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수와
연산 Numbers and Operations |
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1. 개요
連 分 數 / continued fraction분모가 정수와 분수의 합으로 연달아 표기되는 분수. 일반적으로 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있고 무리수는 그럴 수 없지만, 연분수라는 특수한 분수를 사용하면 무리수도 분수로 나타낼 수는 있다. 다만, 어떤 수를 연분수로 나타낼 때, 유리수라면 언젠가는 끝이 나지만 무리수라면 연분수가 한없이 이어진다. 후술했듯이 어떤 무리수의 근사치인 유리수, 즉 근사분수를 찾기 위해서도 연분수가 쓰인다.
2. 전개 방법
가장 기본적으로는, 전개하고자 하는 수를 정수 부분과 소수 부분으로 나눈 뒤, 그 소수 부분의 역수를 취하는 조작을 반복한다. [math(\dfrac{12}7)]를 연분수로 전개해보자.[math(\dfrac{12}7 = 1+\dfrac57 = 1+\cfrac1{\cfrac75} = 1+\cfrac1{1+\cfrac25} = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{\cfrac52}} = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac12}} )]
이 방법을 쓰면 연분수의 모든 분자 자리가 1이 되는데, '여러 무리수의 연분수 전개' 문단에서 보듯이 꼭 이렇게 해야만 수학적으로 옳은 것은 아니다.
다만, 일반적으로 분자를 1로 고정하는 것은 다른 표기법과의 호환이 되기 때문에 권장되는 편이다. 예를 들어서 위에 있는 [math(\displaystyle \frac{12}{7})]의 경우는 [math(\left[1;1,2,2\right])]나 [math(\left<1,1,2,2\right>)]로 표기할 수 있다.
또한, 만약 반복되는 순환마디가 존재한다면, 순환소수와 마찬가지로 해당하는 순환마디에 윗줄을 그어서 표기한다. 예를 들어서 [math(\sqrt{3})]의 경우는 [math(\left[1;\overline{1, 2}\right])]나 [math(\left<1,\overline{1, 2}\right>)]로 표기할 수 있다.
여기에 만약 어떤 연분수 [math(\xi)]가 순환마디를 가지는 순수 순환연분수[1]라면 이 연분수는 이차 무리수[2]이며, 동시에 [math(\xi>1)]이고, [math(\overline{\xi})][3]는 [math(-1<\overline{\xi}<0)]을 만족한다.
3. 근사분수
convergents · 近 似 分 數앞서 설명했듯이, 전개하고자 하는 수를 정수 부분과 소수 부분으로 나눈 뒤, 그 소수 부분의 역수를 취하는 조작을 반복하여 얻는 연분수의 모든 분자 자리는 1이 된다. 이렇게 연분수로 전개해가다가, 특별히 큰 수가 등장하면 거기에서 전개를 멈추고, 그 수가 나오기 바로 전까지의 연분수를 계산해서 얻는 값이 해당 무리수의 근사치인 유리수가 된다. 이 수를 근사분수라고 한다. 그 '특별히 큰 수'가 크면 클수록 정밀도 높은 근삿값이 나온다. 예를 들어 [math(\pi)]의 근사치인 유리수를 찾아보자. [math(\pi)]는 무리수이므로 [math(\pi)]를 이 방법으로 전개하면 다음과 같이 한없이 이어진다.
[math(\pi=3+\cfrac1{7+\cfrac1{15+\cfrac1{1+\cfrac1{292+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} )]
여기에서 292라는 특별히 큰 수가 등장하였으므로, 그 바로 전에서 끊은 후 그 값을 계산하면 된다. 곧,
[math(3+\cfrac1{7+\cfrac1{15+\cfrac1{1} }} = \dfrac{355}{113} (\approx 3.1415929204) )]
가 바로 [math(\pi)]의 근삿값이다. 참고로 [math(\pi\approx 3.1415926536)]이다.
물론, 연분수 계산을 많이 진행할수록 값은 정확해지겠지만 그 계산 결과는 매우 복잡해질 것이다. 적당한 선에서 간결한 근삿값을 얻고 싶다면, 연분수 계산 도중 특별히 큰 수가 나오면 거기서 끊어 버리면 된다.
한편, 극히 예외적인 경우로는 황금수
[math(\varphi = \dfrac{1+\sqrt5}2 = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} )]
가 있다. 모든 정수 부분에 계속해서 1만 나오는데, 이 방법으로는 [math(\varphi)]의 근사치가 되는 마땅한 유리수를 찾을 수 없다. 이런 경우는 달리 찾아볼 수가 없다.[4]
짝수 근사분수는 실제 값보다 작고 홀수 근사분수는 실제 값보다 크다.
4. 여러 무리수의 연분수 전개
아래는 각각 [math(sqrt2)], [math(sqrt3)], 황금수, 원주율, 자연로그의 밑, 오메가 상수, 겔폰트-슈나이더 상수, 겔폰트 상수의 연분수 전개이다. 뒤의 대괄호로 묶인 부분은 다른 표기법이다.- [math(\displaystyle\sqrt2=1+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{\ddots}} }} }} }}=\left[1;\overline{2}\right])]
- [math(\sqrt3=1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} }}=\left[1;\overline{1, 2}\right])]
- [math(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2 = 1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }}=\left[1;\overline{1}\right]\textrm{ or }\left[\overline{1}\right])]
- [math(\displaystyle \pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{\ddots}} }} }} }} = 3+\cfrac1{7+\cfrac1{15+\cfrac1{1+\cfrac1{292+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }} =\cfrac4{1+\cfrac{1^3}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{\ddots}} }} }} )]
- [math(e= 2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac2{3+\cfrac3{4+\cfrac4{5+\cfrac5{\ddots}} }} }}=2+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{4+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{6+\cfrac1{\ddots}}}}}}}}})]
- [math(\Omega= W(1)= \cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{2+\cfrac5{3+\cfrac{17}{10+\cfrac{133}{\ddots}} }} }})][5]
- [math(2^{\sqrt 2} = 2+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{72+\cfrac1{3+\cfrac1{\ddots}} }} }})]
- [math(e^{\pi} = (-1)^{-i} = 23+\cfrac1{7+\cfrac1{9+\cfrac1{3+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{\ddots}} }} }})]
5. 기타
수를 넣으면 연분수로 전개시켜 주는 사이트도 있다. #모든 무한연분수는 무리수이고(단, 분자에 0만 반복되는 경우는 제외한다.), 모든 유한연분수는 유리수이다.
여담으로, 2부터 99까지의 제곱수가 아닌 수의 제곱근을 연분수로 만들었을 경우, 가장 순환마디가 큰 수는 [math(\sqrt{94})]의 15자리이며 그 다음은 [math(\sqrt{76})]의 12자리이다.
[1]
괄호 표기법 기준으로 첫번째 숫자, 혹은 두번째 숫자부터 순환마디인 연분수
[2]
2차방정식의 해가 되는 무리수를 의미
[3]
이차방정식의 켤레근
[4]
여기에서 중간을 끊어 버리면, 피보나치 수열의 항의 비율 [math(F_n/F_{n-1} )]이 된다. 바꿔 말하면, [math(F_n/F_{n-1} )]은 극한값인 [math(\varphi)]로 매우 느리게 수렴한다. 상대오차 기준으로 [math(\varphi)]와 [math(2584/1597)]가 [math(\pi)]와 [math(355/113)]보다 약간 떨어지는 정밀도로, 정밀도를 높이려면 어마어마하게 큰 피보나치 수가 필요하단 걸 알 수 있다.
피보나치 수열 참고.
[5]
[math(W)]는
람베르트 W 함수이다.