1. 개요
가비의 이( 加 比- 理) 또는 가비의 리는 아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 다음의 항등식으로 나타낼 수 있다.[math({\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; b+d\neq 0))]
이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}(I \otimes{\bold b})}{{\rm tr}(I \otimes{\bold a})}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}} \\ \; \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}(I \otimes{\bold a})\neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} a_{k} \neq 0 \right) )]
[math(\rm tr)]은 주대각합, [math(\otimes)]는 텐서곱, [math(I)]는 단위행렬이다. [math({\bold a},\,{\bold b})]는 각각 [math(\,a_1\cdots a_{n},\,b_1\cdots b_{n})]을 벡터로 표현한 것이다.
2. 증명
[math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K)]
라 하면, [math(b_{k}=Ka_{k})]이므로
[math( \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=K \, \to \, \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}} )]
한편 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k})]는 선형 변환을 통해
[math(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k} = {\rm tr} \begin{bmatrix} a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} = {\rm tr}(I \otimes{\bold a}))]
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다.
[math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}(I \otimes{\bold b})}{{\rm tr}(I \otimes{\bold a})})]
또한 대수적으로도 간단히 증명할 수 있다. c=ak, d=bk로 바꾸어
[math(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ak+a}{bk+b}=\dfrac{a(k+1)}{b(k+1)}=\dfrac{a}{b})]
즉, 정리하자면 앞 비를 기준으로 뒤 비에 동일한 상수를 곱했다고 가정하고 변형 한 후 정리하여 인수분해하고 다항식을 약분하면 앞 비율과 동일하게 된다.[1]
3. 심화
나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.[math({\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{xa+yc}{xb+yd}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; xb+yd\neq 0) )]
새로운 변수를 얼마든지 추가해도 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}= \frac{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} \\ \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a}) \neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} \neq 0 \right) )]
[math(\rm tr)]은 주대각합, [math(\otimes)]는 텐서곱이다. [math({\bold x},\,{\bold a},\,{\bold b})]는 각각 [math(x_1\cdots x_{n},\,a_1\cdots a_{n},\,b_1\cdots b_{n})]을 벡터로 표현한 것이다. [math({\overline\bold x})]은 [math({\bold x})]의 켤레이다.
3.1. 증명
[math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K)]
라 하면, [math(b_{k}=Ka_{k})]이므로
[math( \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=K \, \to \, \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} )]
위 문단과 마찬가지로 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k a_{k})]는 선형 변환을 통해
[math(\displaystyle\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} x_k a_{k} &= {\rm tr} \begin{bmatrix} x_1 a_{1} & x_2 a_{1} & \cdots & x_n a_{1} \\ x_1 a_{2} & x_2 a_{2} & \cdots & x_n a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_{n} & x_2 a_{n} & \cdots & x_n a_{n} \end{bmatrix} \\ &= {\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})\end{aligned})]
로 변형할 수 있으므로[2], 아래의 식과 동치가 된다.
[math(\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})})]
4. 활용
수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.4.1. 피타고라스 정리
각 [math(\rm C)]를 직각으로 하는 삼각형 [math(\rm ABC)]가 있다. 점 [math(\rm C)]에서 빗변 [math(\rm AB)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라고 하면 직각삼각형 [math(\rm ABC)], [math(\rm ACH)], [math(\rm CBH)]는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 닮음비에 따라 빗변의 제곱에 비례하므로
[math(\dfrac{\overline {\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}=\dfrac{\overline {\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH}=\dfrac{\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH})]
가비의 이를 적용하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}&=\dfrac{\overline {\rm AC}^2+\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm ACH+\triangle\rm CBH}\\&=\dfrac{\overline {\rm AC}^2+\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm ABC}\\\\\therefore\overline{\rm AB}^2&=\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm BC}^2\end{aligned})]
5. 예제
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[문제] 세 상수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 [math(\dfrac{a}{3a-b-c}=\dfrac{b}{3b-c-a}=\dfrac{c}{3c-a-b}=k)] 를 만족시키는 [math(k)]의 값을 구하시오. (단, [math((3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)\neq0)]) |
- [풀이 보기]
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[1] [math(\boldsymbol{a+b+c \neq 0})]일 때
가비의 이에 의하여
[math(\begin{aligned} \dfrac{a}{3a-b-c}&=\dfrac{b}{3b-c-a} \\&=\dfrac{c}{3c-a-b} \\&=\dfrac{a+b+c}{(3a-b-c)+(3b-c-a)+(3c-a-b)} \\& =\dfrac{a+b+c}{a+b+c} \\&=1 \end{aligned})]
[2] [math(\boldsymbol{a+b+c = 0})]일 때
가비의 이를 사용하지 못하므로 [math(a+b+c=0)] 자체를 단서로 활용한다.
[math(\begin{aligned} \dfrac{a}{3a-b-c}&=\dfrac{a}{3a+a}=\frac{1}{4} \\ \dfrac{b}{3b-c-a}&=\dfrac{b}{3b+b}=\frac{1}{4} \\ \dfrac{c}{3c-a-b}&=\dfrac{c}{3c+c}=\frac{1}{4} \\ \\ \therefore \dfrac{a}{3a-b-c}&=\dfrac{b}{3b-c-a}=\dfrac{c}{3c-a-b}=\dfrac{1}{4} \end{aligned})]
가비의 이는 분모가 0이 되지 않는 한에서 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 [math(k)]의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.
6. 명칭 논쟁
- 한국어: 가비의 이(리), 합비의 이(리)
- 영어: componendo
- 일본어: [ruby(加比, ruby=かひ)]の[ruby(理, ruby=り)], [ruby(合比, ruby=ごうひ)]の[ruby(理, ruby=り)]
- 중국어: 合比定理(hé bǐ dìng lǐ)
일본어에서 [ruby(加比, ruby=かひ)]の[ruby(理, ruby=り)]로 칭하는 것을 한국에서 그대로 받아들였다. 비(比)를 더하는(加) 법칙(理)이라는 뜻으로, 일본식 용어를 한국에서 그대로 받아들인 수많은 예 중 하나. 사실 '가비의 리'로 더 널리 알려져 있으나, 두음 법칙을 생각하면 '가비의 이'가 한글 맞춤법에 부합하며[3] 표준국어대사전에도 '가비의 이'만이 표준어로 등재되어 있다. 그러나 수학 용어로 "가비의 리" 자체가 상당히 굳어졌으며 '서울에서 인천까지 몇 리냐?', '그럴 리가 없다' 등 두음 법칙이 적용되지 않는 사례도 있기 때문에, '가비의 리'는 옳지 않고 '가비의 이'만 옳다고 해서는 안 된다는 주장도 있다.
'이'는 직관적이지 못해 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[4] 가비도 사람 이름[5] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다.
'-의'가 관형격(소유격) 조사에 대응하는 の일 뿐이므로 생략하는 방안도 고려해볼 수 있다. 실제 피타고라스 정리, 질량 보존 법칙 등 과거에 썼던 불필요한 '의'의 사용을 일본식 어투라는 이유로 교육과정 개정을 거쳐 삭제된 적이 있다. 이 논리에 따르면 '가비리'가 될 수 있다. 다만, 가리비라는 유사한 발음이 있어 혼동될 여지가 있다. 여담으로 이처럼 '가비의 리'를 잘못 듣고 ' 가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "이치"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리( 칼륨)[6]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽다.
자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '비의 합 법칙', '유리식의 덧셈법칙' 같은 이름이 될 것이다. 합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰지 않는다. 중국어에서는 '합비정리(合比定理)'라고 한다.
7. 기타
- 대한민국에서 가비의 이는 원래 고1 때 배웠으나 교육과정에서 삭제되었다.[7]
- 09 수능 수리 나형에서 로그와 연계해서 출제되었다. 정답률은 21%에 불과했다. 이게 모의고사나 내신에서도 거의 안 다룬 내용이라 아는 사람이 없어서...
[1]
비가 2개 뿐만 아니라 3, 4개 있다고 해도 동일하게 적용된다.
[2]
[math(\bold x)]에 켤레를 취하는 이유는 텐서곱이
반쌍형 연산이기 때문이다.
[3]
理(다스릴 리)의 본음이 '리'이지만 어두에 왔으니 '이'로 발음하는 것이 표준 발음법에 부합한다.
[4]
심지어 본음도 '리'로 같다. 한자 표현은 裏로 다르기는 하지만.
[5]
실제로 스페인어권에서
가브리엘의 애칭을 가비(gabi(e))라고 하곤 한다. 대표적인 예로
국가비가 있다.
[6]
사이안화 칼륨보다 청산가리라는 명칭이 익숙할 것이다.
[7]
다만 삭제되긴 했으나 대한민국의 수학 교육과정의 분량 자체가 너무 줄기도 했고 내신 수학이라는 특수성을 감안할 때, 2015 개정교육과정의 학생들 여전히 배우고 있는 상황이다. 이러한 상황 때문에
쎈과 같은 문제집에서는 여전히 찾아볼 수 있다.