모듈러 역원

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1. 개요2. 일반항3. 성질

3.1. 존재성3.2. 유일성

1. 개요

모듈러 역원 또는 모듈러 역수(modular multiplicative inverse)란 어떤 정수 [math(a)]와의 곱이 법[1] [math(m)]에 대해 1과 합동이 되게 하는 정수, 즉

[math(ax\equiv1\pmod m)][2]

를 만족하게 하는 [math(x)]를 가리킨다. 모듈러 산술 분야에서는 [math(a^{-1})]로도 표기되는 경우가 있으나 일반적인 의미인 유리수 [math(\cfrac1a)]과 혼동의 여지가 있어 그다지 권장되지는 않는다. 한편, 합동식의 특성상 모듈러 역원이 존재할 경우 모듈러 역원은 원소의 개수가 무한한 집합(동치류)의 형태로 나타나는데, 이를 간단히 [math(\overline a)]로 나타내기도 한다. 잉여역원 또는 잉여역수라고도 하며, 윌슨의 정리 증명 시 사용되는 개념이다.

법 [math(m)]이 소수일 경우, 페르마의 소정리 및 확장된 유클리드 호제법을 응용한 방법으로 모듈러 역원을 구할 수 있다.

2. 일반항

[math(x)]가 법 [math(m)]에 대한 [math(a)]의 모듈러 역원이면 정수 [math(k)]를 이용하여

[math(x = \dfrac{km+1}a)]

으로 나타낼 수 있으며[3], 위 식에서 [math(a)]와 [math(m)]은 상수이므로 모듈러 역원은 등차수열 꼴로 나타난다. 예를 들어 법 [math(5)]에 대한 [math(3)]의 모듈러 역원 [math(x)]는

[math(x = \dfrac{5k+1}3)]

이며, [math(k = 1)]일 때 정수 2가 얻어지므로, 최종적으로 3의 모듈러 역원은 정수 [math(n)]을 이용해서 [math(\overline x = \{x\mid x = 5n+2,\,n\in\Z\})]로 나타낼 수 있다.

3. 성질

법 [math(m)]에 대하여 [math(m)]과 서로소인 정수 [math(a\ne0)]의 모듈러 역원은 법 [math(m)]에 대한 완전잉여계에 유일하게 존재한다.

3.1. 존재성

명제의 역도 성립한다. 즉, [math(a)]와 [math(m)]이 서로소이면 [math(ax\equiv1\pmod m)]을 만족하는 정수 [math(x)]가 존재한다.

증명
베주 항등식에 의해 [math(ax+my=1)]을 만족하는 정수 [math(x)], [math(y)]가 존재한다. 따라서 [math(ax\equiv1\pmod m)]이다.
역으로 [math(ax\equiv1\pmod m)]이면 [math(ax-km=1)]을 만족하는 정수 [math(k)]가 존재하므로 베주 항등식에 의해 [math(\gcd(a,\,m)=1)]이다.

3.2. 유일성

이제 유일성을 보이자. [math(c)], [math(d)]가 법 [math(m)]에 대한 [math(a)]의 모듈러 역원이라고 하자. 모듈러 역원의 정의에 의해 [math(ac\equiv ad\equiv1\pmod m)]이므로 [math(ac-ad = a(c-d)\equiv 0\pmod m)]임을 알 수 있다. 합동식의 정의에 의해 [math(m\mid a(c-d))]이고, [math(\gcd(a,\,m)=1)]이므로 [math(m\mid (c-d))]를 얻는다. 따라서 [math(c)]와 [math(d)]를 [math(m)]으로 나눈 나머지는 서로 같다. 즉, [math(c\equiv d\pmod m)]이므로 법 [math(m)]에 대한 [math(a)]의 모듈러 역원은 법 [math(m)]에 대한 완전잉여계에 유일하다. 이것을 모듈러 역원의 유일성이라고 한다.

[1] 표수(characteristic)라고도 한다. [2] '[math(ax)]를 [math(m)]으로 나눈 나머지가 1'이라는 뜻이며, '[math(ax-1)]이 [math(m)]으로 나누어 떨어짐'을 의미하는 [math(m\mid(ax-1))]과 동치이다. [3] 단, 모듈러 역원 자체도 정수여야하므로 [math(k)] 역시 법이 [math(a)]인 특정 정수들로 제한된다.