최근 수정 시각 : 2021-03-30 12:08:48

플라스틱 상수

수학 상수
Mathematical Constants
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(덧셈의 항등원)
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(윌브레이엄-기브스 상수)
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(곰페르츠 상수)
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Plastic number, Plastic constant

플라스틱 상수(Plastic constant)라고도 하는 플라스틱 수는 삼차방정식 [math(x^3 = x + 1)]의 실근으로, 그리스 문자 [math(rho)]로 표기한다. 이 의 실제 값은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \rho = \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}})]
소수로 표현하면 약 [math(1.324717957244746025960908854 \cdots)] 정도의 값이 된다.
플라스틱 수는 파도반 수열(Padovan sequence) 및 페랭 수(Perrin number)의 인접항 비의 극한이고 피솟 비자야라가브한 수(Pisot number, Pisot–Vijayaraghavan number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.

이 값은 놀랍게도 아래처럼 쌍곡선 함수, 역쌍곡선 함수로도 표현이 가능하다.
[math(\displaystyle \rho = \frac{2}{\sqrt{3}} \cosh \! \left(\frac{1}{3}\,{\rm arcosh}\!\left(\frac{\sqrt{27}}{2}\right)\!\right))]

또한, 플라스틱 수는 다음의 대수 방정식의 실근이기도 하다.
  • [math(x^{5}=x^{4}+1)]
  • [math(x^{5}=x^{2}+x+1)]
  • [math(x^{6}=x^{2}+2x+1)]
  • [math(x^{6}=x^{4}+x+1)]
  • [math(x^{7}=2x^{5}-1)]
  • [math(x^{7}=2x^{4}+1)]
  • [math(x^{8}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)]
  • [math(x^{9}=x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1)]
  • [math(x^{12}=2x^{10}-x^{4}-1)]
  • [math(x^{14}=4x^{9}+1)]

이는 [math(x^{3}-x-1=0)]의 양변에 [math(x^k)]을 곱하여 정리한 방정식들이기 때문이다.