| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
| 정오포체 | 정팔포체 | 정십육포체 | 정이십사포체 | 정백이십포체 | 정육백포체 |
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정육백포체 regular hexacosichoron, 600-cell |
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| 슐레플리 기호 | {3,3,5} | ||||
| 대칭 | 대칭군 | [math(H_4)] | |||
| 대칭 차수 | 14400 | ||||
| 쌍대 | 정백이십포체 | ||||
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[math(a)] = 한 변의 길이 | ||||
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초부피 |
[math(\dfrac{50+25\sqrt{5}}{4}a^4)][1] | ||||
| 이면각 | [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{8}\right))][2] | ||||
| 반지름 | 외접구 | [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)] | |||
| 모서리접구 | [math(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}} }{2}a)] | ||||
| 면접구 | [math(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{6}a)] | ||||
| 내접구 | [math(\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4}a)] | ||||
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차원 | 형태 | 개수 | |||
| 0 | 점(V) | 120 | ||||
| 1 | 모서리(E) | 720 | ||||
| 2 | 면(F) | {5} ( 정삼각형) | 1200 | |||
| 3 | 셀(C) | {5,3} ( 정사면체) | 600 | |||
| 다른 이름 | ||
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테트라플렉스(tetraplex), tetrahedral complex 폴리테트라헤드론(polytetrahedron) 하이퍼이코사헤드론(hypericosahedron)[3] |
1. 개요
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1. 개요
正六百胞體/600-cell, 또는 Regular hexacosichoron(복수는 -chora)한 개의 모서리에 다섯 개의 정사면체가 만나고, 총 육백 개의 정사면체로 이루어진 정다포체. 볼록한 4차원 정다포체 중에서 가장 많은 수의 입체로 이루어져 있다. 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각이 [math(\cos^{-1}\dfrac{1}{3}\approx70.53\degree)]인데, 정사면체 5개가 한 모서리에 만날 때 약 70.53°×5 = 352.65°로 360° 이하이기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 있으나, 정사면체 6개가 한 모서리에 만난다고 가정하면 70.53°×6 = 423.18°로 360°를 초과하기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 없으며 꼭짓점마저도 {3,6}으로 유클리드 타일링이라 끝까지 그릴 수 없게 된다. 7개 이상의 정사면체가 한 모서리에 만나는 볼록한 정다포체 또한 한 모서리에 모이는 정다면체의 각의 합이 이보다 크기 때문에 당연히 만들 수 없으며, 이 경우에는 꼭짓점마저도 쌍곡인지라 끝까지 그릴 수 없게 된다.[4] 따라서 정육백포체는 정사면체로 만들 수 있는 4차원 볼록 정다포체들 중 구성 입체의 수가 가장 많다. 이렇게 구성 입체가 많이 필요한 이유는 정사면체 5개가 한 모서리에 모였을 때 남는 틈이 7.35°로 작아서[5] 4차원 방향으로 접었을 때 굴곡이 약간밖에 생기지 않아 이포각이 크게 나타나기 때문이다. 여담으로, {3,3,3}정오포체와 이포각을 합치면 정확히 240°가 되며, {3,3,5/2}와 {3,3,4}정십육포체의 이포각을 합치면 {3,3,5}정육백포체와 이포각이 같아진다. 한마디로 120°에서 {3,3,5/2}의 이포각을 빼면 {3,3,3}, 120°에서 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 {3,3,5}와 같으며, {3,3,3}과 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 정확히 120°로, {3,4,3}, {3,3,4}와도 이포각이 같은 것.[6]
그리고 정백이십포체와 마찬가지로, 5차원 이상의 도형을 만들 수 없다. 왜냐하면 한 이포각의 크기가 약 164.48°여서 세 개가 만나면 당연히 493.44°가 되어 360°를 초과하는데, 정오포체 5개가 한 모서리에 만난다고 해도 약 377.40°가 되어 360°를 초과하기 때문이다.
[1]
[math(\dfrac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4 \approx 26.4754a^4)]
[2]
[math(\dfrac{\pi}{3} + \cos^{-1}(-\dfrac{1}{4}))], 약 164.4775˚
[3]
초(超)정이십면체
[4]
5차원 단체 5개가 모이는 {3,3,3,3,5}는 꼭짓점마저도 쌍곡이라 끝까지 그릴 수 없으며, 정오포체 6개가 만나는 {3,3,3,6}은 모서리 또한 유클리드 벌집이며 5차원 정축체 3개가 만나는 {3,3,3,4,3} 역시 꼭짓점마저도 {3,3,4,3} 유클리드 벌집이므로 끝까지 그릴 수 없다.
[5]
360°를 100%로 보았을 때 약 2.07% 정도밖에 되지 않는다.
[6]
마찬가지로, {3,3}
정사면체와 {3,4}
정팔면체, {3,5}
정이십면체와 {3,5/2}
큰 이십면체, {5,3}
정십이면체와 {5,5/2}
큰 십이면체, {5/2,3}
큰 별모양 십이면체와 {5/2,5}
작은 별모양 십이면체도 이포각을 합치면 180°가 되어서 서로 이들끼리 조합하면 유클리드 벌집을 만들 수 있다.