뺄셈

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수와 연산 Numbers and Operations
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1. 개요2. 기호3. 성질4. 정체5. 같이 보기

1. 개요

가장 유명한 이항연산 4개인 사칙연산 중 일원으로, 초등학교에선 덧셈을 배운 뒤 바로 배우는 것. 두 자리 수 이상에서는 받아내림[1]을 사용한다. 초등학생 머리론 받아내림 때문에 덧셈보다 뺄셈이 더 어렵다. 가감승제에 해당된다.

7차 교육과정까지의 중학교에서는 이진법의 뺄셈도 배웠으며, 6차 교육과정까지의 중학교에서는 오진법의 뺄셈도 배웠다.

[math(a-b=c)]

빼지는 수인 [math(a)]가 피감수(minuend), 빼는 수인 [math(b)]가 감수(subtrahend), 뺄셈의 결과값인 [math(c)]가 차(difference). [math(a)]개의 사과에서 [math(b)]개를 빼내면 [math(c)]개가 남는 식으로, [math(a=b+c)] 가 된다는 의미.

초등학교에서는 [math(a≥b)]인 경우, 즉 답이 양수나 0이 나오는 경우까지만 다룬다. 보통 그 외에는 보게 되어도 그냥 참조만 한다. ~~분수랑 소수가 대중소 괄호와 사칙연산이랑 사이좋게 나와서 뇌를 녹이는 판국에 굳이 음수를 가릴 필요가~~

초등학교 교사나 학부모들이 덧셈을 반복하면 곱셈이 되는 것에 착안해 뺄셈을 반복하면 나눗셈이라는 방식으로 나눗셈을 설명하려고 시도하는 경우가 꽤 있다. 10에서 2를 5번 빼면 없어지니 [math(10÷2=5)]가 되는 식으로. 정수와 정수를 사용하는 나머지 있는 나눗셈에서는 쓸모있는 설명방식이지만, 그런 경우가 아니면 이항 한 번만 해도 사실상 곱셈과 다를 바 없는 설명임을 알 수 있다.[2]

2. 기호

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( 하이픈 마이너스 기호와 뺄셈 기호는 다르지만 똑같이 생겨서 동일한 취급을 받는 경우가 많다.)

' -' 기호는 1489년 독일의 비드만이 쓴 산술책에 처음 등장한다.[3] 어떻게 '-' 모양이 나왔는지는 명확히 알려져 있지 않다. ‘부족하다’를 뜻하는 라틴어 ‘minus’의 약자 ‘m’을 흘려 쓰다가 만들어졌다는 설이 있다. 이때 당시 유럽에선 덧셈과 뺄셈, 곱셈이 매우 첨단적인 수학 기술로 대학에서나 배울 수 있었고[4], 특히 곱셈 "기술"은 이탈리아에서만 배울 수 있었지만 사칙연산의 기호가 보급되며 급격히 퍼졌다.

3. 성질

결합법칙이 성립하지 않음: [math(a-b-c)]가 [math((a - b) - c)]는 될 수 있지만 [math(a-(b-c))]는 될 수 없다. 이건 현대 수식이 한 방향으로 진행됨을 암시하는 걸로 나름대로 의미가 크다.

교환법칙이 성립하지 않음: [math(a-b≠b-a)]. 교환법칙이 성립하지 않는 연산의 대표주자. 하지만 사실은…

4. 정체

[math(a-b=a+(-b)=c)]

뺄셈은 덧셈으로 나타낼 수 있다.

뺄셈의 의미를 물어보면 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는 성질로써 접근할 게 아닌 이상 점점 덧셈과 구별할 이유가 없어진다. 중학생만 넘어가도 이미 덧셈과 뺄셈에 음수를 사용하고 있기 때문에 덧셈과 점점 정체성의 차이가 느껴지지 않는데, 그래서 결국 수학에서 뺄셈의 정의는 위처럼 정리가 된다. 정수적 사고를 벗어나서 일반적인 수에 대해서 연산을 정의하고자 한다면, 말 그대로 [math(b)]와 더해서 0이 되는 수(바로 [math(-b)])를 더한다는 정의이다.

덧셈의 역연산이 뺄셈이고 뺄셈의 역연산이 덧셈이라고 하기엔 미분과 적분이나 지수와 로그같은 본격적인 역연산과 비교하면 초라할 뿐이다.[5] 덕분에, 숫자보다 복잡한 ( 벡터, 식, 행렬 등등) 수학적 대상이 곱셈이 될 때 나눗셈이 안 되는 일은 있어도 덧셈이 된다면 뺄셈이 안 되는 일은 없다.

'[math(-(-2) = +2)]', 더 나아가 '[math((-1)×(-2) = (+2))]'가 되는 이유가 바로 이것이다. 초등학생한테 대충 음수 알려주고 [math(3-(-2))]라고 하면 "3에서 어떻게 -2를 빼'낼' 수가 있지?"라는 생각으로 이해를 잘 못하는데, ~~빼기+빼기를 가로세로로 놓아서 더하기로 만드는 것이라 이해해버릴 지도 모른다~~, 빼기의 뜻을 물질적으로 이해해버려 이 수를 0에서 반대쪽으로 해서 더한다는 빼기의 추상적인 의미를 단번에 파악하지 못하기 때문.

[증명 1]

-(마이너스)를 '양수(+)의 반대 방향'이라고 하자. [6]
0에서 양수쪽으로 1칸 만큼 가면 1이 된다.
0에서 음수쪽으로 1칸 만큼 가면 -1이 된다. 수식으로 표현한다면 0-1=-1이다. 즉 이 수식을 글자로 표현한다면 '0에서 양수의 반대방향 1칸은 -1'이라고 표현할 수 있다.
그렇다면 0-(-1)은 0에서 양수의 반대 방향 1칸만큼의 반대 방향 1칸이라고 할 수 있고 이것은 +1로 나오게 된다.[7]

그러나 엄밀하게 말해서 음수라는 개념이, 사실은 뺄셈에서 탄생한 것이라는 것을 위 설명으로 알 수 있다. 중세 유럽에서 사칙연산이 대학 과정이었고, 음수 개념이 허수보다 늦게 인정되었다. 현대에서야 뺄셈과 음수는 사칙연산이라는 쪼렙도구로서 다뤄질 뿐이지, 수학사에 있어 뺄셈이라는 개념은 고도의 추상화로서 이루어진 개념이었다. 근본적으로, 음수라는 개념이 탄생하고 나서야 자연수(Natural Number)에서 확장된 정수(Integer)라는 개념이 만들어졌다. 마찬가지로 자연수의 범주가 아닌 0의 개념과 거의 동급인 셈이다.

이 글을 읽고 있을 독자도 만약 수학을 처음 배운다면 뺄셈을 덧셈보다 어려워할 것이고, 생각이 좀 많다면 더하기의 연속인 곱셈보다 어려울 수도 있다. '자연수'라는 개념에서 그 이유를 찾을 수 있는데, 자연수가 아닌 음수(뺄셈)은 자연적으로 존재하는 개념이 아니고 추상(생각)으로만 존재하기 때문이다. 뺄셈의 근본이 '덜어내기'인 것은 맞지만, 만일 '1개'에서 2개를 '덜어낸다'면 그 결과가 어떻게 되는지 알기까지의 개념이 상당히 고급이라는 것이다. '자연적'이라면 1개에서 1개를 덜어낸 순간부터 '없음' ('0'과는 다르다.)이 되기에 1개를 더 덜어낼 수 없기 때문이다.

수학적 의미와는 별개로 실생활에서는 딱 저렇게 떨어지지만은 않는데, [math(3-2)]는 '3 빼기 2'라고 읽지만, [math(-2)]는 마이너스 2[8]라고 읽는 데에서 알 수 있다. 영어로 읽으면 된다고? 영어로 읽으면 [math(3-2)]는 '3 minus 2'이지만 -2는 'negative 2'라고 읽어버린다.

뺄셈 기호의 의미는 그나마 언어적으로 생각하면 세 가지이다.

[math(a-b)] 등으로 쓰이는 뺄셈 연산으로
[math(-b)]라는 정수 중 [math(0)]보다 작은 숫자인 음수를 표기하는 것으로
[math(-(☐))]로 쓰여서 어떤 숫자를 같은 크기만큼 0 밑으로 내리는 것으로[9]

이 세 가지의 표현이 일상생활에선 겹쳐서 쓰인다.

5. 같이 보기

[1] Borrow. 두 수의 부호가 다른 경우 [2] 때문에 초등학교 수학책에서는 빼기를 반복하는 것이 아닌, 말 그대로 '나누는 방식'을 통해 나누기의 정확한 개념을 설명하고 있다. 10 ÷ 2 = ?인 경우에는 봉투 2개를 놓고 사과나 귤, 과자 따위를 10개 준비해 순차적으로 나누어 담은 후, 마지막에 한 봉투에 있는 갯수를 보여주는 식이다. 나머지가 있는 나눗셈(11 ÷ 2 = 5...1)의 경우는 봉투당 5개씩 분배하고 1개가 남은 것을 보여주고, 나머지가 없는 나눗셈(11 ÷ 2 = 5+(1/2) = 5.5)은 남은 1개를 쪼개놓은 모습으로 보여주는 식이다. [3] 덧셈 기호 +도 같은 책에 처음 등장함. [4] 즉 이 당시 사람들에게는 1+1=2라는 수식도 일반적인 것이 아니었다는 의미이다. 물론 일상 생활에서 당연히 알고 있던 개념이겠지만. [5] 당장 적분과 로그는 정의가 가능한 조건에 제한이 있다( 음수의 로그는 말도 안되게 복잡해지며, 적분은 주어진 함수가 연속함수라는 조건을 만족해야 미분과 적분의 관계가 미적분학의 기본정리에 의해 역이 된다.) [6] 그래프 사진첨부 바람 [7] 음수끼리의 곱셈도 이것으로 설명 가능. 결국에는 음수끼리의 곱셈을 증명한 꼴이지만 [8] 교과서 표현대로라면 음의 2. [9] 마이너스 [math(n)]의 교과서적 표현인 음의 [math(n)]이란 표현에서 알 수 있다.

뺄셈

1. 개요

2. 기호

3. 성질

4. 정체

5. 같이 보기

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