |{\bf r'_\perp}|\cos\underline\theta\dfrac{\bf r_\perp}{|{\bf r_\perp}|} + |{\bf r'_\perp}|\sin\underline\theta\dfrac{\bf\hat n\bm\times r_\perp}{|{\bf\hat n\bm\times r_\perp}|})] |
| [math(\begin{aligned} \bf r'_\perp &= \bf r_\perp \cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf\{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r_\parallel + r'_\perp \\ &= \bf(r\bm\cdot\hat n)\hat n + \{r - (r\bm\cdot\hat n)\hat n\}\cos\underline\theta + \hat n\bm\times r\sin\underline\theta \\ &= \bf(\cos\underline\theta)r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)(r\bm\cdot\hat n)\hat n + (\sin\underline\theta)\hat n\times r\end{aligned})] |
| [math(\bf r' = r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r)] |
| [math(\begin{aligned} \bf\hat n\bm\times r &= \begin{vmatrix} \bf\hat x & \bf\hat y & \bf\hat z \\ a & b & c \\ r_x & r_y & r_z \end{vmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}br_z-cr_y \\ cr_x-ar_z \\ ar_y-br_x \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \bf r' &= \bf r + ({\rm1}-\cos\underline\theta)\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}{\bf r}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}K^2({\bf\hat n}) &= \begin{pmatrix} -b^2-c^2 & ab & ac \\ ab & -a^2-c^2 & bc \\ ac & bc & -a^2-b^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a^2-1 & ab & ac \\ ab & b^2-1 & bc \\ ac & bc & c^2-1 \end{pmatrix} \end{aligned})] |
| [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta) = (1-\cos\underline\theta)\begin{pmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^2 & bc \\ ac & bc & c^2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos\underline\theta & -c\sin\underline\theta & b\sin\underline\theta \\ c\sin\underline\theta & \cos\underline\theta & -a\sin\underline\theta \\ -b\sin\underline\theta & a\sin\underline\theta & \cos\underline\theta \end{pmatrix})] |
| [math(\begin{aligned} K^{4n+3}({\bf\hat n}) &= -K({\bf\hat n}) \\ K^{4n+2}({\bf\hat n}) &= K^2({\bf\hat n}) \\ K^{4n+1}({\bf\hat n}) &= K({\bf\hat n}) \\ K^{4n}({\bf\hat n}) &= -K^2({\bf\hat n})\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} 1-\cos\underline\theta &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\underline\theta^{2n}}{(2n)!} = \frac{\underline\theta^2}{2!} - \frac{\underline\theta^4}{4!} + \frac{\underline\theta^6}{6!} - \frac{\underline\theta^8}{8!} + \cdots \\ \sin\underline\theta &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n\underline\theta^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{\underline\theta}{1!} - \frac{\underline\theta^3}{3!} + \frac{\underline\theta^5}{5!} - \frac{\underline\theta^7}{7!} + \cdots\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} I + (1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n}) &= K^0({\bf\hat n}) + {\left(\frac{\underline\theta^2}{2!} - \frac{\underline\theta^4}{4!} + \frac{\underline\theta^6}{6!} - \frac{\underline\theta^8}{8!} + \cdots\right)}K^2({\bf\hat n}) + {\left(\frac{\underline\theta}{1!} - \frac{\underline\theta^3}{3!} + \frac{\underline\theta^5}{5!} - \frac{\underline\theta^7}{7!} + \cdots\right)}K({\bf\hat n}) \\ &= {\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{\underline\theta^{2n}K^{2n}({\bf\hat n})}{(2n)!}\right)} + {\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{\underline\theta^{2n+1}K^{2n+1}({\bf\hat n})}{(2n+1)!}\right)} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\{\underline\theta K({\bf\hat n})\}^n}{n!} \\ &= e^{\underline\theta K({\bf\hat n})} \end{aligned})] |
[math({\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline\theta))]라는 표기에서 알 수 있듯이, [math(\underline\theta)]에만 의존하는 2차원 평면상에서의 회전 변환과 달리 3차원 공간에서는 회전축의 단위 벡터 [math(\bf\hat n)]에도 의존하기 때문에, 각 변위는 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않아 벡터로 취급할 수 없다.[3] 즉
| [math({\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}) \ne {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}))] |
| [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}) &= e^{\underline{\theta_1}K({\bf\hat n})}e^{\underline{\theta_2}K({\bf\hat n})} \\ &= e^{(\underline{\theta_1} + \underline{\theta_2})K({\bf\hat n})} \\ &= e^{(\underline{\theta_2} + \underline{\theta_1})K({\bf\hat n})} \\ &= e^{\underline{\theta_2}K({\bf\hat n})}e^{\underline{\theta_1}K({\bf\hat n})} \\ &= {\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n},\,\underline{\theta_1})\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n},\,\underline\theta)\bf r &= (1-\cos\underline\theta)\bf\hat n\bm\times(\hat n\bm\times r) + (\sin\underline\theta)\hat n\bm\times r \\ &= {\left\{(1-\cos\underline\theta)K^2({\bf\hat n}) + (\sin\underline\theta)K({\bf\hat n})\right\}}\bf r \\ &= {\left\{e^{\underline\theta K({\bf\hat n})}-I\right\}}\bf r\end{aligned})] |
이제 무한소 회전을 고려해보자. [math({\bf r'} - {\bf r})]은 회전이 일어나는 평면에 대한 현의 벡터 [math(\Delta\bf l)]이나, 무한소 회전으로 인한 현의 미소 길이를 모두 더하면 이는 곧 호의 길이를 적분하는 과정과 동일하다. [math(\underline\theta)]에서 [math({\rm d}\underline\theta)]만큼 변한 상황을 구하기 위해 [math({\bf r'} - {\bf r})]을 전미분하고 [math(\underline\theta \to 0)] 극한을 취해서 호의 무한소 변화량만을 나타내는 [math({\rm d}{\bf l})]을 구하면[4]
| [math(\begin{aligned} \rm d{\bf l} &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}{\rm d}(\bf r' - r) \\ &= \lim\limits_{\underline\theta\to0}{\rm d}{\left[{\left\{e^{\underline\theta K({\bf\hat n})}-I\right\}}\bf r\right]} \\ &= \lim\limits_{\underline\theta\to0} e^{\underline\theta K({\bf\hat n})}\{K({\bf\hat n}){\rm\,d}\underline\theta + \underline\theta K({\rm d}{\bf\hat n})\}{\bf r} \\ &= K({\bf\hat n}){\bf r}{\rm\,d}\underline\theta \\ &= {\rm d}\underline\theta\,\bf\hat n\bm\times r \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &= \{I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1}\}\{I + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2}\} \\ &= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} + K({\bf\hat n}_1)K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_1}{\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}) &\approx I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\ &\approx {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,{\rm d}\underline{\theta_2}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\rm d}\underline{\theta_1})\end{aligned})] |
좀 더 정확하게는 앞서 미소 회전을 구했던 방법과 마찬가지로
| [math(\begin{aligned} {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb R}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r - r} &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\bf r} \\ &= {\left\{e^{\underline{\theta_1}K({\bf\hat n}_1)}e^{\underline{\theta_2}K({\bf\hat n}_2)} - I\right\}}{\bf r} \end{aligned})] |
|
[math(\begin{aligned} {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)} {\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2})\right\}} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{e^{\underline{\theta_1}K({\bf\hat n}_1)}e^{\underline{\theta_2}K({\bf\hat n}_2)} - I\right\}} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\left[ e^{\underline{\theta_1}K({\bf\hat n}_1)}{\left\{K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + \underline{\theta_1}K({\rm d}{\bf\hat n})\right\}}e^{\underline{\theta_2}K({\bf\hat n}_2)} + e^{\underline{\theta_1}K({\bf\hat n}_1)}e^{\underline{\theta_2}K({\bf\hat n}_2)}{\left\{K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} + \underline{\theta_2}K({\rm d}{\bf\hat n})\right\}}\right]} \\ &= K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \\ &= K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} \\ &= \lim\limits_{(\underline{\theta_1},\,\underline{\theta_2})\to(0,\,0)}{\rm d}{\left\{{\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_2,\,\underline{\theta_2}){\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,\underline{\theta_1})\right\}} \\ \therefore {\sf\pmb R}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) &= {\sf\pmb\Theta}({\bf\hat n}_1,\,{\bf\hat n}_2,{\rm\,d}\underline{\theta_1},{\rm\,d}\underline{\theta_2}) + I \\ &= I + K({\bf\hat n}_1){\rm\,d}\underline{\theta_1} + K({\bf\hat n}_2){\rm\,d}\underline{\theta_2} \end{aligned})] |
| [math({\rm d}{\bf l} = {\rm d}\bm{\underline\theta\times{\bf r}})] |
2.2.2. 쌍곡선과의 관계
복소평면, 오일러 공식, 쌍곡선 함수와의 연결고리를 통해 각은 쌍곡선과 두 직선이 이루는 도형의 넓이[5]와 연결된다.|
[math( \begin{aligned} \sin \underline\theta &= -i\sinh(i\underline\theta) \ &&\Leftrightarrow \ &\sinh \underline\theta &= -i\sin(i\underline\theta) \\ \cos \underline\theta &= \cosh(i\underline\theta) \ &&\Leftrightarrow \ &\cosh \underline\theta &= \cos(i\underline\theta) \\ \tan \underline\theta &= -i\tanh(i\underline\theta) \ &&\Leftrightarrow \ &\tanh \underline\theta &= -i\tan(i\underline\theta) \end{aligned})] (단, [math(i triangleq sqrt{-1})], [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})]) |
3. 단위
- 아래 표에는 소숫점 이하 5자리까지 구한 근삿값을 기재하였다.
- [math(pi approx 3.14159)]이다.
| 구분 | 호도법 | 육십분법[A] | 그레이드[7] |
| 호도법 | [math(\bf1.00000\,rad)] | [math(\dfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq 57.29578\degree)] | [math(\dfrac{200^{\char0609}}\pi \fallingdotseq 63.66198^{\char0609})] |
| 육십분법 | [math(\dfrac\pi{180}{\rm\,rad} \fallingdotseq 0.01745{\rm\,rad})] | [math(\bm{1.00000\degree})] | [math(\dfrac{1^{\char0609}}{0.9} \fallingdotseq 1.11111^{\char0609})] |
| 그레이드 | [math(\dfrac\pi{200}{\rm\,rad} \fallingdotseq 0.01570{\rm\,rad})] | [math(0.90000\degree)] | [math(\bf1.00000^{\pmb{\char0609}})] |
왜 굳이 직각이 100이 아닌 90인지 궁금할 수도 있는데, 1회전의 값을 360으로 잡은 유래에 대해 명확한 자료는 남아있지 않으나 다음과 같은 설이 있다.
- 페르시아력 같은 고대의 역법에서 1년을 360일로 잡았던 것에서 유래했다는 설
- 이 경우 별들은 주극성을 중심으로 1년에 1도씩 회전하게 되므로 천문 관측이 용이해진다.
- 60진법을 썼던 바빌로니아인들이 정삼각형으로 원을 6등분하고 정삼각형의 한 내각을 60진법으로 나눠서 표현한 결과 1회전이 360도가 되었다는 설
육십분법에서 [math(1degree)]보다 작은 각을 나타낼 때에는 다음 두 가지 방법이 쓰인다.
- 시각 표기처럼 [math(')](분)과 [math()](초)를 써서 표현하는 방법. [math(60=1')]이고 [math(60'=1\degree)]이다.
- 십진법 표기에 기반하여 오로지 [math(\degree)]만을 이용하여 나타내는 방법.
부채꼴에서 호의 길이와 중심각의 크기가 정비례한다는 성질에 따라, 반지름에 대한 호의 비로 각을 나타내는 호도법 표기도 있다.
이 밖에도 직각을 [math(100)]등분한 것을 단위각으로 하는 그레이드([math(^{\char0609})])[10]라는 단위도 있다. 즉 [math(1^{\char0609} = 0.9\degree = \dfrac\pi{200}{\rm\,rad})]이다. 그레이드를 쓰면 60도나 120도와 같은 각도가 66.666..., 133.333... 등 십진법 상에서는 순환소수로 나타나게 되어서 원을 3a/b(a,b는 정수)등분 한 각을 나타내기 불편해진다.
척관법에서는 딱히 각도라는 개념을 정의하지 않았던 것으로 보인다. 구고현의 정리나 유씨구고술요도해 같이 특수각 비슷한 개념은 있었던 것 같지만. 즉, ' 이러이러한 비율로 변의 길이를 맞추면 이만큼의 경사(각도)를 얻을 수 있다' 정도로 적당히 써먹는 수준이었던 것 같다.
도로나 철도에서는 백분율, 천분율로 각도( 경사도)를 나타낸다. 각각 100 m, 1 km의 거리당 높이의 비율로, 흔히 쓰이는 도로 환산하려면 역삼각함수를 취해야 한다.
3.1. 차원
국제단위계에서는 각도를 무차원량([math(\sf1)])으로 간주하고 [math({\rm rad} = 1)]로 약속하고 있으나 물리학적으로 이는 잘못된 정의이다.이는 각을 활용한 공식을 물리량의 방정식으로서 올바르게 쓰지 않고 있는 것에서 기인한다. 가령 육십분법 각도로 호의 길이 [math(l)]을 비례식으로 구하면 중심각이 [math(\theta_\degree)], 반지름이 [math(r)]이라고 할 때 [math(l : \theta_\degree = 2\pi r : 360\degree)]로부터
| [math(l = r\dfrac{\pi\theta_\degree}{180\degree})] |
| [math(\dfrac{\theta_\degree}{180\degree} = \dfrac{\theta_{\rm rad}}{\pi{\rm\,rad}})] |
| [math(\begin{aligned} l &= r\dfrac{\cancel\pi\theta_{\rm rad}}{\cancel\pi{\rm\,rad}} \\ &= r\dfrac{\theta_{\rm rad}}{\rm rad} \\ &= r\theta_{\rm rad}/{\rm rad}\end{aligned})] |
삼각함수에서도 마찬가지인데, 가령 중심이 원점 [math(\rm O)]이고 반지름이 [math(r)]인 원을 이용해서 삼각함수는
| [math(\begin{cases} \cos\alpha = \cfrac xr \\ \sin\alpha = \cfrac yr \\ \tan\alpha = \cfrac yx \end{cases})] |
| [math(\begin{aligned} \sin\alpha &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\alpha^{2n+1} \\ &= \alpha - \frac1{3!}\alpha^3 + \frac1{5!}\alpha^5 - \frac1{7!}\alpha^7 + \cdots\end{aligned})] |
| [math(\begin{cases} \cos(\theta/{\rm rad}) = \cfrac xr \\ \sin(\theta/{\rm rad}) = \cfrac yr \\ \tan(\theta/{\rm rad}) = \cfrac yx \end{cases})] |
| [math(\begin{aligned} \arcsin z &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!{\cdot}(2n+1)}z^{2n+1} \\ &= z + \frac16z^3 + \frac3{40}z^5 + \frac5{112}z^7 \cdots \\ &= \frac yr + \frac16{\left(\frac yr\right)}^3 + \frac3{40}{\left(\frac yr\right)}^5 + \frac5{112}{\left(\frac yr\right)}^7 \cdots \end{aligned})] |
이제 위 테일러 급수의 차원을 분석해보면, [math(\cfrac yr)]은 단위가 없는 무차원량이고, 계수들 역시 순수한 수치이므로 위 급수는 무차원량의 순수한 수치가 된다. 이는 곧 앞서 삼각함수에서 논한 [math(\alpha = \arcsin z)]이며 [math(\theta = \alpha{\rm\,rad})]이므로 [math(\arcsin z = \alpha = \theta/{\rm rad} \Leftrightarrow \sin(\theta/{\rm rad}) = z)]이다.
각도가 무차원량이 아니라는 것에 대해서는 입체각의 존재 자체가 근거가 된다. 입체각은 '한 점에서 선속이 공간으로 방사되어 퍼져나갈 때 그 벌어진 정도'를 의미하는 물리량으로서 엄연히 평면각과 구분되는 물리량인데, 국제단위계에서 채택한 입체각의 유도 단위인 [math(\rm sr)]은 라디안으로 표현하면 [math({rm sr} = {rm rad^2})]이고, [math(\rm rad = 1)]이 참이라면 [math({\rm sr} = {\rm rad^2} = 1{\cdot}{\rm rad} = {\rm rad})], 즉 수리물리적으로 [math(\bf sr)]과 [math(\bf rad)]을 바꿔 쓸 수 있다는 오류를 내포한다. 굳이 [math(\rm rad = 1)]이 아니더라도 [math(\% = 0.01)]처럼 [math(\rm rad)]이 어떤 특정한 수치로만 나타낼 수 있어 [math(\rm rad = \xi)]라 해도 여전히 문제가 되는데,[18] 이를테면 '한 점에서 공간 전체로 퍼지는 입체각'인 [math(4\pi{\rm\,sr})]은 [math(4\pi{\rm\,sr} = 4\pi{\rm\,rad^2} = 4\pi\xi^2)] 즉 '공간 전체로 퍼짐'을 의미하는 입체각 [math(4\pi{\rm\,sr})]을 [math(4\pi\xi^2)]에서 유추해낼 수 없기 때문이다.
이에 따라 B. P. Leonard(2021), Paul Quincey(2021)( arXiv 버전), Peter J. Mohr(2022) 등은 각 리뷰, 레터 등에서 각도의 차원을 [math(\sf A)]로 다루자고 주장하였으며, 그 정의 상수로서 [math(\rm rad)]을 단위로 하는 '1회전'인 [math(2\pi{\rm\,rad})]을 의미하는 상수[19]를 쓰자고 하였다.
각도를 차원이 있는 물리량으로 약속할 경우 그동안 물리학에서 혼란을 일으키던 많은 문제점들이 해결된다. 가령 돌림힘의 단위는 [math(\rm N{\cdot}m)]으로 써서 일과 구분되지 않던 것[20]이 [math(\rm J/rad)]으로 구분이 가능해져서 돌림힘의 정체가 회전량당 에너지를 갖는 벡터라고 이해할 수 있게 된다. 진동수 - 각진동수, 광도 - 광선속, 복사속 - 복사강도 등 차원 구분이 불가능했던 물리량 역시 뚜렷하게 구분이 가능해진다. 더 많은 사례에 관해서는 국제단위계 문서 참고.
물론 각도를 차원이 있는 물리량으로 다루는 것이 긍정적인 효과만 있는 것은 아니다. 가장 큰 문제점 중 하나로 많은 물리학 공식을 [math(rm rad)]이나 [math(rm sr)]으로 나누거나 곱해진 식을 써야해서 번거로워지는 건 피할 수 없다.[21] 또한 돌림힘의 단위가 [math(\rm J/rad)]으로 구분이 가능해진다고 했는데, 이는 곧 각운동량의 단위가 [math(\rm J{\cdot}s/rad)]이 된다는 것을 의미한다.[22] 따라서 디랙 상수를 [math(\hbar = \cfrac h{2\pi})]로 정의하는 합의를 유지할 경우, 그동안 양자역학에서 [math(\hbar)]로 쓰던 것들은 모조리 [math(\bm\hbar/\bf rad)]으로 보정되어야 하는데, Paul Quincey(2021)는 이에 대한 해결책으로서 디랙 상수를 [math(\hbar = \cfrac h{2\pi{\rm\,rad}})]로 재정의하고, 기존의 [math(\cfrac h{2\pi})]는 [math(\check h)](h-check)으로 나타내자고 제안한 바 있다. 이 경우 플랑크 단위계를 비롯하여 [math(\hbar)]를 포함하는 각종 공식들은 [math(\hbar \to \check h)]로 대체하는 것으로 해결된다.
4. 이름이 붙은 각
각도의 범위에 따라 다음과 같은 명칭이 있다.| 각 ([math(\boldsymbol\theta)]) | 명칭 | |
| [math(0\degree<\theta<90\degree)] |
철각(凸角) 열각(劣角)[23] |
예각(銳角) |
| [math(\theta=90\degree)] | 직각(直角) | |
| [math(90\degree<\theta<180\degree)] | 둔각(鈍角) | |
| [math(\theta=180\degree)] | 평각(平角) | |
| [math(180\degree<\theta<360\degree)] |
요각(凹角) 우각(優角)[24] |
|
| [math(\theta=360\degree)] | 주각(周角) | |
4.1. 특수각
직각처럼 중요성이 높은 각을 특수각이라고 한다. 문서 참고.
5. 입체각
각을 3차원으로 확장한 것. 자세한 내용은 문서 참조.
6. 여담
주로 변수로서의 각을 표시할 때는 그리스 문자, 특히 그 중에서도 세타([math(\theta)])가 자주 쓰인다. 도형의 꼭짓점으로서의 각은 로마자 대문자를 사용한다.각의 크기를 재는 도구를 각도기라고 한다. 중학교 교육과정까진 쓸 만하지만 고등학교 이상의 과정에선 쓸 일이 거의 없다. 실험할 때 각도 측정하기 위해서 쓰긴 하는데, 대학교에 가면 성능이 우월한 컴퓨터로 측정하며 제도할 때는 삼각자를 이용해서 쓴다.
스케이트보드, BMX 등에서 일반각의 크기를 그대로 기술명으로 쓰기도 한다. 가령 1260의 경우 공중에서 [math(1260degree)](=3.5회전)를 도는 기술이다.[25]
유치원의 하루에서 이하루 선생님이 앉아서 몸을 기울여 예각, 직각, 둔각을 가르쳐 주는 장면이 나와서 덧글에는 유치원때 벌써부터 각도를 배우냐며 놀라는 반응이 나왔다.
7. 특수한 용법
7.1. 군대에서
규율과 상관의 지시에 따라 엄격하고 조정된 상황을 유지하는 걸 '각 잡는다' 라고 한다. 생활상의 다양한 잡동사니를 똑바로 정리하는 것부터 집합 시 바른 자세로 서 있는 것까지 다양한 각잡기가 존재한다.
군대가 각잡기를 중시하는 이유는 여러 설이 있지만 겉으로 보여지는 군인의 단정함과 위압감을 살리고, 군기를 확립, 장비의 정돈과 사용 편리성 향상, 사고 예방 등이 있다. 위에 나온 만화처럼 이불과 옷을 직각으로 정리해두는 건 단정함을 위함이다. 넓게 보아 제식훈련의 여러 자세들도 군인의 위압감과 마음가짐을 보여주려는 각잡기다. 직각식사와 직각보행은 군기 확립 의도에서 한다. 그러나 직각식사는 다 큰 성인들로 하여금 음식을 칠칠 흘리게 하여 음식을 낭비하고 식사 시간만 늘려서 실용적이지 않고 군기 잡는데도 별 도움이 안되는 똥군기의 일환이다. 다른 각잡기들도 병사의 경우 대부분 일이병 때나 시키지, 상병장이 되면 검열과 훈련 때 외에는 각 잡으라는 터치도 하지 않을만큼 느슨해진다. 계급에 따라 달라진다 = 반드시 모든 군인이 해야 한다는게 아니다는 말로, 즉 군대 내 여러 각잡기는 부조리와 악습의 요소가 적지 않다.
그렇다고 입대해서 각 잡으라는 간부에게 여기에 적혀있는 대로 "각잡기는 똥군기에서 유래된 것이 많다던데요?" 같은 소리를 하면 군생활이 매우 힘들어질 것이다. 순탄한 군생활을 위해서는 눈치껏 각을 잘 잡아야 한다. 그렇지 않으면 갈굼의 대상이 되기도 하며 간부들의 경우 진급에까지 영향이 갈 수 있다.
이와 비슷한 개념은 해외 군대에서도 존재하는 모양으로, 미군에서는 우리말로 '각'이 들어갈 법한 자리에 square라는 표현이 들어가는 경우가 많다. 예컨대, 옷이나 모포를 갠 모습이 각이 잡혀 있다면 squared away라고 하며, 직각식사도 본래 웨스트포인트의 전통악습이었던 square meal을 거의 그대로 가져온 것이다.[26]
7.2. 유행어
대개 접미사처럼 쓰인다.
8. 관련 문서
[A]
[math(1)]회전을 [math(360)]등분하고 [math(\degree)](도) 단위를 이용하여 [math(\dfrac1{360})]회전을 [math(1\degree)]로 정의하는 것.
[2]
원이
옹골집합이므로.
[3]
구체적으로 설명하자면 [math(K({\bf\hat n}) = {\bf\hat n}\bm\times)], 즉 어떤 벡터의 앞에 크로스곱을 취하는 연산이 변환 공식에 포함되는데, 크로스곱은 결합 법칙은 물론 교환 법칙조차 성립하지 않는 연산이다. 대수적으로 벡터는 교환 법칙이 성립해야하기 때문에 3차원의 회전 변환은 일반적으론 벡터로 다룰 수 없다.
[4]
이는 [math(\cos\underline\theta \approx 1)], [math(\sin\underline\theta \approx \underline\theta)]로 근사하는 과정과 정확히 같다.
[5]
![파일:쌍곡선함수_정의_수정_수정.svg]()
[A]
[7]
1그레이드는 1회전을 400등분한 각도이다.
[8]
이는 위도와 경도를 더 정확히 표현할 때도 쓰이는데, 예시를 하나 들자면
행담도 휴게소는 북위 [math(36\degree\,56'\,32.
[9]
대표적으로
파섹의 정의인데,
연주시차가 [math(1'' = 0.0002 \overline{7}\degree)]이 되는 거리로 정의했었다. 2015년 이후에는
천문단위의 [math(648\,000/\pi)]배로 정의하는데, 기존 정의로는 거리를 계산하는 과정에서
환원 불능(casus irreducibilis)이 되었기 때문이다.
[10]
영국에서는 '곤(gon)'이라고 읽는데,
ISO가 비ISO 단위 리스트를 작성할 때 이 명칭을 채택했다. ISO 31-1 부록(Annex) B에 실려있다.
[11]
그리고 차원 분석상으로도 [math(\dim l = \dim r = {\sf L})]이고 [math(\dim\biggl(\cfrac{\pi\theta_\degree}{180\degree}\biggr) = \sf1)]이기 때문에 위 등식에 대한 차원은 [math(\sf L = L{\cdot}1)]로 좌우변의 차원이 같음을 알 수 있다.
[12]
앞서 육십분법 각도로 나타낸 식에서도 똑같이 논할 수 있는데 [math(\cfrac{\pi\theta_\degree}{180\degree})]는 [math(\cfrac\pi{180}(\theta_\degree/\degree))]로 나타낼 수 있고 이는 육십분법으로 나타낸 각도 [math(\theta_\degree)]를 [math(\degree)]로 나눈 뒤 [math(\cfrac\pi{180})]를 곱한 식이다. '단위로 나눈다'는 것이 생소할 수 있는데, 쉽게 얘기하면 단위와 수치를 모두 포함하는 물리량에서 수치만을 취하는 것으로 이해하면 된다. 즉 [math(\theta_\degree = 30\degree)]와 같은 표기는 본질적으로 [math(30)]과 [math(1\degree = \degree)]의 곱셈 [math(30\degree = 30\times\degree)]이므로 [math(\theta_\degree = 30\degree)]의 경우 [math(\theta_\degree/\degree = 30)]이다.
[13]
그리고 이는 [math(\theta)]의 각도가 [math(\rm rad)]이라고 했으면서 왜 [math(l)]의 단위에 [math(\rm rad)]이 없는지와 같은 의문에 대한 해답도 된다. 호도법 각도의 수치만 취한 공식이기 때문이다.
[14]
예를 들어 [math(r = 5{\rm\,m})]인 원 위의 좌표를 [math((x,\,y) = (3{\rm\,m},\,4{\rm\,m}))]와 같이 나타내는 식.
[15]
위 무한급수는 현대 수학에서 삼각함수를 정의하는 데 쓰이기도 하는 식으로서, 수학에만 국한된 관계식이 아니다. 당장 물리학의 단진자 공식 등에서 [math(\sin\alpha \approx \alpha)]로 근사하는 관계식 역시 위 무한급수식을 바탕으로 한다.
[16]
물론 이에 대해 '삼각함수의 정의역을 호도법 각도의 수치로 한정하는 것이 옳은가?'라고 반론이 가능하나, 후술할 역삼각함수의 테일러 전개가 호도법 각도의 수치로 수렴하기 때문에 해당 전제는 참이다. 즉 가령 육십분법의 각도를 쓰는 경우
단위환산식 [math(\cfrac{\theta_{\rm rad}}{\rm rad} = \cfrac{\pi\theta_\degree}{180\degree})]을 이용해서 [math(\sin\cfrac{\pi\theta_\degree}{180\degree})]로 쓰는 것이 정확한 표기임을 의미한다.
[17]
당장 위 수식에 [math(y=r)]을 대입하면 [math(cfracpi2)]로 수렴하는 것을 알 수 있다.
[18]
대표적으로
ISO의 합의가 있는데 회전량을 '1회전'을 기준으로 하는 무차원의 수로 합의하고 있어, 이 정의에 따르면 [math(2\pi{\rm\,rad} = 1)], 즉 [math({\rm rad} = \cfrac1{2\pi})]가 된다. 앞선 국제단위계의 약속 [math(\rm rad = 1)]과도 상충한다.
[19]
Leonard는 이를 [math(rev)]로 나타냈고 Mohr는 [math(\Theta)]로 나타냈다.
[20]
[math(\rm J = N{\cdot}m)]로 정의하므로 수리물리적으로 둘을 구분할 수 없다. '돌림힘은 벡터량이라 일과 다르다'와 같이 설명하는 것 역시 단위에 벡터임을 나타내는 표기를 동원하지 않는 이상 도움이 되지 않으며, 애초에 '벡터량'이라는 것은 가령 [math(v = (v_x,\,v_y) = (3,\,4){\rm\,m/s})]와 같이 하나의 물리량([math(v)])에 단순히 차원이 같은 것들([math(3{\rm\,m/s})], [math(4{\rm\,m/s})])을 여러개 갖고 있는 것에 지나지 않기 때문에 단위 표기로 이를 구분할 수 있는 방법은 없다. 더욱이
차원 분석에서는 물리량이 벡터인지 아닌지를 따지지 않기 때문에 돌림힘의 단위에 [math(\rm N{\cdot}m)]을 쓰는 것 자체가 문제일 수 밖에 없다.
[21]
각도 물리량 자체를 쓰는 경우라면 본 문서의 [math(\theta/{\rm rad} = \underline\theta)]와 같은 사례처럼 장식 기호를 덧붙이는 것으로 해결할 수는 있다.
[22]
여기에는 긍정적인 요소도 있는데, '각'운동량이라는 이름에 걸맞게 단위에 [math(\rm rad)]이 들어간다는 점이다. 따라서 '각운동량 = 회전량당
액션량을 갖는 벡터'라고 쉽게 이해할 수 있다.
[23]
두 직선이 교차하여 생기는 각 중 작은 쪽의 각
[24]
두 직선이 교차하여 생기는 각 중 큰 쪽의 각
[25]
5050은 예외로, [math(5050\degree)]를 도는 기술이 아니라 바퀴축 두 개로 기물을 긁는 기술이다.
[26]
단, 각잡고 부동자세로 서 있는 모습은 ramrod straight등의 단어로 따로 표현하기도 한다.