최근 수정 시각 : 2022-06-09 17:54:50

뮌하우젠 수


수학 상수
Mathematical Constants
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1. 정의2. 찾는 과정3. 목록
3.1. 아깝게 뮌하우젠 수가 되지 않는 수
3.1.1. 일의 자리3.1.2. 십의 자리3.1.3. 백의 자리3.1.4. 천의 자리3.1.5. 만의 자리3.1.6. 십만의 자리3.1.7. 천만의 자리

1. 정의

Münc(h)hausen[1] number · Münc(h)hausen

음이 아닌 정수 [math(n)]과 [math(i)], [math(0\leq a_i\leq 9)]인 정수 [math(a_i)]에 대하여

[math(n=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\log n}\rfloor} 10^i a_i=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\log n}\rfloor} {a_i}^{a_i}\left(=\sum_{i=0}^{\lfloor{\log n}\rfloor} a_i \uparrow\uparrow 2\right))]
[2]
를 만족시키는 [math(n)]을 뮌하우젠 수라고 한다. 이때 [math(\log)]는 상용로그이다. 쉽게 말해 십진법으로 나타낸 음이 아닌 정수에 대하여, 각 자리를 그 자리 번 거듭제곱한 결과를 모두 더하면 자기 자신이 되는 정수가 뮌하우젠 수라는 뜻이다. 본래 [math(0^0)]은 정의되지 않지만, 뮌하우젠 수에서는 [math(0^0=0)]으로 정의하여, 숫자 0을 포함하는 수도 뮌하우젠 수가 되도록 한다.

2. 찾는 과정

정수 [math(n=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor} 10^i a_i)]에 대하여 [math(S(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor} {a_i}^{a_i})]으로 놓으면, [math(m=\lfloor{\rm{log}\;n}\rfloor+1)]에 대하여 [math(S(n))]의 최댓값은 다음과 같다.

[math({\rm{max}}_n\{S(n)\}=S(10^m-1)=9^9m)]

곧, [math(n)]이 [math(m)]자리 수일 때, [math(S(n))]이 최대한 커지려면 [math(m)]자리 정수 [math(n)]의 모든 자릿수가 [math(9)]여야 하기에 [math(S(n))]의 최댓값은 [math(9^9m)]이라는 말이다.

이때 자연수 [math(m)]에 관한 지수 방정식 [math(9^9m<10^{m-1}-1)]의 해는 [math(m\geq 11)]이다( 풀이).

이는 11자리 이상의 양의 정수는 무조건 [math(S(n)<n)]이라는 뜻이다. 다시 말해서 [math(n\geq 10^{10})]인 정수 [math(n)]은 [math(S(n)=n)]이 될 여지가 없으므로 뮌하우젠 수가 아니다.

한편 [math(S(n))]은 [math(0)] 또는 양수의 양수 거듭제곱들의 합이므로 음수가 될 수 없다.[3] 따라서 음수는 뮌하우젠 수가 될 수 없다.

음수와 11자리 이상의 정수가 뮌하우젠 수가 아니라는 사실은 뮌하우젠 수의 개수가 유한함을 함의한다. 따라서 [math(10^{10}-1)] 이하의 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대해서만 계산을 실행해 보면 모든 뮌하우젠 수를 찾아낼 수 있는 셈이다.

3. 목록

원칙적으로 뮌하우젠 수는 [math(1)]과 [math(3435)]밖에 없어야 한다.

[math(1=1^1,\;3435=3^3+4^4+3^3+5^5)]

그러나 원래는 정의되지 않는 [math(0^0)]의 값을 [math(0)]으로 정의한다면 [math(0)]과 [math(438579088)]도 뮌하우젠 수가 된다.

[math(\begin{aligned}0&=0^0\\438579088&=4^4+3^3+8^8+5^5\\&+\;\!7^7+9^9+0^0+8^8+8^8\end{aligned})]

최종적으로, 뮌하우젠 수는 [math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)] 딱 네 개밖에 없다.

3.1. 아깝게 뮌하우젠 수가 되지 않는 수

여기에서는 딱 한 자리의 값이 달라서 뮌하우젠 수가 되지 않는 수를 적는다. 단, 다음을 주의한다.

[math(a_n=10^n+32)]([math(n\geq 2)])라 하면 [math(a_2=132, a_3=1032, a_4=10032,\cdots)]가 된다. 그러면
[math(n)] [math(a_n)] [math(S(a_n))] [math(a_n-S(a_n))]
[math(2)] [math(132)] [math(32)] [math(100=10^2)]
[math(3)] [math(1032)] [math(32)] [math(1000=10^3)]
[math(4)] [math(10032)] [math(32)] [math(10000=10^4)]
[math(k)] [math(1\overbrace{00\cdots00}^{0\textsf 이\;(k-2)\textsf 개}32)] [math(32)] [math(1\overbrace{00\cdots00}^{0\textsf 이\;k\textsf 개}=10^k)]
따라서 [math(a_n-S(a_n)=10^n)]이다. 다시 말해서, 자연수 [math(a_n)]은 [math(S(a_n))]과 [math(10^k)]의 자리만이 다르다는 뜻이다. 그러나 엄밀히 말하자면, [math(a_n)]의 값에 관계없이 [math(S(a_n)=32)]인데 이 [math(32)]는 십의 자리와 일의 자리만을 갖고 있기 때문에 [math(n\geq 2)]인 이상 '무슨 자리가 다르다'라고 얘기할 수조차 없다. 자리가 있어야 얘기를 하든 말든 할 것 아닌가. 이러한 이유와 함께, [math(10^n+32)]([math(n\geq 2)]) 꼴의 자연수는 무수히 많으므로 아래의 목록에는 적지 않는다.

한편, 이런 수들 중에서는 [math(18574367)]과 [math(18577465)]처럼 자리의 값이 서로 유사한 수들이 많다.

3.1.1. 일의 자리

  • [math(3\boldsymbol\red2)]
[math(3^3+2^2=3\boldsymbol\red1)]
  • [math(3437833\boldsymbol\red8)]
[math(3^3+4^4+3^3+7^7+8^8+3^3+3^3+8^8=3437833\boldsymbol\red9)]
  • [math(43858908\boldsymbol\red7)]
[math(4^4+3^3+8^8+5^5+8^8+9^9+0^0+8^8+7^7=43858908\boldsymbol\red8)]

3.1.2. 십의 자리

  • [math(168244\boldsymbol\red33)]
[math(1^1+6^6+8^8+2^2+4^4+4^4+3^3+3^3=168244\boldsymbol\red43)]
  • [math(176508\boldsymbol\red34)]
[math(1^1+7^7+6^6+5^5+0+8^8+3^3+4^4=176508\boldsymbol\red24)]
  • [math(4385890\boldsymbol\red78)]
[math(4^4+3^3+8^8+5^5+8^8+9^9+0^0+7^7+8^8=4385790\boldsymbol\red88)]

3.1.3. 백의 자리

  • [math(16824\boldsymbol\red343)]
[math(1^1+6^6+8^8+2^2+4^4+3^3+4^4+3^3=16824\boldsymbol\red443)]
  • [math(18477\boldsymbol\red565)]
[math(1^1+8^8+4^4+7^7+7^7+5^5+6^6+5^5=18477\boldsymbol\red465)]

3.1.4. 천의 자리

  • [math(1682\boldsymbol\red3443)]
[math(1^1+6^6+8^8+2^2+3^3+4^4+4^4+3^3=1682\boldsymbol\red4443)]
  • [math(1847\boldsymbol\red5367)]
[math(1^1+8^8+4^4+7^7+5^5+3^3+6^6+7^7=1847\boldsymbol\red4367)]

3.1.5. 만의 자리

  • [math(11798\boldsymbol\red92492)]
[math(1^1+1^1+7^7+9^9+8^8+9^9+2^2+4^4+9^9+2^2=11798\boldsymbol\red62492)]
  • [math(11799\boldsymbol\red98665)]
[math(1^1+1^1+7^7+9^9+9^9+9^9+8^8+6^6+6^6+5^5=11799\boldsymbol\red58665)]

3.1.6. 십만의 자리

  • [math(1\boldsymbol\red750217)]
[math(1^1+7^7+5^5+0^0+2^2+1^1+7^7=1\boldsymbol\red650217)]
  • [math(1\boldsymbol\red750472)]
[math(1^1+7^7+5^5+0+4^4+7^7+2^2=1\boldsymbol\red650472)]
  • [math(18\boldsymbol\red574367)]
[math(1^1+8^8+5^5+7^7+4^4+3^3+6^6+7^7=18\boldsymbol\red474367)]
  • [math(18\boldsymbol\red577465)]
[math(1^1+8^8+5^5+7^7+7^7+4^4+6^6+5^5=18\boldsymbol\red477465)]
  • [math(18\boldsymbol\red617617)]
[math(1^1+8^8+6^6+1^1+7^7+6^6+1^1+7^7=18\boldsymbol\red517617)]

3.1.7. 천만의 자리

  • [math(\boldsymbol\red26824423)]
[math(2^2+6^6+8^8+2^2+4^4+4^4+2^2+3^3=\boldsymbol\red16824423)]
[1] h를 한 번 쓰기도 하고 두 번 쓰기도 한다. 이에 따라 뮌하우젠 수를 '뮌하우젠 수'라고도 한다. [2] \uparrow를 여러 개 사용하여 [math(n)]차 연산을 표현하는 방식을 커누스 윗화살표 표기법이라고 하며, 그 중 윗화살표를 두 번 쓰는 연산을 4차 연산, 즉 테트레이션이라고 한다. [3] (음수)(음수) 정수가 아닌 유리수(음의 정수) 혹은 허수(정수가 아닌 음수)이다. (예) [math((-2)^{-2} = \dfrac14 ,\, \left(-\dfrac12 \right)^{-\frac12} = -\sqrt{2}i)]) 유일한 예외로, [math(-1)]의 자기제곱은 자기 자신이 된다([math((-1)^{-1} = \dfrac{1}{-1} = -1)]).