최근 수정 시각 : 2022-07-30 22:35:46

항등원

연산
Numbers and Operations
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#765432> 수 체계 자연수 ( 홀수 · 짝수 · 소수 · 합성수 ) · 정수 · 유리수 ( 정수가 아닌 유리수 ) · 실수 ( 무리수 · 환원 불능 · 초월수 ) · 복소수 ( 허수 ) · 사원수
표현 숫자 ( 아라비아 숫자 · 로마 숫자 · 그리스 숫자 ) · 기수법 · 진법 ( 십진법 · 이진법 · 8진법 · 12진법 · 16진법 · 60진법 ) · 분수 ( 분모 · 분자 · 기약분수 · 번분수 · 연분수 · 통분 · 약분 ) · 소수 ( 무한소수 )
연산 사칙연산 ( 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 구구단 · 나눗셈 ) · 역수 · 절댓값 · 제곱근 ( 이중근호 ) · 거듭제곱 · 로그 ( 상용로그 · 자연로그 ) · 검산 · 교환자
방식 암산 · 세로셈법 · 주판 · 산가지 · 네이피어 계산봉 · 계산기
용어 이항연산 · 항등원과 역원 · 교환법칙 · 결합법칙 · 분배법칙
기타 수에 관련된 사항 ( 0과 1 사이의 수 · 음수 ) · 혼합 계산 ( 48÷2(9+3) · 111+1×2=224 · 2+2×2 ) · 0으로 나누기 · 0의 0제곱 }}}}}}}}}


1. 개요2. 정의
2.1. 수에서의 항등원과 역원2.2. 멱등원
3. 예시4. 중등교육과정

1. 개요

항등원(, Identity element)은 임의의 원소(실수, 다항식, 행렬, 벡터 등)에 특정 연산을 했을 때 재귀시키는 원소를 말한다. 그리고 연산 결과 항등원이 나오게 하는 원소를 역원(, Inverse element)이라고 한다.

2. 정의

집합 [math( S )]와 이 집합 위에서 정의된 이항연산 [math( *:S \times S \to S )]가 있을 때, 어떤 [math( e \in S )]가 다음을 만족한다고 하자.
  1. 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( e*x = x )]
  2. 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*e = x )]
1.을 만족하는 경우 [math(e)]를 왼쪽 항등원(left indentity)라 하고, 2.를 만족하는 경우에는 오른쪽 항등원(right indentity)라 한다. 1.과 2.를 동시에 만족시키면 [math(e)]를 양쪽 항등원(two-sided identity) 또는 항등원이라 한다.

또한 모든 [math( x\in S )]에 대해, [math( x*a = e )]을 만족하는 [math(a)]를 역원이라고 한다. 보통 [math(S^{-1})]로 표기한다.

2.1. 수에서의 항등원과 역원

  • 덧셈에서의 항등원은 0이다. 덧셈의 항등원은 달리 영원이라고도 한다.
  • 곱셈에서의 항등원은 1이다. 곱셈의 항등원은 달리 일원이라고도 한다.
기호로는 e 를 쓰며, 독일어로 einheit(단위)를 나타내는 단어에서 유래되었다. 표기가 같은 자연로그의 밑과 혼동에 주의.
  • 덧셈의 역원은 부호가 반대인 수( 반수)이다. ([math(a + (-a) =0)])
  • 곱셈의 역원은 지수의 부호가 반대인 수( 역수)이다. ([math(a \cdot a^{-1} =1)])

한편, 역원이 존재하지 않는 모노이드라고 한다. 대표적으로 0을 포함하는 자연수 집합 [math(\mathbb{N})]이 있다.

2.2. 멱등원

동일한 연산(대부분 거듭제곱)을 한 원소가 그 원소와 동일한 원소를 멱등원(, Idempotent element)이라고 한다. 보통 [math(S^2 = S)]로 표기한다.
위의 덧셈의 항등원 0, 곱셈의 항등원 1 모두 멱등원이며, 이외에도 멱등행렬, 멱등함수 등이 있다.

이를 통해 알 수 있는 건 멱등원은 제곱을 해도 그 값은 변하지 않는다.

그리고 항등원과 멱등원이 동일한 경우도 있으나, 그렇지 않은 경우도 많다. 가령 곱셈에 대해서는 항등원이 아닌 0을 예로 들자면, 0을 곱한 횟수에 상관없이 결과값이 0으로 동일하므로 멱등원에 속한다.

3. 예시

[math( S )] [math( *:S \times S \to S )] [math( e \in S )] [math( S^{-1} )] [math(S^2=S)]
행렬의 집합 덧셈 영행렬 부호가 반대인 행렬 영행렬
[math( n \times n )] 행렬의 집합 행렬곱 [math( n \times n )] 단위행렬 역행렬[1] 멱등행렬
함수의 집합 함수의 합성 항등함수 역함수[2] 멱등함수

4. 중등교육과정

2007 개정 교육과정까지 '집합과 수 체계' 단원에 포함되어 있었으나, 2009 개정 교육과정에서 행렬이 탈락되면서 함께 사라졌다. 2022 개정 교육과정에서 행렬 부활이 확정적임에 따라 이 내용도 부활할 가능성이 있다.
[1] 역행렬은 정사각행렬에서만 정의된다. [2] 역함수는 치역과 공역이 동치여야 하고 정의역과 공역이 서로 일대일 대응이 되어야 정의된다.