최근 수정 시각 : 2022-05-15 19:52:14

거듭제곱

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1. 개요 및 용어 정리
1.1. 중학교 교과 과정의 정의
2. 거듭제곱의 성질(지수법칙)
2.1. 고등학교 교과 과정의 정의
2.1.1. 정수로의 확장2.1.2. 유리수로의 확장2.1.3. 실수로의 확장2.1.4. 복소수로의 확장
2.2. 그 외
2.2.1. 정적분을 이용한 정의2.2.2. 멱급수를 이용한 정의
3. 함수의 지수4. 집합의 지수5. 행렬의 지수6. 관련 문서

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1. 개요 및 용어 정리

거듭제곱(exponentiation) 또는 멱()은 같은 수나 식을 거듭 곱하는 일, 또는 그렇게 하여 얻어진 수를 말한다. 예를 들어 3을 거듭제곱하면 [math(3 \times 3 = 9)], [math(3 \times 3 \times 3 = 27)], [math(3 \times 3 \times 3 \times 3= 81)], ...와 같이 된다.

어떤 수 [math(x)]를 [math(n)]번 곱했을 때 [math(x^n)]으로 쓰고, [math(x)]의 [math(n)]제곱 또는 [math(x)]의 [math(n)]승()[1]이라고 읽는다. 영어로는 the power of x to the n 또는 x to the n. 이때 곱해지는 수나 식(즉 [math(x)])을 밑(base)이라고 하고, 곱하는 횟수(즉 [math(n)])를 지수(, power 또는 exponent)라고 한다. 또한 밑과 지수를 싸잡아 이를 때는 따로 멱수(冪數)라고 하기도 한다.

한 마디로 설명하면 덧셈을 반복하는 것이 곱셈이며, 곱셈을 반복하는 연산이 바로 거듭제곱인 것이다. 참고로 거듭제곱을 반복하면 테트레이션이 된다.

컴퓨터 상에서는 문서 편집기를 쓰지 않는 이상 위 첨자를 쓰기 힘든 경우가 많기 때문에 ^[2] 기호를 써서 '밑^지수'와 같은 식으로 쓰이기도 한다.[3] 때문에 지수가 들어가는 수식을 컴퓨터 텍스트로 보는 경우 은근히 가독성이 떨어지는 경우가 종종 생긴다. 특히 푸리에 변환 할 때...[4] 이 때문에 자연로그의 밑 한정이지만 [math(\exp)], [math(\rm cis)] 등의 함수꼴 표기도 쓰인다.

대한민국에서는 중학교 1학년부터 배운다.[5] 처음에 지수는 주로 자연수를 범위로 해서 배우나, 고급과정으로 갈수록 지수의 범위가 점점 확장된다.

1.1. 중학교 교과 과정의 정의

중학교 수준에서는
  • [math( a^1 = a )]
  • 모든 자연수 [math(n)]에 대하여 [math( a^{n+1} = a^n \cdot a )]
로 정의한다. 거듭제곱이라는 정의를 그대로 구현했고 자연스럽게 밑을 복소수나 곱셈에 대해 닫혀있는 임의의 집합으로 확장할 수 있다. 지수를 확장하기 위해서는 새로운 정의가 필요하다. 이를 위해 지수가 마땅히 가져야 할 성질들을 정리해야 한다.

2. 거듭제곱의 성질(지수법칙)

[math(a)], [math(r)]가 음이 아닌 실수, [math(b)], [math(c)], nn 실수일 때
  • [math(a^b \times a^c = a^{b+c} )] (지수의 덧셈)[6]
  • [math(\left(a^b\right)^c = a^{bc} )] (지수의 곱셈)[7]
  • (ab)n=an×bn\left ( ab \right )^{n}={a}^{n}\times{b}^{n} (지수의 분배1)
  • (ab)n=anbn\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{{a}^{n}}{{b}^{n}} (지수의 분배2)
기초적인 정의만 사용하여 자연수 지수에 대해 성질 1,2가 임의의 집합에서 성립하고, 성질 3,4가 곱셈의 교환법칙이 성립되는 임의의 집합에서 성립함을 알 수 있다.지수가 자연수일 때는 여러 번 곱하는 것이 정의고 위의 지수법칙들이 정리가 되지만, 지수가 자연수가 아닐 때는 여러 번 곱한다는 정의가 통하지 않으므로 지수법칙을 정의로 활용하여 확장하게 된다. 확장을 하다보면 모두 성립할 수 없을 때가 있는데 이 때에는 밑의 성질부터 차례로 포기한다.

2.1. 고등학교 교과 과정의 정의

2.1.1. 정수로의 확장

첫번째 지수 법칙에 [math(a\neq0)], [math(n\in\mathbb{N})]일 때 [math(b=n)], [math(c=0)]을 대입하면 [math(a^{n} \cdot a^{0} = a^{n+0} = a^{n})]이다. 따라서 [math(a^0 = 1)]로 정의를 내리는 것이 자연스럽다. 또한, 첫번째 지수 법칙에서 [math(a\neq0)]일 때 [math(b=n)], [math(c=-n)]을 대입하면 [math(a^{n} \cdot a^{-n} = a^{0} = 1)]이므로 [math(\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n})]으로 정의를 내리는 것이 자연스러움을 알 수 있다.

예를 들어 [math(a^{2}\cdot a^{-2}=a^{2-2}=a^{0}=1)]이므로 [math(a^{-2})]를 어떤 수라고 한다면 어떤 수에 [math(a^2)]를 곱했을 때 [math(1)]이 나오는 수는 [math(\dfrac1{a^2})]이므로 [math(a^{-2}=\dfrac1{a^2})]이다.

이 정의를 활용하여 자연수 지수에 대해 지수법칙 1,2가 임의의 집합에서 성립하고, 지수법칙 3,4가 곱셈의 교환법칙이 성립되는 임의의 집합에서 성립함을 알 수 있다.
2.1.1.1. [math(0^0)]
하지만 [math(a=0)]이면 [math(0^{0} = 0^{0+0} = 0^{n} \cdot 0^{0} = 0 \cdot 0^{0} = 0)]을 얻는데, 이걸로 [math(0^{0})]을 정의할 수는 없다. 그래서 00은 정의하지 않지만, 수학적 편의를 위해 다른 수와 마찬가지로 00=1로 놓고 사용하는 경우가 많다.[math( \displaystyle \lim_{h\to 0^{+}} h^h =1)]이라는 사실도 1로 정의하는 것에 힘을 실어준다.[8]

2.1.2. 유리수로의 확장

두번째 지수 법칙에 [math(a>0)], [math(m,n\in\mathbb{Z})]일 때 [math(b=\frac{m}{n})], [math(c=n)]을 대입하면 [math((a^{\frac{m}{n}})^{n}=a^{m})]이다. 따라서 [math(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}})]로 정의를 내리는 것이 자연스럽다. 이 정의를 활용하여 지수법칙 1~4가 잘 성립함을 증명할 수 있다.

[math(a)]가 양의 실수가 아닌, 즉 음의 실수나 복소수인 경우에도 [math(b=\frac{m}{n})], [math(c=n)]을 대입하면 [math((a^{\frac{m}{n}})^{n}=a^{m})]이므로 [math(a^{\frac{m}{n}})]을 [math(a^{m})]의 [math(n)]제곱근으로 정의하는 것이 자연스럽다. 차이점이 있다면 [math(n)]제곱근으로 정의하는 것이 조금 까다롭다는 점. 제곱근 문서를 참고하자.

2.1.3. 실수로의 확장

실수의 성질 중에 조밀성(dense)이라는 성질은 무리수로 수렴하는 유리수 수열을 정의할 수 있다는 것이다. 예를 들자면 원주율 [math(\pi)]에 대해 [math(3,\,3.1,\,3.14,\,3.141,\,3.1415,\,\cdots)]이 된다. 이것을 이용해 정의하면 일반적으로 [math(a^r)]은 [math(p=\lim r_n)]인 유리수열 [math(\{r_n\})]을 이용하여 극한 [math(a^p:=\lim a^{r_n})]으로 정의한다.[9] 이 극한값이 존재함은 실수의 완비성으로부터 쉽게 보일 수 있다. 이렇게 하면 [math(2^{\pi})]는 [math(2^{3},\,2^{3.1},\,2^{3.14},\,\cdots)]인 수열의 극한으로 정의된다.

오메가 상수라는 특수한 실수가 있는데, 자연로그의 밑에 곱하고 지수를 취하면 1이 되는 수이다.

2.1.4. 복소수로의 확장

복소수로의 확장을 위해서는 엄밀한 증명이 필요하지만, 결론만 이야기하면 확장이 가능하다.

먼저 [math( a^x = e^{x \ln a} )]로부터 [math( x^z = x^{a+bi} = e^{(a+bi) \ln x } )] 가 튀어나온다. 그리고, 오일러 공식 [math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)][10]를 조합하면 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 하나로 통합되어 버린다.

복소수까지 확장되면 지수함수, 로그함수는 함수값을 여러 개 가지는 ' 다가 함수'로 바뀌어 버린다. 그래서, 편각의 범위를 제한(= 주치를 선택)하거나, 리만 곡면으로 확장하여 고려해야 한다.

이와 같은 방법을 통해 [math(i^i)]와 같은 수도 정의할 수 있다. [math(i^i = e^{i \ln i} = e^{i\cdot i\pi \left(2n+\frac12\right)} = e^{-\pi \left(2n+\frac12\right)} )]가 되고, 주치를 택하게 되면 [math(i^i = e^{-\frac{\pi}2} )]가 된다. 즉, 허수에 허수 제곱을 하면 특이하게도 실수가 나오는 경우이다.[11] 참고로 여기서는 하나의 값(주치)만 언급했지만, [math(i^i)]는 다가함수이기에 여러 개의 값을 가진다.

다만 지수를 복소수로 확장했을 경우 (ab)c=abc\displaystyle \left ( {a}^{b} \right )^{c}={a}^{bc}(ab)n=an×bn\displaystyle \left ( ab \right )^{n}={a}^{n}\times {b}^{n}가 성립하지 않는 경우가 있다.복소수 지수 자체는 정의가 되나 이 두 등식을 항상 만족하게 정의할 방법이 없다.

2.2. 그 외

사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 [math(e)]에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의한 다음 자연로그를 통해 [math( a^x = e^{x \ln a} )]를 이용해 일반적인 지수로 정의한다. 그럼 여기서 또 갑자기 튀어나온 로그 때문에 당황하게 된다. 고등학교 교육과정에서는 지수가 정의된 후 지수함수의 역함수가 로그함수라고 배우지만, 대학교에서는 로그함수를 먼저 정의한 뒤 로그함수의 역함수를 지수함수라 정의하는 등 다양한 정의가 있으며, 그 정의는 서로 동등하다. (역사적으로도 로그함수가 먼저 출현했다.)

2.2.1. 정적분을 이용한 정의

먼저 자연로그함수 [math(\ln x)]를 다음과 같이 정의한다.

[math(\displaystyle \ln x = \int_1^x \frac 1t \,\mathrm{d}t)]

그 다음 [math(\ln x)]의 역함수를 정의한다.

[math(\ln^{-1}x = \exp x)]

이렇게 정의하면 [math(\exp x)]가 바로 우리가 알고 있는 자연지수함수 [math(e^x)]이고, 나머지 일반지수함수를 [math( a^x = e^{x \ln a} )]로 정의할 수 있게 되어 매끄럽게 설명이 가능하다.

2.2.2. 멱급수를 이용한 정의

[math(\displaystyle \exp(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!})]
[math(\displaystyle \operatorname{cis}(x) := \sum_{n=0}^{\infty} {(ix)^n \over n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!})]

테일러 급수를 이용해서 위와 같이 정의할 수 있다. [math(\exp(x))]는 exponential x의 준말로, 자연지수함수이다. 따라서 [math(e^x)]와 같다. [math(\operatorname{cis}(x))]는 오일러 공식을 구성하는 요소의 이름자[12]에서 하나씩 따왔으며, 이는 허수지수함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 이야기이다.

얼핏 보면 지수함수를 지수로 정의하기 때문에 순환논법처럼 보일 수 있으나, 좌변의 지수 [math(x)]는 실수 및 복소수인 반면 우변의 지수는 모두 자연수다. 즉 자연수 지수만을 가지고 이로부터 바로, 즉 위에서 소개한 여러 단계의 확장 없이 바로 실수, 복소수 지수로 확장하는 것이다.

이것만 놓고 보면 별로 지수의 확장으로 보이지 않을 것이다. 하지만 저 정의로부터 바로 다음을 보일 수 있다.[13]

[math(\displaystyle \exp(x+y) = \sum_{n=0}^{\infty} {(x+y)^n \over n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} x^r y^{n-r})]
[math(\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{r=0}^n \frac{x^r}{r!} \frac{y^{n-r}}{(n-r)!} = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^l}{l!} \frac{y^m}{m!} = \left( \sum_{l=0}^{\infty} \frac{x^l}{l!} \right) \left( \sum_{m=0}^{\infty} \frac{y^m}{m!} \right))]
[math(\displaystyle = \exp(x) \exp(y).)]

여기서 [math(x, y)]는 임의의 복소수이다. 그리고 물론 [math(\exp(0) = 1)]이다. 그런데 이 성질들에 해당하는 지수의 성질들, 즉 [math(a^{m+n} = a^m a^n)], [math(a^0 = 1)]로부터 위에서 소개한 정수, 유리수로의 확장이 자연스럽게 이루어졌다는 걸 감안하면 이렇게 정의한 [math(\exp)]가 거듭제곱을 충분히 잘 묘사해 준다는 걸 알 수 있다. 사실 여기서 [math(e = \exp(1))]이라고 정의하면, 저 성질로부터 모든 자연수 [math(n)]에 대해 [math(\exp(n) = (\exp(1))^n = e^n)]이고, [math(n)]이 음의 정수인 경우에 대해 [math(\exp(n) = \frac{1}{\exp(-n)} = \frac{1}{e^{-n}})]이며[14], 임의의 정수 [math(m)]과 양의 정수 [math(n)]에 대하여 [math(\left( \exp\left( \frac{m}{n} \right) \right)^n = \exp\left( \frac{m}{n} \cdot n \right) = \exp(m) = e^m)]임을 바로 알 수 있다. 그 다음 단계인 실수로의 확장과 비교하려면 [math(\exp)]가 연속이어야 한다는 걸 보여야 하지만[15] 그리 어렵지 않고 이 연속성 덕분에 유리수 지수에서 같은 것만으로도 실수 지수에서 같아야 한다는 걸 바로 보일 수 있다.[16] 복소수로의 확장은 더 간단한 게, 위에서 소개한 복소수로의 확장은 아예 이 문단에서의 정의로부터 바로 얻을 수 있는 그 방법과 똑같다.[17] 최종적으로 모든 복소수 [math(z)]에 대해 [math(\exp(z))]이 위에서 확장하고 확장한 끝에 얻은 [math(e^z)]과 같다는 걸 볼 수 있었다.

임의의 [math(a)]에 대해 [math(a^z)]는 어떻게 할 거냐 할 수 있지만, 이건 그냥 [math(\exp(z \log{a}))]와 비교하면 된다. 여기서 [math(\log)]는 [\math(\exp)]의 역함수로 정의된다.[18] 실수 정의역 한정으로 [\math(\exp)]가 순증가함수인 걸 쉽게 보일 수 있으니 이는 별 문제가 없다. [math(a)]가 양의 실수가 아니면 어떡할 건가 싶긴 할텐데, 그런 경우엔 [math(z)]가 정수이거나 하지 않은 이상 어차피 위에서도 그리 잘 정의되는 경우가 아녔으니 넘어가도 좋을 것이다.

무슨 지적 유희인가 싶겠지만, 이러한 방식의 확장은 수학 전반의 분야에서 유용하게 쓰인다. 사실 위에서 소개한 지수의 확장보다 훨씬 더 좋은데, 거의 순전히 대수적으로 구성된 정의라 대수적 구조가 있는 곳에선 많은 경우 활용이 가능한 식이기 때문이다. 예를 들어 행렬 지수 같은 것에서도 얼마든지 활용할 수 있다. 예를 들면 실수 혹은 복소수 성분의 정사각행렬 [math(A)]에 대해 [math(\exp(A))]를 위와 같이 정의할 수 있고, [math(A)]가 뭐든 이 식은 잘 정의된다. 심지어 [math(AB = BA)]인 경우에 한해서 [math(\exp(A + B) = \exp(A) \exp(B))]도 성립한다.[19] 여기서 '거의 순전히 대수적으로'라고 한 이유는 아무래도 "무한합"이 들어가 있어서 그렇다. 물론 그 어느 분야에서도 0이 아닌 무한히 많은 항들의 "합"은 잘 정의되지 않으며, 그렇기 때문에 해석학의 경우에서처럼 극한을 활용한다든가 (formal) power series 같은 걸 활용한다든가 해야 한다.[20] 그도 아니면 [math(A)]가 nilpotent한[21] 경우만 생각한다든가 할 수 있다. 이런 경우 0이 아닌 항의 개수가 유한해지기 때문에 굳이 무한합 같이 써놔도 전혀 상관 없기 때문에 괜찮다. 이런 특수한 경우는 리 군 리 대수 같은 걸 다룰 때 자주 등장한다.[22] 그 외에도 행렬 혹은 선형 사상을 지수로 하는 경우가 순수수학은 물론이고 양자역학 등 수많은 과학, 공학 분야에서 자주 쓰이기 때문에 이와 같은 방식의 정의는 몹시 유용하다.

심지어 위에서 소개한 [math(\operatorname{cis}(x))]로부터 [math(\sin)], [math(\cos)], 그리고 [math(\pi)], 즉 원주율을 정의할 수 있다. 무슨 뜬금없는 소린가 싶겠지만 저 셋을 엄밀하게 정의하는 것은 생각보다 쉽지 않다. 여기서 [math(\operatorname{cis}(x))]의 성질들을 잘 들여다 보면 이 녀석의 상(image)이 복소평면 상에서 단위원과 똑같다는 것을[23], 그리고 이 함수가 주기를 갖는다는 것을 알 수 있다. 이제 이 함수의 실수부와 허수부를 각각 [math(\cos)], [math(\sin)]로 표기하고 그 주기를 [math(2\pi)]라고 표기하면, 결국 우리가 기존에 알던 [math(\sin)], [math(\cos)], [math(\pi)]를 얻을 수 있다.[24]

3. 함수의 지수

함수에 지수가 있는 때가 있는데, 동일 함수의 합성 형태인 [math( f^2(x) = (f \circ f)(x) )]의 축약형이다. 여기서 지수는 함수가 몇 번 합성됐느냐를 나타내며, 이는 미분방정식의 도함수([math(\mathrm{d})]), 편도함수([math(\partial)])에도 적용된다. 이것을 이용해서 함수의 제곱근을 구할 수도 있다.

단, 함수에 붙은 지수가 함숫값의 거듭제곱을 나타내는 경우도 많이 있는데, 삼각함수, 로그함수 및 대다수의 특수함수들[25]이 여기에 속한다. 즉, [math( f^2(x) = (f(x))^2 )]이다.

역함수는 보통 [math(f^{-1}(x))]이라고 쓰며, 역삼각함수도 삼각함수 앞에 arc-나 a-를 붙이는 방법 외의 다른 방법으로 삼각함수에 지수 -1을 붙인다. 예를 들면, 역사인함수의 경우 [math(\arcsin x, \mathrm{asin}\, x, \sin^{-1} x)]의 표기가 혼용된다.

한편 함수를 이루는 항이 특정 수의 지수로만 존재하는 경우를 멱함수, 이를 이용한 급수를 멱급수라고 한다. 다항함수의 경우, 미지수의 지수가 가장 큰 항의 지수를 차수(degree)라고 한다.

4. 집합의 지수

집합에 거듭제곱이 있으면 집합을 그 거듭제곱의 수효만큼 순서쌍으로 묶어놓은 것을 집합의 원소로 삼는 집합[26]으로 정의한다.
예) [math(\{1,2,3\}^2 = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\})]

보통 중적분에서 [math(mathbb{R}^n)] 등으로 지겹게 접하게 된다.

더 나아가, 집합 그 자체를 지수로 삼을 수도 있는데, 이를 멱집합이라고 한다.

5. 행렬의 지수

행렬에서도 거듭제곱을 지수를 이용해서 표현할 수 있다. 당연하지만, NxN 정사각 행렬에서만 가능하다.

고등학교 수학에서도 2차 정사각 행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리로 등장하곤 한다. 정규 교육과정에서는 제외되었지만 모의고사 등에 간혹 나온다.

6. 관련 문서




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[1] 제곱으로 순화되기 이전에 사용하던 용어이기에 나이든 사람은 승으로 읽는 경우가 많다. [2] 캐럿으로 읽는다. 사실 하도 캐럿이 이모티콘으로 쓰이는 빈도가 압도적으로 많고 지수 표시를 위해서 쓰일 때는 '[math(A)]의 [math(B)]제곱' 같은 식으로 읽기에 캐럿을 읽는 경우는 거의 없다보니 캐럿이 무슨 기호이고 어떻게 읽는지 모르는 사람들이 대다수다. 자세한 것은 해당 문서 참조. [3] 만약 plain text에서 ^ 기호를 사용해 지수를 표기하는데 지수 안에 + 등 다른 부호가 들어갈 경우, 2^(x+3)과 같이 지수 전체를 괄호로 씌워 주는 게 좋다. 괄호를 씌우지 않으면 어디까지가 지수인지 알 수 없기 때문이다. 그냥 2^x+3이라고만 쓰면 x만 지수인 것으로 받아들이는 경우가 많다. [4] 실제로 푸리에 변환에서 거듭제곱 자리에 6글자나 들어간다([math(e^{−2 \pi itx})]). [5] 6차 교육과정까지는 초등학교 6학년부터 배웠다. [6] 이 등식은 bbcc 실수가 아닌 허수일 때에도 성립한다. 증명 [7] 다만 c가 정수일 경우에는 b가 실수가 아닌 허수여도 성립한다. [8] 실제로 몇몇 핸드폰 계산기는 00을 계산하면 '1' 또는 '없음'이라고 계산한다. 공학용 계산기는 에러코드를 띄운다. [9] [math(p=\lim r'_n)]이면, [math(\lim a^{r_n}=\lim a^{r'_n})]이다. [10] 줄여서 [math(\operatorname{cis}(x))]로 쓰기도 한다. [11] 사실, 무리수의 무리수지수가 정수가 나오는 경우도 있다. 잘 알려진 건 [math(e^{\ln{a}}=a)]. [math(a)]가 [math(1)]이 아닌 양의 유리수라면, [math(\ln a)]는 항상 무리수가 되는 건 증명되어 있다. [12] cosine, imaginary unit, sine [13] 물론 엄밀한 증명은 아니다. 다만 두번째 줄 각 변의 두 극한들이 정말 같은가 정도만 확인해 주면 충분하다. (사실 맨 왼쪽 변과 맨 오른쪽 변을 바로 비교할 수 있으며, 그것만으로도 충분하다.) 더군다나 이 증명(의 스케치)은 곧 소개될 다른 확장들에서도 유효하다. [14] [math(\exp(n) \exp(-n) = \exp(n + (-n)) = \exp(0) = 1)]. [15] 임의의 유계 폐구간을 잡아 그 안에서만 [math(\exp)]를 생각했을 때 이게 사실 균등수렴하는 함수열의 극한임을 보이는 것으로 보일 수 있다. [16] 두 위상공간 [math(X, Y)]와 두 연속 사상 [math(f: X \to Y)], [math(g: X \to Y)]에 대하여 [math(Y)]가 Hausdorff하고 어떤 조밀한 (dense) 부분집합 [math(D \subset X)]가 존재해 모든 [math(x \in D)]에 대하여 [math(f(x) = g(x))]이면 [math(f = g)]임을 쉽게 보일 수 있다. 보통 위상의 실수 집합은 Hausdorff하고 유리수 집합은 조밀하다는 것 또한 상기하자. [17] 단, 이 섹션의 맨 마지막 문단에서 소개한 내용이 신경 쓰이거든 잠깐 [math(\exp(ix) = \cos{x} + i\sin{x})]를 잊어버리는 게 좋을 수도 있다. [18] 물론 [math(\log)] 역시 [math(\exp)]와 같은 급수 형태로 정의되기도 한다. 즉, [math(\displaystyle \log{(1+x)} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} x^n)]과 같이 정의하자는 것이다. 단, 이 급수가 모든 [math(x)]에 대해 수렴하지는 않으므로 어느 정도 제약이 있다. 그래도 적당한 범위 안에서 잘 작동하며, 특히 아래에서 언급할 행렬 지수를 다룰 때에 이 식을 종종 쓰곤 한다. 더군다나 아래에서 잠깐 언급할 (formal) power series에서는 수렴 여부 같은 걸 걱정할 필요가 사실 없다. 이는 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 순수 대수학적으로 구하는 과정에서 활용된다. 자세한 내용은 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보라. [19] [math(AB \ne BA)]인 경우에 대해선 상황이 복잡한데, 이에 대해선 Campbell-Baker-Hausdorff formula를 찾아 보라. [20] 앞에서 말한 N. Jacobson, Lie algebras, Dover (1979)를 보든가 아니면 S. Lang의 Algebra, 3rd Ed. (Springer, 2002) 중 Section IV.9를 보자. [21] 적당한 양의 정수 [math(r)]이 존재해 [math(A^r = 0)]. [22] 사실 리 군과 리 대수는 이 exponential map과 뗄레야 뗄 수 없는 관계를 많이 가진다. 주석 중 하나에서 소개한 Campbell-Baker-Haudorff formula 역시 이 분야에서 나온 것. [23] 의외로 쉽지 않은데, 단위원에 (즉 [math(|z| = 1)]을 만족하는 모든 복소수 [math(z)]로만 구성된 집합에) 포함된다는 걸 보이는 건 위에서 언급한 성질에 의하여 단 몇 단어로 끝나지만 그 상이 단위원 전체와 같다는 것을 보이는 건 다른 문제이고, 이건 좀 어렵다. [24] W. Rudin, Real and Complex Analysis, Springer (1970, International Ed.), Prologue chapter 참고. [25] 감마 함수, 지수 적분 함수, 폴리로그함수 [26] 집합족(Family of sets)이라고 한다.

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