1. 개요
군론(Group Theory)에서 라그랑주 정리(Lagrange Theorem)는 임의의 원소 개수가 유한 개인 군 [math(\lvert G\rvert)]의 위수는 그 부분군(subgroup) [math(\lvert H\rvert)]의 위수로 나뉘는 관계가 있다는 것을 다루는 정리이다. 이로써 잉여류의 수를 조사할 수 있다.[1][2]2. 잉여류(coset) 조사
원소의 개수가 유한한 군(群, Group)의 원소의 개수를 위수라고 정의했을 때 다음과 같은 관계를 조사할 수 있다. [3][4][5][6][math({\Large{\lvert G\rvert}\over{\lvert H\rvert}} = \textrm{잉여류의 개수})]. 후술하겠지만 이는 지수(index)라고도 한다.
3. 증명
먼저 다음 명제를 증명하자.| 군 [math(G)]의 임의의 원소 [math(g)]를 고정하자. 그러면 군 [math(G)]의 부분군 [math(H)]의 [math(g)]에 대한 모든 잉여류(좌/우)는 [math(H)]와 같은 개수의 원소를 갖는다. |
여기서는 좌잉여류를 이용해서 증명한다. 우잉여류 역시 마찬가지 방법으로 증명이 가능하다.
두 집합의 원소의 개수가 같음을 증명하는 것은 두 집합 사이에 일대일 대응관계가 존재함을 보이는 것으로 충분하다.
즉, [math(\phi:H\rightarrow gH)]라는 함수를 정의하여, 이 함수 [math(\phi)]가 전단사임을 보이면 충분하다.
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[math(gH)]의 정의인 [math(gH=\{gh\mid h \in H\})]에 따라, [math(\forall gh \in gH)]에 대해서 [math(\exist h \in H\quad\text{s.t.}\, \phi(h)=gh \in gH)]이므로 전사함수이다. [math(\phi(a)=\phi(b) \leftrightarrow ga=gb)]인데, [math(g\in G)]이므로 [math(\forall g \in G\quad\text{s.t.}\exist g^{-1}\in G)]이며, 따라서 소거법칙에 의해 [math(a=b)]가 되므로 단사함수이다. 따라서 [math(\phi)]는 전단사함수이며, 자연스럽게 [math(H)]와 [math(gH)]는 같은 크기의 집합이다. |
여기서 잉여류의 다음 성질을 이용한다.
| 군 [math(G)]의 부분군 [math(H)]에 대하여, [math(aH\neq bH)]라면 [math(aH)]와 [math(bH)]는 서로소이다. |
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[math(aH\neq bH)]일 때 [math(aH\cap bH\neq \emptyset)]이라고 하면 [math(x \in aH\cap bH)]이 되는 원소 [math(x)]가 존재함은 자명하다. [math(x \in aH)]이므로 [math(\exist h_1, h_2 \in H)]가 되어, [math(x=ah_1=bh_2)] [math(h_1, h_2 \in H \le G)]이므로 [math(\exist h_{1}^{-1}, h_{2}^{-1} \in G)] 따라서 [math(\begin{cases} xh_{1}^{-1}=ah_{1}h_{1}^{-1}=bh_2h_{1}^{-1}& \\ xh_{2}^{-1}=bh_{2}h_{2}^{-1}=ah_1h_{2}^{-1}&\end{cases})] 그런데 [math(h_1, h_2 \in H)]이므로 군의 성질에 의해 [math(h_{1}h_{2}^{-1}=h_{a}, h_{2}h_{1}^{-1}=h_{b})]라고 두면 [math(h_{a}, h_{b} \in H)]가 되고, 따라서 [math(aH \subset bH, bH \subset aH)]가 되어 [math(aH = bH)]가 된다. 그런데 [math(aH\neq bH)]라고 전제가 주어졌으므로 모순이 된다. 즉, 가정했던 [math(aH\neq bH)]일 때 [math(aH\cap bH\neq \emptyset)]이 거짓이 되므로, [math(aH\neq bH)]일 때 [math(aH\cap bH=\emptyset)]가 된다. |
군 [math(G)]의 모든 원소가 서로 간에 서로소인 잉여류로 분할됨을 알 수 있다. 또한 이런 잉여류는 전부 같은 원소 개수를 가지게 된다.
즉, 잉여류로 분할된 세포(cell)[7]의 개수[8]를 [math(r)], [math(\lvert G \rvert = n)], [math(\lvert H \rvert = m)]이라고 하면 [math(n=rm)]이 되며, 이를 라그랑주 정리라고 한다.
4. 관련 문서
[1]
Par M. De La Grange 1771. "Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs" (Series of reflections on the algebraic solution of equations. Third section. On the solution of equations of the fifth degree & higher degrees). Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin: 138–253. (Art.94 P200,Art.105 P222) Lagrange,Joseph-Louis
https://books.google.co.kr/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA138&redir_esc=y
[2]
대수학원론 오일러(라그랑주 에디션 1822)영문 조지 룰렛 ( ELEMENTS OF ALGEBRA , EULER, LEONARD, ADDITIONS OF M. DE LA GRANGE Publication date 1822 (3RD EDITION) West Bengal Public Library Publisher GEORGE ROUTLE, LONDON Collection digitallibraryindia; JaiGyan Language English Source: West Bengal Public Library Network Source Identifier: handle/10689/15977) - SECTION IV CHAPTER XII (294pf632)
인터넷 아카이브-
https://archive.org/details/dli.bengal.10689.15977
[3]
A History of Lagrange's Theorem on Groups ,Richard L. Roth Pages 99-108 | Published online: 16 Apr 2018
https://doi.org/10.1080/0025570X.2001.11953045
[4]
Schaum's outline of theory and problems of group theory by Baumslag, Benjamin 1968
https://archive.org/details/theoryproblemsof0000unse/mode/2up
[5]
Groups of the Order p^m Which Contain Cyclic Subgroups of Order p^(m-3) by Neikirk, Lewis Irving
https://www.gutenberg.org/ebooks/9930
[6]
Theory of Groups of Finite Order by William Burnside
https://www.gutenberg.org/ebooks/40395
[7]
어떤 집합을 동치관계로 분할시켰을 때, 동치류를 묶은 집합을 세포(cell)라고 한다.
[8]
상기했듯이 군 [math(G)]의 부분군 [math(H)]에 대한 잉여류의 개수를 따질 경우는 '[math(G)]에서의 [math(H)]의 지수(index)'라고도 한다.