최근 수정 시각 : 2022-02-23 19:21:12

대수 다양체

대수다양체에서 넘어옴
[[대수학|대수학
Algebra
]]
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px; word-break: keep-all;"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
이론
기본 대상 연산 · 항등식( 가비의 이 · 곱셈 공식( 통분 · 약분) · 인수분해)) · 부등식( 절대부등식) · 방정식( 풀이 · ( 무연근 · 허근 · 비에트의 정리( 근과 계수의 관계) · 제곱근( 이중근호 · 개방법) · 환원 불능) · 부정 · 불능) · 비례식 · 다항식 · 산술( 시계 산술)
수 체계 자연수( 소수) · 정수( 음수) · 유리수 · 실수( 무리수( 초월수) · 초실수) · 복소수( 허수) · 사원수 · 대수적 수 · 벡터 공간
다루는 대상과 주요토픽
대수적 구조
군(group) 대칭군 · 기본군 · 자유군 · 리 군 · 괴물군 · 점군 · 순환군 · 군의 작용 · 동형 정리 · 실로우 정리
환(ring) 아이디얼
체(field) 갈루아 이론
대수 가환대수 · 리 대수 · 불 대수( 크로네커 델타)
마그마 · 반군 · 모노이드 자유 모노이드 · 가환 모노이드
선형대수학 벡터 · 행렬 · 선형사상 · 가군(Module)
정리 · 추측
대수학의 기본정리 · 나머지 정리 · 유클리드 호제법 · 부분분수분해 · PID 위의 유한생성 가군의 기본정리 · 산술·기하 평균 부등식 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 호지 추측미해결 · 가환대수에서의 호몰로지 추측미해결
분야와 관심대상
대수기하학 대수다양체 · 스킴 · 에탈 코호몰로지 · 모티브 · 사슬 복합체
대수적 정수론 타원곡선 · 디오판토스 방정식 · 유리근 정리 · 모듈러성 정리
가환대수학 스펙트럼
표현론
기타 및 관련 문서
수학 관련 정보 · 1학년의 꿈 · 노름 · 혼합계산 · 분배법칙 · 교환법칙 · 결합법칙 · 교재 }}}}}}}}}}}}


1. 개요2. 정의3. 관련 연구와 응용4. 기타 이야깃거리5. 관련 문서

1. 개요

대수다양체()는 부분적으로 다항식의 해집합으로 나타나는 공간을 뜻한다.

잘 알려진 예로는 [math(x+2y=1)]를 풀면 나오는 직선, [math(x^2 + y^2=1)]를 풀면 나오는 원, [math(x^2+2y^2=1)]를 풀면 나오는 타원, [math(x^2+y^2+z^2=1)]를 풀면 나오는 구면 등이 있다.

2. 정의

대수기하학에서 가장 많이 연구의 대상이 되는 것은 대수적 다양체이다. 간단하게 정의하자면, 먼저 [math(k)]를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 [math(S)]를 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 부분집합이라 하자. 그러면

[math( Z\left(S\right)=\left\{\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in k^n|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }f\in S\right\})]

꼴의 모든 집합을 algebraic set이라고 하고 이런 꼴의 집합들을 closed set으로 하는 topology를 Zariski topology 라고 한다. 이는 아주 잘 정의된다. 그리고 이렇게 topology를 준 algebraic set이 irreducible[1]이라면 이 algebraic set을 algebraic variety라고 부른다.[2] 이렇게 정의하는 이유는 이를 에 대응시킬 때 너무 편하기 때문이다. 다시 말하자면, 어떤 algebraic set [math(X)]가 있을 때

[math( I\left(X\right)=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in X\right\})]
라고 정의하자. 그렇다면,

[math( I\left(Z\left(S\right)\right)=\sqrt{\overline{S}})]
라는 게 알려져 있다.[3]여기에서 [math(\overline{S})]는 [math(S)]로 generated되는 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 ideal이고, [math(\sqrt{})]는 radical이라고 해서 [math( I )]가 [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 ideal이라면
[math(\sqrt{I}=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f^n\in I \text{ for some }n\right\} )]
으로 정의한다. 그리고 [math(Z\left(S\right))]가 algebraic variety라는 것은 [math(\overline{S})]가 prime ideal이란 것과 동치다. [math(k\left[x_1,\cdots,x_n\right])]의 prime ideal [math(P)]에 대해서 다음이 성립한다.
[math( I\left(Z\left(P\right)\right)=P)]
그렇기 때문에 대수기하학의 대부분은 먼저 irreducible일 때만 다룬 뒤에 그 다음으로 irreducible이 아닌 것들은 irreducible인 것들로 나눈 뒤에 다루는 것이 일반적이다.[4]

그렇다면, 어떤 algebraic variety가 있을때 그것의 성질은 어떻게 알아내야 하는 걸까? 그 algebraic variety가 prime ideal [math(P)]로 표현된다면

[math( \Gamma\left(Z\left(X\right)\right)=k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P)]
를 생각해보자. 이는 정확히 원래 algebraic variety [math( Z\left(P\right))]와 일대일 대응을 이룬다. 이것의 의미는 [math(f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P)]이고 [math(\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in Z\left(P\right))]일 때 [math( f\left(a_1,\cdots,a_n\right))]이 정확히 하나로 정의된다는 것에 있다. 그러니까 [math(X)]에서 [math(k)]로 가는 적당한 함수들을 모아놨다는 의미가 된다. 덤으로 그 algebraic variety의 closed subset은 [math(\Gamma\left(Z\left(P\right)\right))]의 prime ideal에 해당되고 point는 maximal ideal에 해당된다. 그리고 [math(U)]가 [math(Z\left(P\right))]의 open subset일 때 다음을 정의할 수 있다.
[math( O_{Z\left(P\right)}\left(U\right)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]\text{ and }g\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in U\right\})]
그리고 모든 [math(U)]에 대해서 이런 꼴들의 들을 모아놓은 것을 [math(Z\left(P\right))]의 structure sheaf라고 한다.

3. 관련 연구와 응용

대수 다양체의 성질을 연구하는 분야가 대수기하학이다. 대수 기하학은 대수학, 기하학, 해석학, 위상수학, 정수론( 대수적 정수론, 해석적 정수론), 미분기하학, 심지어 논리학이나 이산수학 등 수학 전 분야에 폭넓게 응용된다. 통계학이나 확률론에도 응용되는지 궁금하다. 놀랍게도 Algebraic Statistics 라는 게 있다.

3.1. 스킴

3.2. 에탈 코호몰로지

에탈 코호몰로지(etal cohomology)란 베유 추측을 풀기 위해 개발된 대수 기하학의 개념으로 간단히 말해서 실수체가 아닌 임의의 field 에서 cohomology를 정의한 것이다. 축약해서 설명한 것이므로 자세한 내용은 에탈 코호몰로지 문서 참조

4. 기타 이야깃거리

5. 관련 문서


[1] Topological space [math( X )]에 대해서 어떤 두 closed subset [math(Z_1,Z_2)]가 있어서 [math(Z_1\cap Z_2=\varnothing)]이고 [math(X=Z_1\cup Z_2)]라면 [math(Z_1,Z_2)] 둘 중 하나는 empty set이다. [2] 수학적으로 variety와 manfold는 다른 개념이다. Manfold란 일반적인 기하학에서의 도형 같은 개념이고 variety는 대수 기하학에서 쓰이는 기하학적인 내용이다. 따라서 variety와 manfold는 완전히 다른 개념이다! 그런데 수학 서적이나 단어들이 한국어로 번역될 때 variety와 manfold 가 죄다 다양체로 번역돼서(...) 헷갈릴 수 있다. [3] 이를 힐베르트 영점 정리(Hilbert Nullstellensatz)라고 부른다. 독일어 명칭이 통용된다. [4] 이것은 중요한데, irreducible이 아니라면 그 경우 각각의 closed set들은 성질이 판이하게 다를 수 있다.


파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 문서의 r44에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기
파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
[ 펼치기 · 접기 ]
문서의 r44 ( 이전 역사)
문서의 r ( 이전 역사)