1. 개요
angular momentum · 角 運 動 量회전하는 물체가 갖는 운동량으로, 벡터 물리량이다. 선운동량 [math(\bf p)]를 갖는 변위 [math(\bf r)]의 질점이 갖는 각운동량은 다음과 같다.
| [math({\bf L} \equiv {\bf r\bm\times p})] |
| [math({\bf L} \equiv {\bf r\bm\times p}/{\rm rad})] |
질량 [math(m)]의 질점이 선속도 [math(\bf v)]를 가질 때 선운동량 [math({\bf p} = m{\bf v})]임을 이용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.
| [math({\bf L} = m{\bf r\bm\times v}/{\rm rad})] |
(에너지)/(회전량) 차원을 갖는 토크를 시간으로 적분한 물리량이기 때문에 (액션)/(회전량) 차원을 갖는다. 이는 양자역학에서 각운동량이 [math(\hbar)]의 배수로 나타나는 것과도 관련이 있다.[3]
1.1. 토크와의 관계
물체에 [math(\bf F)]의 힘이 가해졌다고 하자. 뉴턴 제2법칙에 따라| [math({\bf F}=\dfrac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t})] |
| [math(\begin{aligned} \bm\tau &= {\bf r}\bm\times \frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t}/{\rm rad} \\ &= {\left\{\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}({\bf r\bm\times p}) - \frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}\bm\times {\bf p}\right\}}/{\rm rad} \\ &= \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}({\bf r\bm\times p})/{\rm rad} - \frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}\bm\times {\bf p}/{\rm rad} \\ &= \frac{{\rm d}{\bf L}}{{\rm d}t}- {\bf v}\bm\times m{\bf v}/{\rm rad} \\ &= \frac{{\rm d}{\bf L}}{{\rm d}t} \end{aligned})] |
| [math(\displaystyle {\bf L} = \int \bm\tau{\rm\,d}t)] |
1.2. 각운동량 보존
위 문단의 결과에서 물체에 가해지는 토크 [math(\bm\tau)]가 [math(0{\rm\,J/rad})]이면, 각운동량 [math(\bf L)]의 시간 변화는 없다. 즉, 물체에 가해지는 토크가 없으면 각운동량은 보존된다.각운동량 보존이 적용된 예로는 떨어지는 고양이 문제가 있다.
2. 축을 중심으로 회전하는 강체
위 문단까지는 질점을 논의하였고, 이번 문단에서는 강체를 논의한다.2.1. 각운동량
강체가 공간 좌표 내 [math(z)]축을 회전축으로 하여 회전한다고 하자.[5] 이때 각속도 [math(\bm\omega)]는 [math(z)]축 방향이다. 강체 내 [math(j)]번째 입자의 각운동량은 다음과 같다.| [math({\bf L}_j = m_j{\bf r}_j\bm\times{\bf v}_j/{\rm rad})] |
| [math(\begin{aligned} {\bf L}_j &= m_j {\bf r}_j \bm\times(\bm{\omega\times{\bf r}}_j)/{\rm rad^2} \\ &= m_j[{r_j}^2\bm\omega - (\bm{\omega\cdot{\bf r}}_j){\bf r}_j]/{\rm rad^2} \end{aligned})] |
| [math([{\bf L}_j]_z = m_j({r_j}^2-{z_j}^2)\omega/{\rm rad^2})] |
| [math([{\bf L}_j]_z = m_j{d_j}^2\omega/{\rm rad^2})] |
| [math(\begin{aligned} L_z &= \sum_j [{\bf L}_j]_z \\ &= {\left[ \sum_j m_j{d_j}^2/{\rm rad^2} \right]}\omega\end{aligned})] |
| [math(L_z = I\omega)] |
문제 상황에서 각속도와 각운동량은 평행하기 때문에 아래와 같이 벡터 표기법으로 쓸 수 있다.
| [math({\bf L}_z = I\bm\omega)] |
강체가 한 회전축을 중심으로 회전한다면 그 축과 평행한 성분의 각운동만 가진다.(즉, 위 상황에서 [math(L_x = L_y = 0{\rm\,kg{\cdot}m^2/(s{\cdot}rad)})]) 이는 해당 상황에서 각속도는 회전축과 평행한 성분만 가지기 때문이다.
또한 결과에서 나온 각운동량이 원점에 대한 각운동량이 아닌 회전축에 대한 각운동량(회전축과 평행한 성분)임에 유의하여야 한다.
2.2. 토크와의 관계
[math(z)]축을 회전축으로 하여 회전하는 강체 내 [math(j)]번째 입자가 받는 힘은 뉴턴 제 2법칙에 의하여| [math({\bf F}_j = \dfrac{{\rm d}{\bf p}_j}{{\rm d}t})] |
| [math((\bm\tau_z)_j = {\bf d}_j\bm\times\dfrac{{\rm d}{\bf p}_j}{{\rm d}t}/{\rm rad})] |
| [math(\begin{aligned} (\bm\tau_z)_j &= {\bf d}_j \bm\times \frac{{\rm d}{\bf p}_j}{{\rm d}t}/{\rm rad} \\ &= {\left\{\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}({\bf d}_j\bm\times{\bf p}_j)-\frac{{\rm d}{\bf d}_j}{{\rm d}t}\bm\times{\bf p}_j\right\}}/{\rm rad} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} (\bm\tau_z)_j &= \frac{{\rm d}({\bf L}_z)_j}{{\rm d}t} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \bm\tau_z = \sum_j (\bm\tau_z)_j = \frac{{\rm d}{\bf L}_z}{{\rm d}t})] |
| [math(I \bm\omega = {\sf const.})] |
한편, 계의 관성 모멘트가 시간에 의존하지 않는다면 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\boldsymbol{\alpha})]는 각가속도이다.
| [math(\begin{aligned} \bm\tau_z &= I \frac{{\rm d}\bm\omega}{{\rm d}t} = I\bm\alpha \end{aligned})] |
3. 일반적인 각운동량
4. 양자역학에서의 각운동량
[1]
현행 국제단위계에서는
각도를 무차원량, 즉 [math(rm rad = 1)]로 규정하고 있기 때문에 일단 위와 같이 써도 일반적으로 널리 알려진 공식과 결과적으론 같지만,
사실 각도는 무차원량이 아니기 때문에 [math(\rm rad)] 표기를 살려서 써야 한다.
돌림힘 문서의 유도 과정 항목도 참고.
[2]
일부 일반물리학 서적은 이를 구분하지 않고 개념을 전개하여 학습자들에게 혼동을 일으킨다.
[3]
이 역시 정확히는 [math(\hbar/{\rm rad})]의 배수로 나타나는 것이다. 이에 대해서, 양자역학 분야에서 이미 잘 쓰이고 있는 [math(\hbar)] 사용의 보정을 피하기 위해
P. Quincey(2021)
(arXiv 버전)처럼 [math(\hbar)]는 [math(\hbar = \cfrac h{2\pi{\rm\,rad}})]으로 재정의하고 기존의 [math(\cfrac h{2\pi})]는 [math(\check h)](h-check)라는 새 기호를 도입해서 나타내자고 하는 의견도 있다.
[4]
토크는 회전 운동 에너지를 발생시키는 물리량으로서 [math(\displaystyle W = \int \bm{\tau\cdot{\rm d}\theta})]로 정의되며 회전당 에너지 차원을 갖는다. 따라서 [math(\rm rad)]이 나눠진 표기로 써야 맞다. 자세한 유도 과정은
돌림힘 문서 참고.
[5]
아래의 내용은 임의의 축일 때도 성립한다.
[6]
[math(\bm\omega)]는 [math({\rm rad/s})] 단위를 가지므로 [math(\rm m/s)]단위를 갖는 선속도와 단위 관계를 맞추기 위해서는 우변을 [math(\rm rad)]으로 나눠야 한다. 자세한 것은
각속도 문서 참고.
[7]
관성 모멘트에 대한 자세한 논의는 해당 문서에서 다루고 있다.
[8]
[math({\bf p}_j)], [math({\bf d}_j)]는 모두 [math(x)], [math(y)]성분만 가져서 [math({\bf d}_j\bm\times{\bf p}_j/{\rm rad})]은 [math(z)]축 방향이며, 둘은 수직임에 따라 [math({\bf d}_j \bm\times{\bf p}_j/{\rm rad})]의 크기는 [math(m_jd_jv_j/{\rm rad} = m_j{d_j}^2\omega/{\rm rad^2})]이기 때문이다.