|
[[대수학|대수학 Algebra ]]
|
||||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
이론 | |||
| 기본 대상 | 연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( /풀이 · 근( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술) | |||
| 수 체계 | 자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 대수적 무리수 · 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 팔원수 · 대수적 수 · 벡터 공간 | |||
| 다루는 대상과 주요 토픽 | ||||
| 대수적 구조 | ||||
| 군(group) | 대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리 | |||
| 환(ring) | 아이디얼 | |||
| 체(field) | 갈루아 이론 · 분해체 | |||
| 대수 | 가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타) | |||
| 마그마· 반군· 모노이드 | 자유 모노이드 · 가환 모노이드 | |||
| 선형대수학 | 벡터 · 행렬 · 텐서( 텐서곱) · 벡터 공간( 선형사상) · 가군(module) · 내적 공간( 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자) | |||
| 정리·추측 | ||||
| 대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결 | ||||
| 관련 하위 분야 | ||||
| 범주론 | 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 · 토포스 이론 · 타입 이론 | |||
| 대수 위상수학 | 연속변형성 · 사슬 복합체 · 호몰로지 대수학( 호몰로지 · 코호몰로지) · mapping class group · 닐센-서스턴 분류 | |||
| 대수기하학 | 대수다양체 · 층 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브 | |||
| 대수적 정수론 | 타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리 | |||
| 가환대수학 | 스펙트럼 정리 | |||
| 표현론 | 실베스터 행렬 | |||
| 기타 및 관련 문서 | ||||
| 수학 관련 정보 · 추상화 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재 | }}}}}}}}} | |||
1. 개요
가비의 이( 加 比- 理; componendo and dividendo theorem) 또는 가비의 리는 아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 다음의 항등식으로 나타낼 수 있다.|
[math(\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{a+c}{b+d})] (단, [math(b\ne0)], [math(d\ne0)], [math(b+d\ne0)]) |
|
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots =\dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k})] [math(\biggl()]단, [math(a_k\ne 0)], [math(b_k\ne0)], [math(\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})\ne 0)], [math(\sum\limits_{k=1}^n a_k\ne0\biggr))] |
[math(\rm tr)]은 주대각합, [math(\otimes)]는 텐서곱, [math(I)]는 단위행렬이다. [math(\bf a)], [math(\bf b)]는 각각 [math(a_1\cdots a_n)], [math(b_1\cdots b_n)]을 벡터로 표현한 것이다.
2. 증명
두 비에 대한 경우는 대수적으로 간단히 증명할 수 있다. [math(c=ak)], [math(d=bk)] (단, [math(k\ne0)])라 놓으면| [math(\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a+ak}{b+bk} = \dfrac{a(k+1)}{b(k+1)} = \dfrac ab)] |
| [math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K)] |
| [math(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}} = K)] |
| [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \operatorname{tr}\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} = \operatorname{tr}(I\otimes{\bf a}))] |
| [math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})})] |
3. 심화
나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.|
[math(\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{xa+yc}{xb+yd})] (단, [math(b\ne0)], [math(d\ne0)], [math(xb+yd\ne0)]) |
|
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n}= \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k})] [math(\biggl()]단, [math(a_k\ne0)], [math(b_k\ne0)], [math(\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\ne0)], [math(\sum\limits_{k=1}^n x_ka_k \ne 0\biggr))] |
3.1. 증명
| [math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K)] |
| [math(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}} = K)] |
| [math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n x_k a_k &= \operatorname{tr} \begin{bmatrix} x_1 a_1 & x_2 a_1 & \cdots & x_n a_1 \\ x_1 a_2 & x_2 a_2 & \cdots & x_n a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_n & x_2 a_n & \cdots & x_n a_n \end{bmatrix} \\ &= \operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\end{aligned})] |
| [math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})})] |
4. 활용
수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.4.1. 피타고라스 정리
각 [math(\rm C)]를 직각으로 하는 삼각형 [math(\rm ABC)]가 있다. 점 [math(\rm C)]에서 빗변 [math(\rm AB)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라고 하면 직각삼각형 [math(\rm ABC)], [math(\rm ACH)], [math(\rm CBH)]는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 닮음비에 따라 빗변의 제곱에 비례하므로
| [math(\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} = \dfrac{\overline{\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH} = \dfrac{\overline{\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH})] |
| [math(\begin{aligned}\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} &= \dfrac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ACH + \triangle CBH} \\ &= \dfrac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ABC}\\ \therefore\rm\overline{AB}^2 &= \rm\overline{AC}^2 + \rm\overline{BC}^2\end{aligned})] |
5. 예제
|
[문제] 세 상수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 [math(\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = k)] 를 만족시키는 [math(k)]의 값을 구하시오. (단, [math((3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)\ne0)]) |
- [풀이 보기]
- -----
[1] [math(\bm{a+b+c\ne0})]
가비의 이에 의하여[math(\begin{aligned} \dfrac a{3a-b-c} &= \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} \\ &= \dfrac{a+b+c}{(3a-b-c)+(3b-c-a)+(3c-a-b)} \\ &= \dfrac{a+b+c}{a+b+c}= 1 \end{aligned})]
[2] [math(\bm{a+b+c=0})]
가비의 이를 사용하지 못하므로 [math(a+b+c=0)] 자체를 단서로 활용한다.
가비의 이는 분모가 [math(\bm0)]이 되지 않는 한에서 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 [math(k)]의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.[math(\begin{aligned} \frac a{3a-b-c} &= \frac a{3a+a} = \frac14 \\ \frac b{3b-c-a} &= \frac b{3b+b} = \frac14 \\ \frac c{3c-a-b} &= \frac c{3c+c} = \frac14 \end{aligned} \\ \therefore\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = \dfrac14)]
6. 명칭 논쟁
- 한국어: 가비의 이(리), 합비의 이(리)
- 일본어: [ruby(加,ruby=か)][ruby(比, ruby=ひ)]の[ruby(理, ruby=り)], [ruby(合,ruby=ごう)][ruby(比, ruby=ひ)]の[ruby(理,ruby=り)]
- 중국어: 合比定理(hé bǐ dìng lǐ)
일본에서 加比の理로 칭하는 것이 그대로 직역된 표현이다. 비(比)의 덧셈(加)에 대한 정리(理)라는 뜻으로, 일본식 용어를 한국에서 그대로 받아들인 수많은 예 중 하나. 사실 '가비의 리'로 더 널리 알려져 있으나, 두음 법칙을 생각하면 '가비의 이'가 한글 맞춤법에 부합하며[2] 표준국어대사전에도 '가비의 이'만이 표준어로 등재되어 있다. 여기서 '이'는 '정리'(定理)를 의미하는 일반 명사이며 한글맞춤법 3장 5절 11항에도 한자음 '리'가 단어 첫머리에 올 때에는 두음 법칙에 따라 '이'로 적되 의존 명사일 때에만 본음대로 적는다고 명시되어 있기 때문에 '리'라고 쓰는 건 명백히 틀린 표현이다. '서울에서 인천까지 몇 리냐?', '그럴 리가 없다'의 '리'는 모두 의존 명사이기 때문에 본 사례와는 무관하다.
용어의 의미 투명성이 낮아 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[3] 가비도 사람 이름[4] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다.
'-의'가 관형격(소유격) 조사에 대응하는 の일 뿐이므로 생략하는 방안도 고려해볼 수 있다. 실제 피타고라스 정리, 질량 보존 법칙 등 과거에 쓰였던 '의'가 불필요한 일본식 어투라는 이유로 교육과정 개정을 거쳐 삭제된 적이 있다. 이 논리에 따르면 '가비리'가 되지만, 가리비라는 유사한 발음이 있어 혼동될 여지가 있다. 여담으로 이처럼 '가비의 리'를 잘못 듣고 ' 가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "정리"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리( 칼륨)[5]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽다.
자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '비의 합 정리', '유리식의 덧셈 정리' 같은 이름이 될 것이다. 합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰이지 않으며, 중국어의 '합비 정리(合比 定理)'도 괜찮은 대안이 될 수 있다.
7. 기타
- 대한민국에서 가비의 이는 원래 고1 때 배웠으나 교육과정에서 삭제되었다.[6]
- 09 수능 수리 나형에서 로그와 연계해서 출제되었다. 정답률은 21%에 불과했다. 이게 모의고사나 내신에서도 거의 안 다룬 내용이라 아는 사람이 없어서...
[1]
[math(\bf x)]에 켤레를 취하는 이유는 텐서곱이
반쌍형 연산이기 때문이다.
[2]
理(다스릴 리)의 본음이 '리'이지만 어두에 왔으니 '이'로 발음하는 것이 표준이다.
[3]
한자 표현이 裏로 다르기는 하나 본음이 '리'이면서 두음 법칙이 적용되었다는 점은 똑같다.
[4]
실제로 스페인어권에서
가브리엘,
가브리엘라의 애칭으로 '가비'(gabi(e))가 쓰인다. 대표적인 예로
국가비가 있다.
[5]
사이안화 칼륨보다 청산가리라는 명칭이 익숙할 것이다.
[6]
다만 삭제되긴 했으나 대한민국의 수학 교육과정의 분량 자체가 너무 줄기도 했고 내신 수학이라는 특수성을 감안할 때, 2015 개정교육과정의 학생들 여전히 배우고 있는 상황이다. 이러한 상황 때문에
쎈과 같은 문제집에서는 여전히 찾아볼 수 있다.