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정수론 Number Theory |
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1. 개요
Fermat prime number피에르 드 페르마가 처음으로 연구한 수 형식으로, 음이 아닌 정수 n에 대해 [math(F_n = 2^{2^n}+1)] 형태로 나타나는 수를 의미한다.
2. 예시
[math(F_0 = 2^1+1 = 3)][math(F_1 = 2^2+1 = 5)]
[math(F_2 = 2^4+1 = 17)]
[math(F_3 = 2^8+1 = 257)]
[math(F_4 = 2^{16}+1 = 65537)]
...
1637년, 페르마는 위 형식인 수들은 소수일 것이라 추측했고,[1] n=0~4까지는 5개는 소수가 맞지만 1732년 레온하르트 오일러가 n=5일 때 다음과 같은 소인수분해 결과를 내놓으면서 반증했다.
[math(F_5 = 2^{32}+1 = 4294967297 = 641\times6700417 )]
[math(n=6)]일 때는 1855년에 인수분해 결과를 내놓았다.
[math(F_6 = 2^{64}+1 = 18446744073709551617 = 274177\times67280421310721 )]
n=7~11은 컴퓨터가 발달한 1970년대 이후에 발견됐다.
n=5~8은 2개의 수로, 9일 때는 3개, 10일 때는 4개, 11일때는 5개의 수로 소인수분해된다.
21세기에 들어, n=32까지는 소수가 아닌 합성수라는 걸 밝혀냈지만[2][3] 그 이후로 영영 소수가 없는 건지, 아니면 발견하지 못한 소수가 무수히 많이 있는지는 명확히 증명되지 않은 미해결 문제다. 꾸준히 거대한 소수가 발견되는 메르센 소수와는 달리, 저 5개의 수 외에는 더 이상 페르마 소수가 없을 것이라고 부정적인 예측을 하는 수학자가 증가하고 있다. 당장 페르마 소수를 메르센 소수와 크기를 비교할 시 M(100,000,000)가 F(26)~F(27) 사이의 값이어서 기하급수적으로 늘어난다는 점도 있다.
한편, 관련 정리로 다음 수열의 귀납적 정의가 성립함을 쉽게 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle F_{n+1} = \Pi_{i=0}^{n}F_i+2)]
따라서 모든 페르마 수는 고유한 소인수만을 가진다. 다시 말해, 서로 다른 페르마 수는 모두 서로소이다.
소수가 무한하다는 또 다른 증명이다.3. 여담
[math(F_5)] 이후의 수들이 모두 합성수로 판명되자, 페르마 소수가 더는 없을 거라고 생각하는 회의적인 수학자들이 늘고 있다. 그렇다더라도 아직은 페르마 소수가 추가로 존재하는지의 여부가 증명되지 않은 상태로, 이는 큰 떡밥이기에 여전히 연구하는 수학자들도 많다. '페르마 소수가 더 많이 존재한다' 또는 '더 이상 존재하지 않는다'는 수학적 증명을 해낸다면, 충분히 필즈상을 노려 볼 만한 업적에 해당된다. 소소하게는 미확인 페르마 수의 소인수를 찾아내어 합성수임을 밝혀내거나, 소인수분해가 덜 된 수를 완전히 분해하는 것들도 충분한 연구 대상이기도 하다. 예를 들어 페르마 수는 모두 제곱수가 아닌지의 여부도 미해결문제이다.이 사이트에서 페르마 수의 소인수분해 진행상황을 확인할 수 있다. 2020년 기준으로 2020년 10월 5일에 [math(7\times2^{18233956}+1)]이 [math(F_{18233954})]의 소인수라는 것이 밝혀졌다. 현재까지 밝혀진 페르마 수의 가장 큰 소인수다.
작도 가능성과 관련이 깊은 수다. 정n각형이 작도 가능하다는 것은 다음과 동치이다.
[math(n=2^mp_1p_2\cdots p_k)]
여기서 [math(p_1,p_2,\cdots,p_k)]가 바로 서로 다른 페르마 소수이다.간단히 말해, 정5각형이나, 정17각형, 정257각형, 정65537각형이 작도 가능하며, 이의 2배수 및 페르마소수 곱인 정다각형도 작도 가능하다. 정17각형의 작도 가능성은 가우스가 증명했으며, 같은 방법으로 정257각형, 정65537각형이 작도 가능함도 증명했다.