| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
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W축으로 회전하는 정오포체의 3차원 투영 모습.[1]
1. 개요
正五胞體/5-cell, 또는 Regular pentachoron(복수는 -chora)한 개의 모서리에 세 개의 정사면체가 만나고, 총 다섯 개의 정사면체으로 이루어진 정다포체. 4차원 단체(4-simplex)로, 밑포가 정사면체인 4차원 초뿔(tetrahedral pyramid)이다.
정오포체 6개를 한 면에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 5차원 도형인 5-단체(5-simplex, 또는 헥사테론(Hexateron))을 만들 수 있다. 그러나 한 모서리에 5개의 정오포체가 만나면 약 377.4°로, 360°보다 커지기 때문에 5차원 이후로는 정육백포체와 같은 볼록 정다포체가 만들어질 수 없다.
2. 정보
| 슐레플리 기호 | {3,3,3} |
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 5개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 10개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 10개 |
| 포(cell, 3차원) | 정사면체 5개 |
| 쌍대 | 자기자신 |
| 이포각 | [math(\cos^{-1}\dfrac{1}{4})] (약 75.5225˚) |
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포함 관계 또는 다른 이름 |
하이퍼피라미드(Hyperpyramid) 4차원 단체(4-Simplex) 정사면체 초뿔(Tetrahedral pyramid) |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정오포체가 있을 때
초뿔로서의 높이[2] = [math(\dfrac{\sqrt{10}}{4}a)]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(10a)]
총 면적(total surface area) = [math(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{5\sqrt{2}}{12}a^3)]
초부피(bulk) = [math(\dfrac{\sqrt{5}}{96}a^4)]≈[math(0.0233a^4)]
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{10}}{5}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{10}a)]
면접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{15}}{15}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{10}}{20}a)]
정오포체의 전개도는 단 3개만이 존재한다.
2.1. 3차원 투영 모습
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한 꼭짓점을 중심으로 투영된 모습은(Vertex-first projection) 정중앙을 중심으로 사등분된 정사면체의 모습이다. 이때 네 개의 정사면체가 보이며, 나머지 하나는 가려져서 보이지 않는다.[3]
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한 모서리를 중심으로 투영된 모습은 (Edge-first projection) 중심축을 중심으로 삼등분된 삼각쌍뿔의 모습이다. 이때 세 개의 정사면체가 보이며, 나머지 두 개는 가려져서 보이지 않는다.
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한 면을 중심으로 투영된 모습은 (Face-first projection) 적도를 중심으로 이등분된 삼각쌍뿔의 모습이다. 이때 두 개의 정사면체가 보이며, 나머지 세 개는 가려져서 보이지 않는다.
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한 포를 중심으로 투영된 모습은(Cell-first projection) 온전한 정사면체의 모습이다. 나머지 네 개는 뒤에 있기 때문에 보이지 않는다.
[1]
사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.
[2]
밑포(정사면체)와 반대편 꼭짓점까지의 거리
[3]
사실 투영된 모습의 전체가 나머지 하나로 보이지만, 실제로는 투영된 4개의 뒤에 있다.