| 4차원 볼록 정다포체 | |||||
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회전하는 정십육포체의 3차원 투영 모습.[1]
1. 개요
正十六胞體/16-cell, 또는 Regular hexadecachoron(복수는 -chora)한 개의 모서리에 네 개의 정사면체가 만나고, 총 열여섯 개의 정사면체으로 이루어진 정다포체. 4차원 정축체(4-orthoplex)이다.
초부피는 정팔포체가 정확하게 6배, 정이십사포체가 12배 더 크다.
이포각이 정이십사포체, 정육각형과 같은 120°라서 정규 벌집의 오른쪽에 3을 계속 붙인 {3,4,3,...,3,3}, {3,3,4,3,...,3}의 계열은 이론상 이포각이 n-6차원 단체와 같아지며, 정삼각형/정육각형 타일링의 경우도 이렇게 {6,3,...,3,3}, {3,6,3,...,3}의 계열이 되는데 이러한 경우는 이론상 이포각이 n-4차원 단체와 같아진다. 또한 입방체 벌집의 오른쪽에 3을 계속 붙이는 경우는 {4,3,...,3,4,3,3,...,3}이 되는데, n차원 입방체 벌집이라 할 때, 오른쪽에 붙인 3의 개수를 k개라고 한다면 k-1차원 단체와 이론상 이포각이 같아지는 것을 알 수 있다. 이와 비슷하게 정십각형과 정백이십포체도 한 이포각이 144°로 같아서 {10,3,...,3,3} 계열도 n+2차원 {5,3,...,3,3} 계열과 이론상 이포각이 같아진다.
2. 정보
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회전하는 정십육포체.[2] |
| 슐레플리 기호 | {3,3,4} |
| 꼭짓점(vertex, 0차원) | 8개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 24개 |
| 면(face, 2차원) | 정삼각형 32개 |
| 포(cell, 3차원) | 정사면체 16개 |
| 쌍대 | 정팔포체 |
| 이포각 | 120° ([math(\dfrac{2\pi}{3})]) |
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포함 관계 또는 다른 이름 |
4-4 듀오피라미드(4-4 duopyramid) 4- 정축체(4-orthoplex) 4- 반초입방체(4-Demihypercube) |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정십육포체가 있을 때
쌍뿔로서의 높이 = 대각선 길이 = 외접 초구의 지름 =[math(\sqrt{2}a)][3]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(24a)]
총 면적(total surface area) = [math(8\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}a^3)]
초부피(bulk) = [math(\dfrac{1}{6}a^4)][4]≈[math(0.1667a^4)]
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{1}{2}a)]
면접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{6}}{6}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{2}}{4}a)]
참고로 정십육포체의 좌표를 사원수로 나타낼 시 [math(\pm1)], [math(\pm i)], [math(\pm j)], [math(\pm k)]가 나온다.
[1]
사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.
[2]
z축을 하나의 축으로 하는 정십육포체가 x-ω 평면을 기준으로 회전하는 모습이다.
적도에 있는
정팔면체형 단면이 회전하는 모습을 관찰할 수 있다.
[3]
2차원 이상인 정축체는 이 값이 무조건 √2다.
[4]
정십육포체는 정팔면체 초뿔 2개의 초부피와 같으므로, 정팔면체의 부피 [math(\displaystyle V=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3)], 정십육포체의 대각선 길이 [math(h=\sqrt{2}a)]에 대해 정십육포체의 부피는 [math(\displaystyle2\times\frac{1}{4}V\times\frac{h}{2} = \frac{1}{6}a^4)]이다.