최근 수정 시각 : 2022-05-01 16:31:02

타우(수학)

수학 상수
Mathematical Constants
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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
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[math({rm Si}(pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e, {rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)
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https://tauday.com/

1. 개요2. 상세3. 기타

1. 개요

3Blue1Brown의 설명.
그리스 문자 τ(타우)로 나타내는 새로운 원주율이다.

2. 상세

호도법 문서에도 서술되어있듯이 부채꼴에서 호의 길이를 [math(l)], 반지름의 길이를 [math(r)]이라고 할 때 호도법을 이용한 중심각 [math(\theta)]의 크기는 다음과 같이 반지름에 대한 호의 비로 정의된다.
[math(\theta = \dfrac lr)]
다만 현재 쓰고 있는 원주율 [math(pi)]는 지름([math(d=2r)])에 대한 원주([math(l=2\pi r)])의 비로 정의되어있어 라디안의 정의와 정확히 [math(\dfrac12)]배 차이가 난다. 이것이 부자연스럽기 때문에 [math(tau=2pi=6.283185cdotscdots)]를 사용해야 한다고 주장하는 학자들이 있다. 미국 물리학자 마이클 하틀(Michael Hartl)의 '[math(tau)] 선언문', 우리나라 뉴스 실제로 원은 반지름으로 정의되기 때문에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 물리학에서도 [math(\pi)]보다 [math(2\pi)]가 자주 등장하는데, 등속 원운동에서 각속도 [math(\omega)]로 [math(1)]회전하는 데에 걸리는 시간(주기 [math(T)])은 [math(T = \dfrac{\color{red}2\pi}\omega)]라든지, 플랑크 상수를 [math(2\pi)]로 나눈 디랙 상수 [math(\hbar = \dfrac h{\color{red}2\pi})] 등이 대표적인 예이다. 위의 예시를 [math(\tau)]로 나타내면 [math(T=\dfrac\tau\omega)], [math(\hbar=\dfrac h\tau)]가 되어 깔끔한 식이 된다. 특히 플랑크 상수 혹은 디랙 상수를 쓰는 물리 상수의 경우, 이를테면 슈테판-볼츠만 상수 [math(\sigma)]는 [math(\sigma = \dfrac{{\color{red}2}\pi^5{k_{\rm B}}^4}{{\color{red}15}c^2h^3} = \dfrac{\pi^2{k_{\rm B}}^4}{{\color{red}60}c^2\hbar^3})]로 계수가 변하여 외우기 곤란하다는 문제점이 있으나 [math(\tau = 2\pi)]를 쓰면 [math(\sigma = \dfrac{\tau^5{k_{\rm B}}^4}{{\color{blue}240}c^2h^3} = \dfrac{\tau^2{k_{\rm B}}^4}{{\color{blue}240}c^2\hbar^3})]로 계수가 일정해지는 장점이 있다. 이 밖에도 미세구조상수 [math(\alpha = \dfrac{e^2}{{\color{red}4}\pi\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac{e^2}{{\color{red}2}\varepsilon_0ch})] 역시 [math(\alpha = \dfrac{e^2}{{\color{blue}2}\tau\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac{e^2}{{\color{blue}2}\varepsilon_0ch})]로 [math(\tau)] 유무의 차이만 있으며 이는 보어 마그네톤 [math(\mu_{\rm B} = \dfrac{e\hbar}{{\color{blue}2}m_{\rm e}} = \dfrac{eh}{{\color{red}4}\pi m_{\rm e}} = \dfrac{eh}{{\color{blue}2}\tau m_{\rm e}})], 핵 마그네톤 [math(\mu_{\rm N} = \dfrac{e\hbar}{{\color{blue}2}m_{\rm p}} = \dfrac{eh}{{\color{red}4}\pi m_{\rm p}} = \dfrac{eh}{{\color{blue}2}\tau m_{\rm p}})] 등에서도 마찬가지이다.

[math(\tau)]는 turn의 머리글자 t에 대응하는 그리스 문자 τ에서 유래했다.[1]

물론 아직 공식화 된 것은 아니기 때문에 다르게 쓰는 예도 있다. 2001년에 최초로 이를 주장한 로버트 팔레이(Robert Palais)는 다리가 3개인 듯한 기괴한 [math(pi)] 기호를 썼었다. 정황상 1958년에 알버트 이글(Albert Eagle)이 수식의 간편화를 위해 이미 [math(\tau=\dfrac\pi2)]를 주장했었던 터라 새로 기호를 만들어냈던 것으로 보이는데 다행히도 알버트의 제안은 소리없이 묻혔다. [math(\tau = 2\pi)]가 제안된 건 꽤 최근으로 2010년에 마이틀 하틀이 주장했으며 전술한 '[math(\tau)] 선언문'을 쓴 사람이다. 아직 최근이라 논문 등에서 언급되지는 않고 있는데 상술한 라디안의 정의와 일맥상통한다는 점으로 보아 시간이 지나면 공식화 될 가능성이 높다.

이 상수를 이용하면 원주의 길이는 [math(\tau r)], 원의 넓이는 [math(\dfrac12 \tau r^2)]이 된다. 이 두 식은 파이를 사용한 식보다 훨씬 근본적인 식이다.

그리고 라디안 단위를 쓸 때도 한 바퀴가 [math(\tau\,\mathrm{rad})]이라서 편하다. 예를 들면 한 바퀴의 [math(\dfrac12)]은 [math(\dfrac12\tau\,\mathrm{rad})]이 된다. 그래서 삼각함수에서 [math(\sin)], [math(\cos)] 함수의 한 주기가 [math(\tau)]가 된다.
파일:radians.png

다만 기계공학이나 재료공학 분야에서는 타우라는 문자를 적용하는 데 다소 애로사항이 있는데, 전단 응력으로 이미 타우를 사용중이기 때문이다. 가장 간단한 해결 방법으로는 전단응력이 텐서량이므로 전단응력을 볼드체로 표기하는 것이다. 예를 들어 최대전단응력설(Tresca 이론)에 의한 축의 지름을 나타내는 식은
[math(d=\sqrt[3]{\dfrac{16T}{\pi\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}}=\sqrt[3]{\dfrac{32T}{\tau\boldsymbol{\tau_{\bf max}}}})]
로 나타낼 수 있다. 다만 수기로 쓸 때에는 이러한 구분법이 쉽지 않다는 한계점도 존재한다.


이들은 기념일도 3월 14일 대신 6월 28일에 원주율을 기념한다. MIT에서는 새 원주율을 기념해서 합격자 발표를 6시 28분에 한다고 한다.

이 상수는 2017년 Python 3.6에 추가되었다고 한다.

3. 기타

xkcd에서는 파이와 타우 논쟁의 타협점으로 둘의 산술 평균인 [math(1.5\pi)]를 파우(Pau)[2]로 제시했다.(...) #

한국어로는 ' 바퀴'라는 단위가 타우와 비슷한 맥락으로 쓰인다.


[1] 참고로 영어 turn은 그리스어로 ' 선반'을 의미하는 τόρνος에서 유래했다. [2] Pi + Tau


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