| 파형 | |||
| 정현파 | 구형파 | 삼각파 | 톱니파 |
1. 파도
방향이 서로 다른 두 파도가 만나 형성되는 삼각(피라미드)형 파도. 삼각파도라고도 한다.
보통 이렇게 형성된 파도는 원래의 파도보다 2~3배 높고 위력이 크다. 주로 두 방향의 파도가 만나는 지점에서 형성되며, 강가에서도 소규모 삼각파가 발생한다.
특히 태풍으로 인해 형성된 삼각파에는 배를 파손시킬 수 있을 정도의 위력을 가지고 있으니 주의해야 한다. 실제로 이러한 삼각파로 인해 배가 파손되어 조난당하거나 침몰되는 사례가 많다. 대표적인 사례가 1980년 12월 일본 도쿄 동남쪽 2000km에서 일어난 오노미치마루호(尾道丸) 사건이 있다. 관련 영상
2. 음악학· 전자공학
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2.1. 개요
triangle wave / 三 角 波삼각파는 기본 파형 중 하나로, 이름처럼 삼각형 모양을 띠고 있다.
2.2. 상세
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| <삼각파 개형> |
| <삼각파 예제> |
게임기 중에서는 패미컴이 대표적으로 삼각파를 출력할 수 있다. 패미컴의 음원인 pAPU는 사각파와 가상 백색 소음 외에도 삼각파와 DPCM을 출력할 수 있어서 사각파와 가상 백색 소음만 출력하는 Programmable Sound Generator보다 풍부한 음색을 낼 수 있었다.[1]
헷갈릴 수 있겠지만 삼각함수로 만들어지는 사인파와는 전혀 다르다.
2.3. 삼각파 함수 및 응용
삼각파를 표현하는 함수는 구형파나 톱니파와는 달리 정의가 복잡한데, [math(y = (-1)^{\lfloor x \rfloor} (x - {\lfloor x \rfloor}) + \theta ((-1)^{\lceil x \rceil}))]로 정의된다. 삼각파 함수 [math(\theta)]는 헤비사이드 계단 함수이다.[2]구형파를 적분해서 얻을 수 있다. 이렇게 하면 삼각파를 푸리에 전개한 것과 같이 나온다. 경우에 따라 DC offset과 위상을 보정해주기도 한다.
| 구형파 적분 꼴 | [math(\displaystyle y = \frac4{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2\{(2n-1)\pi x\}}{(2n-1)^2})] |
| 코사인 함수 꼴 | [math(\displaystyle y = \frac8{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos \{(4n-2)\pi x\}}{(2n-1)^2})] |
| 사인 함수 꼴 | [math(\displaystyle y = \frac8{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}\sin\{(4n-2)\pi x \}}{(2n-1)^2})] |
그냥 저런 복잡한 거 필요없이 [math(y = |\arcsin(\sin x)|)] 하나면 된다. # [3]
푸리에 변환에서는 [math(operatorname{tri}(x))]라는 표기를 쓰며 다음과 같이 정의된다.[4]
[math(\operatorname{tri}(x) = \begin{cases}
1-|x| & \textsf{if }|x|<1 \\ 0 & \textsf{if } |x|\ge 1
\end{cases})]
푸리에 변환을 할 경우 사인 함수의 변형 함수인 싱크 함수의 제곱 [math({\left(\dfrac{\sin x}x\right)}^2)]이 나온다. 푸리에 변환의 성질을 생각하면 구형파 자신의 컨볼루션 결과라는 것을 쉽게 알 수 있다. 가끔 공업수학에서 푸리에 변환의 응용 버전인 파르스발 정리(Parseval's theorem)[5]를 이용하여 [math({\left(\dfrac{\sin x}x\right)}^4)]를 적분하라는 문제[6][7]가 나올 수 있으니 잘 알아두자.
2.4. 전기회로 분석에서의 응용
OrCAD社에서 제공하는 PSpice라는 회로 시뮬레이션 프로그램에서는 VPULSE라는 소자를 배치해 특성에서 TR, TF, PW 등의 값을 조정하여 삼각파를 만들 수 있다.
[1]
여담으로 패미컴의 삼각파는 16개 항의 푸리에 급수로 만들어 자세히 들으면 배음이 들리는데, 이를 65536(=216)개 항으로 '사실상 연속'화시켜 구현하면
이 영상처럼 배음의 음량이 줄어든 깔끔한 음색으로 달라지게 된다.
[2]
사실 [math(\theta((-1)^{\lceil x \rceil}))]은
[math(bm1_{mathbb N}((-1)^{lceil x rceil}))]로 대체해도 상관없다. 둘 다
초월함수라는 것은 함정
[3]
게다가 정규화도 가능하다.
[math(y = {\left|\dfrac1\pi \arcsin{\left\{\sin{\left(\pi x+\dfrac{3\pi}2\right)}\right\}}\right|})] [4] [math(\Lambda(x))]로 표기되기도 한다. 표기가 같은 폰 망골트 함수와 혼동에 주의. [5] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2{\rm\,d}\omega = 2\pi\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2{\rm\,d}t)] [6] 답: [math(displaystyle int_{-infty}^infty {left(dfrac{sin x}xright)}^4{rm,d}x = frac23pi)] [7] 참고로 부정적분은 사인 적분 함수 [math(\operatorname{Si})]를 이용하여
[math(\cfrac16\biggl[8\operatorname{Si}(4x) -4\operatorname{Si}(2x) - \cfrac{\sin^2x}{x^3}\bigl\{4x^2 + {\left(8x^2-1\right)}\cos2x+ 2x\sin 2x + 1\bigr\} \biggr] + {\sf const.})]
로 나타낼 수 있다.
[math(y = {\left|\dfrac1\pi \arcsin{\left\{\sin{\left(\pi x+\dfrac{3\pi}2\right)}\right\}}\right|})] [4] [math(\Lambda(x))]로 표기되기도 한다. 표기가 같은 폰 망골트 함수와 혼동에 주의. [5] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2{\rm\,d}\omega = 2\pi\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2{\rm\,d}t)] [6] 답: [math(displaystyle int_{-infty}^infty {left(dfrac{sin x}xright)}^4{rm,d}x = frac23pi)] [7] 참고로 부정적분은 사인 적분 함수 [math(\operatorname{Si})]를 이용하여
[math(\cfrac16\biggl[8\operatorname{Si}(4x) -4\operatorname{Si}(2x) - \cfrac{\sin^2x}{x^3}\bigl\{4x^2 + {\left(8x^2-1\right)}\cos2x+ 2x\sin 2x + 1\bigr\} \biggr] + {\sf const.})]
로 나타낼 수 있다.