대수기하학

1. 개요

2. 상세

3. 학습 시 특징

• 통상적 기하학과는 다른 종류의 체계가 있다.
  대수기하학에도 기하학에서 나오는 위상, 다발(bundle), 함수들의 층(sheaf), 접평면, 차원, 미분형식, 호몰로지 등의 개념이 있지만, 그 정의는 통상적인 기하학과 다르다.[2] 우선 대수다양체에는 보통 생각하는 유클리드 공간의 위상 대신 자리스키 위상(Zariski topology)[3]을 적용하는데, 이것 하나 때문에 위상수학에서 생각하는 대부분의 방법들이 같은 형태로 적용되지 못한다. 콤팩트성도 무용지물이어서 고유 사상(proper morphism)으로 갈음된다. 호몰로지, 코호몰로지의 개념도 정의가 딴판이다. 무서운 점은 이 완전히 다른 체계도 나름대로 잘 맞아 돌아가고, 기존 체계와 비슷하기까지 하다는 것이다.
• 대수학적 접근이 많지만 목적은 기하학에 더 가깝다.
  대수기하학 개념들을 정의하는 초반에는 위상공간과 층을 다루는 것을 제외하면 대수학이 주로 사용된다. 대수기하학이 주로 다루는 공간인 스킴(scheme) 자체가 환의 스펙트럼 [math(\mathrm{Spec} R)]들을 붙여 놓은 공간이므로, 이 공간의 성질을 묘사하려면 환 또는 환 사이의 준동형사상으로 이야기할 수밖에 없다. 나중에 익숙해진 후에는 이런 국소적인 논의를 건너뛰고 범주론적으로 보편 성질(universal property) 등을 이용해 정의하기도 하는데, 이것도 기하학적 접근과는 거리가 멀다. 어떠한 방식을 택하든 학습 초반에는 결국 환 위에서 대수학 증명을 하게 되므로 대수과목이라는 인상을 강하게 주는 편이다. 하지만 좀 더 나아가면 차수니 교차점이니 기하학적 대상들이 등장하고, 가면 갈수록 순수한 가환대수와는 차별화된 부분을 만나게 된다. 순수 대수학으로 보였던 것도 나중에 가면 기하학을 끌어와 설명하기 위해 필요했던 도구라는 것이 밝혀지고, 이러한 과정에서 가환대수학이 새로운 '기하학적' 의미를 얻기도 한다.[4] 결국에 대수기하학이 궁극적으로 답하고자 하는 것은 공간의 성질이지 단순히 개별 환의 성질이 아니고, 대수기하학에서 쓰는 대수학은 목적이 아니라 수단이다. 다만 배우는 입장에서 이게 와 닿을려면 고생을 오래 해야 되는 게 문제다. 보통 두 학문의 합성어로 이루어진 학문은 뒤에 오는 학문이 주요 학문이고 앞의 학문은 수식어 역할을 하는 경우가 대부분이라 대수기하학도 이렇게 해석하면 대수적인 측면에서 다루는 기하학이라고 볼 수 있다. 해석기하학이 해석학적인 측면에서 다루는 기하학이므로 해석학보다는 기하학에 더 가까운 것과 같은 원리이다.
• 함수들의 모임이 곧 도형이다.
  공간의 요소들이 그 위에 정의된 함수와 상호작용을 한다는 사고방식은 미적분학의 미분형식과 스토크스 정리, 여기서 더욱 나아간 드람 코호몰로지, 일반적 호몰로지와 코호몰로지, 푸앵카레 쌍대성(Poincare duality) 등의 아이디어들에서 이어져 왔다. 더 나아가선 공간의 정의부터가 그 위에 정의된 함수 구조와 뗄레야 뗄 수 없다.[5] 대수기하학은 아예 한발짝 더 나아가서, 공간 위에서 함수가 정의되는 게 아니라 함수가 공간을 정의하고 결정짓는 주객전도의 모습을 보여준다. 스킴의 정의가 그렇고, 근본적 대상으로 생각해 왔던 점(point)의 개념부터 바뀌는 데에서 충격을 받는다. 나중에 가면 그로텐디크 위상(Grothendieck)에서 위상 공간의 정의 자체를 바꿔버리는 등 이 사고방식은 갈수록 심해진다. 흥미롭게도 대수기하학이 아닌 다른 기하학 분야를 깊게 들어가도 이 현상이 나타나는데, 위상수학에서 처음에 호몰로지의 쌍대공간 정도로 생각되었던 코호몰로지가 나중 가면 더욱 근본적으로 느껴지는 예시가 있다. 어쨌든 대수기하를 처음 접할 때 직관을 벗어나는 첫 부분이므로 마음의 준비를 하고 가면 좋다.
• 어렵다(...)
  모든 수학 분야가 그렇듯이 아주 틀린 말은 아니다. 보통 수학과 커리큘럼에서 대수기하학은 고전적 개론조차 학부 끝자락이나 석사 과정에서야 편성되어 있고, 제대로 학습하기 위해서는 최소한 학부 코어 과목은 물론이고 대학원 석사 기본 과목들을 모조리 섭렵한 후 가환대수학과 호몰로지 대수라는 대학원 레벨 대수학 과목을 선수과목으로 배워야 한다. 여기에 아이디어를 언제 얻어올지 모르니 다른 분야 쪽 과목(복소다양체, 미분기하학)을 열심히, 꾸준히 공부해야 한다. 이 모든 과목에서 주요한 테크닉으로 쓰이는 범주론 같은 수학기초론 과목은 말할 필요도 없다.[6] 추가로 이 분야를 제대로 전공하려면 그로텐티크가 쓴 바이블인 EGA(Eléments de géométrie algébrique)와 SGA(Séminaire de géométrie algébrique)를 접해봐야 하는데, 문제는 이거 프랑스어로 써진 프랑스책이다. 게다가 EGA는 번역조차 되지 않았다. 즉, 프랑스어도 공부해야만 한다. 하지만 이러한 배경을 공부한 사람들도 어렵다는 이야기가 많은데, 초반에 직관성에 어긋나는 부분을 끊임없이 던지며 독특한 사고방식에 익숙해지기를 강요하기 때문이다. 게다가 대수기하학은 온갖 분야에 영향을 미치다 보니 비전공자들이 공부해야 하는 경우도 적지 않다.[7]

4. 내용

• 대수다양체의 분류: 어떤 기하학이든 공간들을 분류하는 것이 주요 주제이니만큼 이게 대수기하학의 주된 질문이라고 볼 수 있다. 대수적으로 닫힌 체( 복소수 등) 위의 대수다양체들이 특정 사상을 기준으로[8] 어떤 것이 있는지를 분류하는데, 우선 차원을 기준으로 곡선, 곡면 등을 나누고, 각각의 경우에 대해 위상수학처럼 다양한 종류의 불변량들을 생각한다. 대수구조 때문에 위상수학보다는 분류가 훨씬 복잡해지는데, 예로 위상수학의 실수곡면에 대해서 종수(genus)와 비가향성으로 분류가 끝났던 것과는 다르게 복소수 위의 리만 곡면(Riemann surface)의 분류는 현재 진행중이다. 경우에 따라서는 '도형들을 분류하는 공간'인 모듈라이 공간(moduli space)을 생각하는데, 간단히 말하면 모듈라이 공간의 한 원소를 도형 하나에 대응하는 식이다.
• 교차 이론(intersection theory): 공간에서 교점의 개수 등을 코호몰로지나 특성류(characteristic class) 등을 계산해 대수적으로 구한다. 초등적 예로는 사영평면 위에서 차수가 [math(m,n)]인 방정식이 만나면 [math(mn)]개의 교점이 생긴다는 베주의 정리(Bezout's theorem)가 있다. 하위분야로서 지칭될 때는 'enumerative geometry'라는 표현이 많이 쓰인다.
• 특이점 이론(singularity theory): 도형이 매끄럽지 않은 점을 특이점이라 하며, 이를 다루는 분야를 특이점 이론이라 부른다. 현재는 미분기하, 위상수학, 동역학계등 여러가지 분야에서 연구되고 있으며, 대수다양체의 특이점을 다루는 대수기하학에서의 특이점 이론은 대수적 변형에 동형인 기준을 삼아서 특이점들을 분류하거나, 특이점을 매끄러운 식으로 나타내 해소(resolution)하는 내용이 포함되어 있다. 주로 수리물리학, 그 중에서도 블랙홀과 같이 편미분방정식에서 나오는 특이점들도 대수기하에서의 특이점으로 설명할 수 있기 때문에 타 분야에서도 주목을 받게 되었다.
• 복소기하(complex geometry) 연관성: 복소다양체(complex manifold)는 복소해석학에서 다루는 다양체의 복소해석적 버전인데, 대수다양체의 성질과 정리들 중 이 복소다양체의 연구에서 기원한 것이 많다. 장-피에르 세르(Jean-Pierre Serre)의 GAGA(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique) 논문으로 복소다양체와 대수다양체가 거의 동일한 개체로 간주될 수 있음을 정립한 이후에는 복소기하에 대수기하적 방법을 도입하는 것이 보통이 되었다. 교과서 중에는 간혹 복소기하를 통해 대수기하를 접하게 하는 것들도 있다.[9]
• 계산 대수기하(computational algebraic geometry): 사실 대수다양체가 방정식을 만족하는 도형의 집합이므로 어쨌든 연립방정식과도 밀접한 관련이 있다. 다항 연립방정식의 해를 컴퓨터를 이용해 존재성을 판정하고 계산하는 알고리즘을 주로 다루는 분야로, 어찌 보면 해석학과 수치해석 사이의 관계로도 볼 수 있다. 다만 실수 대수기하(real algebraic geometry)의 특성이 보통 대수기하와는 판이하게 다르기 때문에, 알고리즘 이외에도 고려해야 될 요소들이 많다는 차이점이 있다.
• 산술 기하(arithmetic geometry): 디오판토스 방정식, 즉 정수 혹은 유리수 위에서의 방정식에 대수기하학의 방법을 도입하여 연구하는 것이다. 어떻게 보면 유리수 연립방정식의 해는 대수다양체 위에서 유리점을 찾는 것으로 생각될 수 있다. 예로 곡선, 즉 [math(f(x,y)=0)] 꼴의 식에서 유리점의 개수는 기하학에 지대한 영향을 받는다는 사실이 밝혀졌고[10] 이 내용은 그 이상의 차원에 대해서도 일반화되었다. 대수기하학 정립 이전에 스리슬쩍 대수적 정수론과 해석적 정수론의 전반에 자리잡았던 대수적 개념들이 대수기하가 들어오면서 새로운 기하학적 해석을 얻는 등, 이제는 방정식을 떠나서도 대수기하학은 정수론과 뗄레야 뗄 수 없다.
• 기타 이산수학, 논리학 등에서 엉뚱해 보이는 분야들에도 대수기하가 튀어나오는 경우가 많다.

4.1. 대수다양체

5. 교재

• A. Grothentieck, Eléments de géométrie algébrique(EGA)
• A. Grothentieck, Séminaire de géométrie algébrique(SGA)
• R. Hartshorne, Graduate Text of Mathematics : Algebraic Geometry

6. 관련 문서

• 알렉산더 그로텐디크 - 스킴과 에탈 코호몰로지라는 두 개념을 혼자서 개발하여 대수 기하학의 패러다임을 바꾼 수학자다.
• 기하학
• 대수학
• 대수다양체
• 스킴
• 모티브
• 정수론 - 대수적 정수론, 해석적 정수론, 타원곡선