황금비

수학 상수 Mathematical Constants
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1. 수학적 비율의 하나

1.1. 증명1.2. 성질1.3. 여담1.4. 관련 문서

2. 유사과학 및 미학으로서의 오·남용

2.1. 사례

3. 유행어

1. 수학적 비율의 하나

黃金比 / 1.61803:1, golden ratio, golden section

임의의 길이를 두 부분으로 나누었을 때, 전체와 긴 부분의 비율이 긴 부분과 짧은 부분의 비율과 같은 비율. 또는 한 직선을 AB라 하고 AB를 임의의 점 P로 나누었을 때 그중 긴 쪽을 AP, 짧은 쪽을 BP 라고 했을 때 AP²= BP×AB일때.

위 그림과 같이 가로의 길이가 [math(A + B)], 세로의 길이가 [math(A)]인 직사각형이 있다. (단, [math(A > B)]) 이 직사각형을 가로로 [math(A : B)]로 분할하여[1] 정사각형과 작은 직사각형으로 나눈다.

이 때 만들어진 작은 직사각형과 전체 직사각형이 닮음일 때, 그 비율 [math(\displaystyle \frac{A}{B})] 또는 [math(\displaystyle \frac{A+B}{A})]를 황금비라고 하며, 기호 [math(\varphi)]로 많이 나타낸다. 그 값은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\ldots)]

관련된 수학식으로는 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비, 피보나치 수열 등이 있다.

1.1. 증명

위 그림에서 전체 직사각형의 가로 : 세로 비율은 [math(A + B : A)], 작은 직사각형의 세로 : 가로 비율은 [math(A : B)] 이므로,
[math(A + B : A = A : B)] 이라는 비례식이 만들어진다.
이 비례식을 정리하면 [math(A^2 - AB - B^2 = 0)] 이 되고,
이를 [math(\displaystyle \frac{A}{B} = \varphi)]
에 대해 정리하면 [math(\varphi)]에 관한 이차방정식
[math(\varphi^2 - \varphi - 1 = 0 )] 을 얻을 수 있다.
근의 공식을 사용하여 양수인 근을 구하면
[math(\displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2})] 이다.

1.2. 성질

성질 1 : 황금비의 정수 거듭제곱은 항상 황금비의 정수배와 정수의 합으로 나타낼 수 있으며, 그 계수는 피보나치 수열이다.

[math(\varphi^n = F_n\varphi + F_{n-1})]

(단, [math(F_n)]은 피보나치 수열의 n번째 항)
위 식은 [math(n)]이 음의 정수여도 성립한다.

{{{#!folding [증명]

[math(\varphi^n = a_n\varphi + b_n)]

이라고 하자. 황금비를 정의한 비례식에 따라

[math(\varphi^2 = \varphi + 1)]

가 성립하므로,

[math(\displaystyle\begin{aligned} \varphi^{n+1} &= \varphi\left(a_n\varphi + b_n\right) \\ &= a_n\varphi^2 + b_n\varphi \\ &= a_n\varphi + a_n + b_n\varphi \\ &= \left(a_n+b_n\right)\varphi + a_n \end{aligned})]

다. 따라서

[math(a_{n+1} = a_n + b_n, b_{n+1} = a_n)]
[math(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n)]

이다.
이 점화식은 피보나치 수열의 점화식이며, [math(a_1 = 1, a_2 = 1)]로 첫 항과 둘째 항도 피보나치 수열과 같으므로, [math(a_n)]은 피보나치 수열이다.}}}
이를 이용해 황금비와 관련된 계산을 편리하게 할 수 있다. 황금비의 거듭제곱의 값 일부를 적으면 다음과 같다.

양수 거듭제곱

[math(\varphi^1 = \varphi)]
[math(\varphi^2 = \varphi + 1)]
[math(\varphi^3 = 2\varphi + 1)]
[math(\varphi^4 = 3\varphi + 2)]
[math(\varphi^5 = 5\varphi + 3)]
[math(\varphi^6 = 8\varphi + 5)]

음수 거듭제곱

[math(\displaystyle \varphi^{-1} = \varphi - 1)]
[math(\varphi^{-2} = 2 - \varphi)]
[math(\varphi^{-3} = 2\varphi - 3)]
[math(\varphi^{-4} = 5 - 3\varphi)]
[math(\varphi^{-5} = 5\varphi - 8)]
[math(\varphi^{-6} = 13 - 8\varphi)]

성질 2 : 황금비의 정수 거듭제곱의 [math(\sqrt{5})]배 역시 항상 황금비의 정수배와 정수의 합으로 나타낼 수 있다.

[math(\sqrt{5}\varphi^n = \left(F_n + 2F_{n-1}\right)\varphi + 2F_n - F_{n-1})]

(단, [math(F_n)]은 피보나치 수열의 n번째 항)
위 식은 [math(n)]이 음의 정수여도 성립한다.

{{{#!folding [증명]

성질 1에 의해

[math(\sqrt{5}\varphi^n = \sqrt{5}\left(F_n\varphi + F_{n-1}\right))]

이고,

[math(\displaystyle\begin{aligned} \sqrt{5}\varphi &= \sqrt{5}\times\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \\ &= \varphi + 2 \end{aligned})]
[math(\displaystyle )]
이므로,

[math(\displaystyle\begin{aligned} \sqrt{5}\varphi^n &= \sqrt{5}\left(F_n\varphi + F_{n-1}\right) \\ &= F_n\sqrt{5}\varphi + \sqrt{5}F_{n-1} \\ &= \left(F_n \varphi + 2F_n\right) + \sqrt{5}F_{n-1} + F_{n-1} - F_{n-1} \\ &= \left(F_n+2F_{n-1}\right)\varphi + 2F_n - F_{n-1}\end{aligned})]
}}}

1.3. 여담

유리수 근사시 분모의 크기에 비해 오차가 가장 큰 무리수이기 때문에 가장 무리수다운 무리수라는 별명이 있다.[2]

황금비의 최선의 근사는 피보나치 수열을 이용하는 것이다. 이를 연분수로 써보면 1만 나오기 때문에 근사분수를 도출할 수가 없어 척 봐도 굉장히 느리게 수렴하는 것을 알 수 있다.

대각선의 길이가 오각형과 정이십면체에는 황금비, 십각형과 정십이면체와 정육백포체에는 황금비의 제곱, 정백이십포체에는 황금비의 네제곱 까지 들어간다.

펜로즈 타일의 비밀이 정오각형, 즉 황금비율에 존재한다.

토고의 국기가 황금비율로, 네팔과 더불어 국기 가로세로 비율이 무리수이다.

360°를 황금분할하면 작은 각은 약 137.5077°다. 호도법으로는 약 2.39996 rad이 된다.

1의 다섯제곱근 중 허근은 황금비에 관한 식으로 나타낼 수 있다. 밑에는 이중 한가지 형태를 나타내었다.

[math(\begin{aligned} z^5 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0 \\ & \Leftrightarrow z = 1 \textsf{ or }z = \dfrac{\varphi^{-1}\pm\sqrt{2+\varphi}i}{2} \textsf{ or }z = \dfrac{-\varphi\pm\sqrt{3-\varphi}i}{2} \end{aligned})]

회전 행렬을 황금비로 나타낸 것 중 예시로는 [math(72\degree=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2\varphi}&-\dfrac{\sqrt{2+\varphi}}{2}\\\dfrac{\sqrt{2+\varphi}}{2}&\dfrac{1}{2\varphi}\end{pmatrix})], [math(12\degree=\begin{pmatrix}\frac{\varphi^{-1}+\sqrt{6+3\varphi}}{4}&\frac{\sqrt{3}\varphi^{-1}-\sqrt{2+\varphi}}{4}\\\frac{-\sqrt{3}\varphi^{-1}+\sqrt{2+\varphi}}{4}&\frac{\varphi^{-1}+\sqrt{6+3\varphi}}{4}\end{pmatrix})]가 있다. 물론 [math(\varphi^2,\varphi^{-2})] 등을 사용해서도 이 식을 나타낼 수 있다.

1910년 수학자 마크 바(Mark Barr)는 황금비를 피디아스(Phidias) 의 그리스 문자 파이 (φ) 를 따서 황금 비율 의 상징 으로 사용하기 시작했다. 피디아스는 고대 그리스의 대표적인 조각가로, 그의 작품에 황금비율의 비례가 많이 사용되었기 때문에 차용되었지만 Barr는 나중에 Phidias가 실제로 황금 비율 을 사용했을 가능성이 없다고 생각했다고 썼다.

기술적 분석의 근간이 되기도 한다. 금융 시장은 투자자들의 다양한 생물학적 심리가 반영되는 곳이고 따라서 주가의 상승과 하락 패턴 또한 자연의 법칙을 벗어날 수 없다는 아이디어에서 피보나치 되돌림(Fibonacci Retracement) 개념이 창안되었는데 이 때 되돌림 비율들 중 가장 중요하게 여겨지는 비율이 618이다. 이후 등장한 가장 유명한 기술적 분석 이론들인 엘리어트 파동 이론과 하모닉 패턴 이론도 모두 피보나치 수열 간 나눗셈을 통해 도출되는 비율을 근간으로 하고 있다.

1.4. 관련 문서

금강비 : 반으로 계속 잘라도 유지되는 비율이며 종이/규격으로 채택됐다.

피보나치 수열 :

2. 유사과학 및 미학으로서의 오·남용

황금비는 수학적으로만 의미가 있을 뿐이다.

‘황금비에 미학적 안정성이 있다.’, ‘황금비에 과학적 인과관계가 있다.’라는 유언비어는 모두 근거가 없는 말들이다. 특히 과거 국내 교과서에서도 많이 퍼진 ‘'그리스의 유적', ' 앵무조개', ' 주민등록증' 등에 황금비가 적용되어 있다’는 진술들은 모두 허위이다. 아무래도 'Golden', '황금' 같은 단순 수식언을 사회적인 인과 관계로 잘못 인식한 것으로 보이나, 수많은 과학자나 예술학자는 근거 없는 주장들이라며 회의적인 견해를 보였다(근거는 후술).

유명한 것에 비교하며 황금비라 주장하는 것들의 거의 대다수는 오차를 얼버무리고 있다. 1.618...이 정확한 수치이므로 -0.49% 오차인 1.61이나 +0.12% 오차인 1.62 정도라면 그런대로 황금비와 유사하다 주장할 수 있을테지만, 자그마치 10% 이상의 오차를 가지고 황금비라 주장하고 있다. 앵무조개, 황금마스크 등 평면도 형식의 사례도 실제로 보면 전혀 형태가 들어맞지 않는다.

유튜브의 과학 채널 Joe Scott 역시 자신의 영상(영어)에서 황금비에 대한 통념을 비판했다.

또한 황금비에 대해 논리적으로 비판한 성형외과 전문의의 에세이가 있다.

특정인물의 사진을 누군가가 황금비율마스크로 오버랩할(맞춰볼) 때 객관적인 적용의 기준이 되는 포인트가 없기 때문에 상대적으로 황금마스크의 중심에 속하는 코나 눈의 크기에 적당히 맞추게 되면 전체적으로 잘 맞는 것 같지만 그렇지 않고, 정확하게 하기 위해서 눈동자나 눈의 크기를 중심으로 매우 확대한 이미지에서 정확하게 마스크와 사진을 적용시키게 되면 결코 황금마스크에 맞지 않는 것을 알 수 있습니다. (중략)

결론적으로 황금비율 마스크라는 것은 이러한 시각적인 착각을 주의해서 살펴보지 않는 사람들에게는 그럴싸하게 보이고 눈주위(황금마스크의 중심)의 선의 불일치는 눈에 잘 띄지 않고 주변부만을 주로 보게 되는 시각적인 착각을 이용한 단순한 시각적 착각의 놀이에 지나지 않는 것입니다.
얼굴의 황금 비율의 황금비율 마스크의 허구

2.1. 사례

해당 항목은 EBS 다큐프라임 '황금 비율의 비밀' 편을 참고해 작성했다.

비너스 상이나 다비드 상은 1:1.618 황금비가 조각상 아름다움의 근원이라는 말이 있었지만, 실제 비너스상의 비율은 1:1.555, 다비드상은 1:1.535의 비율이다. 다만 이들은 조각상이기 때문에 관람자의 입장에서는 아래쪽에서 위쪽을 올려다보는 각도로 보게 되어 실제보다 상반신을 작게, 하반신을 크게 보게 된다. 이를 고려해서 상반신을 확대해서 만든 다비드상이 대두인 건 이미 유명한 사실.

그리스 여행지 가이드들은 주로 파르테논 신전이 황금비를 적용해서 지어졌다고 설명하기 때문에 많은 이들이 그리스 신전의 모든 부분이 황금비율을 적용해 지은 것이라고 오해하기 쉽다. 또한 위 사진을 보면 알겠지만 황금비가 적용됐다는 설명을 듣고 더 아름답게 생각하는 것이다.

실제로는 파르테논 신전은 4:9 = 1:2.25 비율로 만들어졌으며 약 1:1.618인 황금비와는 엄청난 차이가 있다.

왼쪽이 앵무조개 단면을 통해 재현한 모델, 오른쪽은 3D프린터로 통해 실물로 뽑아낸 앵무조개인데, 앵무조개의 껍질에 황금비율이 숨어있다는 주장 또한 사실이 아니다. 실제로는 한 바퀴를 돌 때마다 3배로 증가하는 패턴이다.[3] 황금비(피보나치 수열)를 이루면서 커지게 된다면 한 바퀴를 돌 때마다 7배 비율로 커져야 하는데, 이렇게 되면 우리가 흔히 아는 앵무조개 모습이 되지 않는다. 또한 앵무조개의 크기가 한정적이어서 그렇지, 가면 갈수록 차이가 굉장히 심해질 것이다.

신용카드나 아이폰 디자인 역시 황금비율을 적용해 디자인한 제품들이라 여겨지고 있지만, 몇몇 전문가들은 실제로는 큰 상관이 없다고 주장한다. 근사값이 곧 정확한 수치는 아니기 때문이다. 2번 항목에서도 16:9(=1.77...) 비율을 황금비율의 근사치라고 주장하는 의견이 등장하는데, 1.618의 정확한 수치가 아닌 이상 황금비율이라고 말하는 것은 옳지 않다. 비율이 1.6 정도라면 (화면 비율의 숫자를 너무 크게 키울 수는 없으니) 충분히 황금비의 유사값이라 주장할 수 있겠으나 실제로는 1.77이다. 1.77을 근사값으로 봐준다면 1.45도 황금비의 근사치인 셈이다.[4] 2010년대 후반 이후 나온 폰들은 거의 대부분 2:1 이상의 길이를 가지고 있어서 황금비의 근사값에서도 멀어진 상태. 모니터의 경우 와이드 비율이 처음 등장하던 초창기에는 16:10 비율이 먼저 나와서 유행했으나 오래 지나지 않아 패널 제조사에서 16:9비율로 갈아타버리며 사장되고 말았다.

게다가 모니터 및 스크린이 있는 제품의 경우 여러 필요성에 의해 18:9, 21:9, 32:9 화면비율을 가진 것들이 속속들이 등장해서 팔리고 있는데, 그런 제품이 출시되고 팔린다는 것 자체가 황금비율의 무의미성을 증명한다. 16:9가 황금비이기 때문에 가장 아름답다면 21:9 등의 비율이 출시되지 않았을 것이기 때문이다.

피라미드는 그 역사적 배경에 의거한 객관성을 잃은 접근 때문에 다소 과장되어 있다고 몇몇 이집트학 전문가들은 말한다. 피라미드는 아이폰 사과로고와 비슷한 경우로, 만들다 보니 우연히 황금비에 근접하는 수치로 지어진 것일 뿐, 처음부터 황금비율을 참고하여 지은 것은 아니라고 한다. 피라미드를 지을 당시의 고대 이집트에는 황금비를 계산할 기하학과 대수학 지식이 없었다고 추정된다. 황금비에 정확히 맞어떨어지는 피라미드도 쿠푸왕의 피라미드 단 하나뿐이며, 쿠푸왕 피라미드 건설 시점은 기원전 2600년 전이고, 이집트에서 기하학에 대해 처음 언급된 유물인 아메스 파피루스는 기원전 1600년전으로 1천 년 시간차가 있다. 게다가 아메스 파피루스에도 황금비의 내용은 없다. 하다못해 이거는 진짜 '가장 아름답게 만들다보니 황금비에 유사하다.'는 주장의 근거로 써먹을 수라도 있지만...

많은 사람들이 애플 사과로고의 제작자가 황금비를 이용해 제작했다고 추측했는데, 해당 황금비 분석을 자세히 살펴보면 이 무슨 억지이다 싶을 정도로 끼워맞추기다. 원래 산업디자인에서는 저렇게 도형을 사용해 디자인하기는 하지만 핵심은 전혀 황금 비율의 기준이 되는 도형에 대해 일치점이 없다는거다. 언듯 보기에는 황금비 도형을 이용해 만든 것 처럼 보이지만 실제로는 전혀 이용이 되지 않은 수준이다.

더불어 로고제작자에 따르면 따로 참고하진 않았다고 한다. 오히려 황금비율이 뭐야?라고 대답했다. 자신의 로고가 황금비율에 정확히 맞아떨어진다는 것은 신기하고 아름다운 일이라고 여긴다고 했으며 사람들도 이 일화를 듣고서 "와 역시 어느 분야에 정점에 달하면 자기가 의식하지 않아도 이런게 되는구나"라는 식의 반응을 보이나, 위의 짤에서 보다시피 애초에 애플 사과로고 황금비 주장은 완벽한 끼워맞추기.

황금비율을 마케팅 수단으로 사용하는 것에 대한 우려의 목소리도 있다.

또한 해당 방송에서는 본인들의 바지 제작에 황금비를 넣어 최상의 아름다움을 구현하였다고 홍보한 패션업체측에게 해당 제품의 어느 곳이 황금비인가를 보여주길 요구하였으나 정작 당사자들이 찾아내지 못해 뻘뻘대는 웃지못할 일화도 있었다.

3. 유행어

위 같은 수학적인 것이 아닌 황금 레시피, 황금 비율 등으로 ' 요리'에서 '자기만의 비법'을 통칭할 때 쓰이기도 한다. 이는 황금과도 같은 비율이라는 비유적 표현이기 때문에 위에서 언급된 잘못된 자연 속 황금비와 달리 지양해야할 표현은 아니다.

[1] 이렇게 어떤 대상을 황금비로 분할하는 것을 황금분할이라고 한다. [2] 무리수 x에 대해 오차가 [math(\frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 }b^2 } )] 미만인 유리수 근사 [math(\frac{a}{b} )]는 무한히 많이 존재하는데, 분모에 뜬금없이 [math( \sqrt{ 5 })]가 나오는 게 황금비 때문. 이게 얼마나 오차가 큰거냐면 자연로그의 밑은 임의의 [math(\epsilon>0)]에 대해 오차가 [math(\frac{\epsilon}{b^2} )] 미만인 [math(\frac{a}{b} )]는 무한히 많고 원주율의 경우는 오차가 [math(\frac{1}{b^{7.1}} )]미만인 [math(\frac{a}{b} )]가 유한한지 무한한지조차 모를 정도로 근사가 잘된다. [3] 정확히는 극좌표상의 로그함수(= 로그 나선)에 가깝다. [4] 참고로 갤럭시 노트1등 황금비의 근사값인 16:10 비율을 사용한 스마트폰이 있었고, 현재는 거의 대부분 동영상에서 사용 중인 16:9 비율을 쓰는 편이지만, 태블릿에서는 여전히 흔히 보이는 화면비이기는 하다. 갤럭시 탭 S4, 아이패드 프로 11인치, 아이패드 8세대, 아이패드 에어 4세대 등등. ~~사실 태블릿은 4:3 아니면 다 16:10이라고 봐야 한다~~

황금비

1. 수학적 비율의 하나

1.1. 증명

1.2. 성질

1.3. 여담

1.4. 관련 문서

2. 유사과학 및 미학으로서의 오·남용

2.1. 사례

3. 유행어

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