최근 수정 시각 : 2021-10-10 15:43:08

챔퍼나운 상수


수학 상수
Mathematical Constants
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[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
( 카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
( 뮌하우젠 수)
[math(pi^{ast})]
(원주율)
[math(tau^{ast})]
(새원주율)
[math(e^{ast})]
(자연로그의 밑)
[math(delta)], [math(alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(varphi)]
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(카탈랑 상수)
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(오일러-마스케로니 상수)
[math(gamma_n)]
(스틸체스 상수)
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(오메가 상수)
[math(2^{sqrt{2},ast})]
(겔폰트-슈나이더 상수)
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(rho)]
(플라스틱 상수)
[math(mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n,^{ast})]
(챔퍼나운 상수)
[math(zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({rm Si}(pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e, {rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)
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1. 개요2. 상세3. 연분수 전개

1. 개요

Champernowne constant · Champernowne

소수 전개가 1부터 시작하여 연속적인 정수를 쭉 이어 만든 실수이다. 규칙이 분명히 있긴 하지만, 이는 진법 상의 규칙일 뿐 소수점 아래의 자릿수가 반복되는 규칙이 아니기 때문에 엄연한 무리수이며, 초월수이기도 하다.[1]

그 값은 10진수 기준 0.123456789101112131415161718192021...으로 알려져있다.

10진수 외에도 각 진법에 대응하는 챔퍼나운 상수가 있으며, 이들 역시 초월수이다.

챔퍼나운 상수는 정규수임이 증명되어 있다.

2. 상세

챔퍼나운 수는 다음과 같은 무한급수로 정확하게 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac k{10^{n(k-10^{n-1}+1)+9\sum\limits_{l=1}^{n-1}10^{l-1}l}} )]

3. 연분수 전개

챔퍼나운 상수를 연분수로 전개하여, 근사치가 되는 유리수를 얻을 수 있는데 그중 하나는 아래와 같다.
[math(\dfrac{60499999499}{490050000000} = 0.123456789\dot{1}01112\cdots9697990001020304050607080\dot{9})]

이 유리수를 십진 전개하면 아래와 같다.

0.12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394959697990001020304050607080910111213141516171819202122232425262728293031323334...

1부터 97까지 총 소수점 186자리 까지 챔퍼나운 상수와 같다.
[1] 챔퍼나운 상수가 초월수라는 사실은 커트 멜러가 증명했다.