최근 수정 시각 : 2022-06-15 15:21:26

오메가 상수

수학 상수
Mathematical Constants
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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
( 카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
( 뮌하우젠 수)
[math(pi^{ast})]
(원주율)
[math(tau^{ast})]
(새원주율)
[math(e^{ast})]
(자연로그의 밑)
[math(delta)], [math(alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(varphi)]
(황금비)
[math(G)]
(카탈랑 상수)
[math(gamma)]
(오일러-마스케로니 상수)
[math(gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(Omega^{ast})]
(오메가 상수)
[math(2^{sqrt{2},ast})]
(겔폰트-슈나이더 상수)
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(rho)]
(플라스틱 상수)
[math(mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n,^{ast})]
(챔퍼나운 상수)
[math(zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({rm Si}(pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e, {rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)
}}}}}}}}} ||

1. 내용2. 관련 문서

1. 내용

초월수의 하나로, 다음 방정식 실수해이다. 주의! 삼차방정식이 아니다.
[math(x e^x - 1 = 0)]
이 방정식은 대수학적인 방법으로는 풀기는 어렵고, 그래프를 동원한 해석 기하학적인 방법을 동원하면 대략적인 근사값을 찾을 수 있다.

[math(xe^x=1)]에서 양변에 자연로그를 취하고 이항해주면 위 식은 다음과 같이 자연로그와 일차함수의 방정식이 된다.
[math(\ln x = -x)]
두 함수 모두 양수인 실수 정의역에서 전단사 함수이기 때문에 위 방정식을 만족하는 해는 단 하나 존재하며 그래프를 그려보면 [math(0)]과 [math(1)] 사이에 해가 있음을 알 수 있다.
그러나 이 해를 일반적인 방법[1]으로 기술하기가 매우 까다롭기 때문에, 역함수인 람베르트 [math(W)] 함수를 이용하는 방식으로 해를 나타낸다. 보통 [math(\Omega)]로 표기한다.
[math(W ( 1 ) = \Omega)]

위 방정식 [math(\ln x = -x)]에 오메가 상수를 대입하면 다음과 같은 성질을 얻는다:
[math(\Omega = -\ln\Omega = \ln\dfrac1\Omega)]

람베르트 [math(W)] 함수는 역함수인 [math(y = xe^x)]의 성질에 의해 음함수가 되기 때문에 [math(\Omega)]가 속하는 구간의 [math(W_0(x))]와 그렇지 않은 [math(W_{-1}(x))] 두 부분으로 나뉘는데 [math(W_0(x))]는 다음과 같이 매클로린 전개가 되는 것이 알려져 있고
[math(\displaystyle \begin{aligned} W_0(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x-x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots\end{aligned})]
[math(W_0(1) = \Omega)]이므로 위 식에 [math(x=1)]을 대입하면 무한급수로 나타낸 오메가 상수의 식이 얻어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Omega &= \sum_{n=1}^\infty\frac{(-n)^{n-1}}{n!} \\ &= 1 - 1 + \frac32 - \frac83 + \frac{125}{24} - \cdots\end{aligned})]

구체적인 값은 다음과 같다. 0과 1 사이의 수에 속하며, 소수 배열을 보면 파인만 포인트와 비슷한 부분이 있다.
0.567 143 290 409 783 872 999 968 662 210 355 549 753 815 787 186 512 508 135 131 079 223 045 793 086 684 566 693 219 446 961 752 294 557 638...

자연로그의 밑의 역수를 무한 지수 탑 함수에 넣어도 얻을 수 있다. 아래 수식에서 윗화살표 2개 [math(\uparrow\uparrow)]는 커누스 윗화살표 표기법이다.
[math(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{e} \uparrow\uparrow x\right) = -\frac{W(-\ln(1/e))}{\ln(1/e)} = \Omega)]

2. 관련 문서


[1] 초등함수를 유한 번 사용해서 푸는 방법