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정백이십포체
회전하는 정백이십포체의 3차원 투영 모습.[1]
1. 개요
正 百 二 十 胞 體/120-cell, 또는 regular hecatonicosachoron(복수는 -chora)한 개의 모서리에 세 개의 정십이면체가 만나고, 총 백스무 개의 정십이면체로 이루어진 정다포체.
한편 정백이십포체로는 5차원의 정다포체를 만들 수 없다.[2] 이포각이 144°라 한 면에 3개가 모이면 432°로 360°를 초과하기 때문이다.
2. 정보
| 슐레플리 기호 | {5,3,3} |
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 600개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 1200개 |
| 면(face, 2차원) | 정오각형 720개 |
| 포(cell, 3차원) | 정십이면체 120개 |
| 쌍대 | 정육백포체 |
| 이포각 | 144˚ ([math(\dfrac{4\pi}{5})]) |
|
포함 관계 또는 다른 이름 |
도데카플렉스(dodecaplex) 또는 dodecahedral complex 하이퍼도데카헤드론(hyperdodecahedron)[3] |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정백이십포체가 있을 때
총 모서리 길이(total edge length) = [math(1200a)]
총 면적(total surface area) = [math(180\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(30(15+7\sqrt{5})a^3)]
초부피(bulk) = [math(\dfrac{15}{4}(105+47\sqrt{5})a^4)][4]≈[math(787.8570a^4)]
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}a)]
면접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{650+290\sqrt{5}}}{10}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{7+3\sqrt{5}}{4}a)]
3. 구조
정백이십포체의 구조를 설명한 영상
정십이면체 열 개 한 묶음씩 하나의 링이라고 했을 때, 12개의 정십이면체 링[주의사항]이 4차원 공간에서 서로 접혀져 만나는 구조이다.
6개의 링으로 된 전개도 2개가 서로 접혀져 정백이십포체를 이룰 때의 모습을 보면 듀오프리즘 모양도 나오며[6] 정백이십포체는 4차원의 120개 방향으로 대칭형이므로, 전체적인 모습은 사실 초구에 근접한다.
4. 여담
정백이십포체의 꼭짓점으로 4차원의 모든 정다포체 6개와 모든 오목 정다포체 10개를 전부 다 만들 수 있다. 정백이십포체 1개만 있어도 16개의 모든 정다포체와 오목 정다포체를 그릴 수 있는 셈이다. 당연하겠지만, 유클리드 벌집이나 쌍곡 벌집은 꼭짓점을 연결하는 방법으로 만들 수 없으며, 그 반대의 경우도 마찬가지이므로 유클리드 벌집과 쌍곡 벌집은 해당되지 않는다.기본적으로 3차원에 대응되는 도형이 정십이면체로 알려져 있지만 구면을 덮는 빽빽한 정도를 기준으로 하면 오각형 모양으로 깎은 마름모삼십면체와 비슷하다.[7]
정백이십포체는 체적도 787이 넘어가서 n차원 다포체 중에서는 희귀하게 해당 차원에서 체적이 엄청나며 한 변의 길이가 5인 정팔포체보다 체적이 더 크다. 또한 한 이포각의 크기가 144°인데, 이는 정십각형의 한 내각의 크기와 같다.
자기점을 기준으로 한 점의 거리 타입이 44개(거리값 중복 합하면 30개)나 존재하며 각 꼭짓점의 개수는 다음과 같다.
[math(\left(0\right))]1개, [math(\left(1\right))]4개, [math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\right))]4개, [math(\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{26+10\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}\right))]32개(4개+4개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{34+14\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]12개, [math(\left(\sqrt{10+4\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\right))]28개(4개+24개), [math(\left(\sqrt{12+5\sqrt{5}}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{2}\right))]24개, [math(\left(3+\sqrt{5}\right))]54개(24개+6개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{62+26\sqrt{5}}}{2}\right))]24개, [math(\left(\sqrt{16+7\sqrt{5}}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2}\right))]28개(4개+24개), [math(\left(2\sqrt{2}+\sqrt{10}\right))]24개, [math(\left(\sqrt{19+8\sqrt{5}}\right))]12개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{78+34\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\dfrac{3\sqrt{6}+\sqrt{30}}{2}\right))]32개(4개+4개+24개), [math(\left(\dfrac{\sqrt{86+38\sqrt{5}}}{2}\right))]24개(12개+12개), [math(\left(\sqrt{23+10\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\right))]4개, [math(\left(\dfrac{3\sqrt{7}+\sqrt{35}}{2}\right))]12개, [math(\left(\sqrt{25+11\sqrt{5}}\right))]24개, [math(\left(\dfrac{\sqrt{106+46\sqrt{5}}}{2}\right))]12개, [math(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{15}\right))]4개, [math(\left(3\sqrt{2}+\sqrt{10}\right))]1개.
[1]
사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.
[2]
정오각형 12개로 정십이면체, 정십이면체 120개로 정백이십포체를 만든 것과 대조적.
[3]
초(超)정십이면체
[4]
[math(\dfrac{1575+705\sqrt{5}}{4}a^4)]
[주의사항]
3차원 평면상에 투영시켜 나타내다 보니 정십이면체 링이 마치 '외부'와 '내부'를 이루며 서로 얽혀있는 것처럼 보이나, 실제로는 모두 4차원 초구의 '외부'에 존재하며 겉껍질을 이루는 구조이다.
[6]
쌍대인
정육백포체에선 이 꼭짓점들을 응용한 grand antiprism도 있다.
[7]
정오각형 12개, 육각형 30개로 이루어져 있다. 심지어 이 도형도 균일한 변의 길이를 갖는 것이 가능하지만 정다각형이 아니라 아르키메데스 다면체로 인정받지 못한다.