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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
抛 物 線 / parabola기하학에서 나오는 도형의 일종으로, 평면상의 어떤 직선과의 거리와 정점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합으로 정의한다.
위에서 나온 "어떤 직선"은 준선( 準 線)이라 하며, "정점"은 초점( 焦 點)이라 부른다.
2. 포물선의 방정식
아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다.- 포물선 [math(\boldsymbol{y^2=4px})]
-
그래프
- 조건: [math(\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}})]
- 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( p,\,0) )]
- 준선의 방정식: [math( x=-p )]
- 포물선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle yy_{1}=2p(x+x_{1}) )]
- 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle y=mx+\frac{p}{m})]
- 포물선 [math(\boldsymbol{x^2=4py})]
-
그래프
- 조건: [math(\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}})]
- 초점의 좌표: [math(\mathrm{F}( 0,\,p) )]
- 준선의 방정식: [math( y=-p )]
- 포물선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식: [math(\displaystyle xx_{1}=2p(y+y_{1}) )]
- 특정한 기울기 [math(m)]의 접선의 방정식: [math(\displaystyle y=mx-m^{2}p )]
2.1. 유도
[1] 준선이 [math( \boldsymbol{x=-p} )]이고 초점이 [math( \mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)} )]포물선의 정의에 따라 [math(\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}})]를 만족시켜야 한다. 이때, [math(\mathrm{H}(-p,\,y))], [math(\mathrm{P}(x,\,y))]임을 이용하면,
[math(\displaystyle \sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}=|x+p| )]
양변을 제곱하면,
[math(\displaystyle (x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2} )]
위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle y^{2}=4px )]
[2] 준선이 [math( \boldsymbol{y=-p} )]이고 초점이 [math( \mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)} )]
포물선의 정의에 따라 [math(\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}})]를 만족시켜야 한다. 이때, [math(\mathrm{H}(x,\,-p))], [math(\mathrm{P}(x,\,y))]임을 이용하면,
[math(\displaystyle \sqrt{x^{2}+(y-p)^{2}}=|y+p| )]
양변을 제곱하면,
[math(\displaystyle x^{2}+(y-p)^{2}=(y+p)^{2} )]
위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle x^{2}=4py )]
그런데 이 형태는 이차함수이므로 결국 이차함수의 그래프는 포물선임이 여기서도 증명된 것이다.
초점이 [math((x_{0},\,y_{0}))]인 포물선은 [math(x)]축으로 [math(x_{0})], [math(y)]축으로 [math(y_{0})]만큼 평행이동하여 그린다. 이때, 접선이나 준선 또한 모두 평행이동됨에 유의하여야 한다. 또한, 준선이 [math(x)]축과 수직이면 방정식의 일반형은
[math(\displaystyle y^{2}+Ay+Bx+C=0 )]
꼴이며, [math(y)]축과 수직이면
[math(\displaystyle x^{2}+Ax+By+C=0 )]
꼴이다. 이때, [math(A \sim C)]는 상수이다.
3. 포물선과 직선
3.1. 포물선의 초점을 지나는 직선
위 그림과 같이 포물선 [math(y^2=4px)] 위의 두 점 [math(\rm R)], [math(\rm S)]와 초점이 한 직선 위에 있다고 하자. 또, [math(\rm R)], [math(\rm S)]에서 해당 포물선의 준선 [math(l)]에 내린 수선의 발을 각각 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]라 하자. [math(\overline{\rm RF} \equiv a)], [math(\overline{\rm FS} \equiv b)]라 하고, [math({\rm F}(p,\,0))]이라 하면
[math(\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} )]
가 성립한다. 다만 위 그림에서는 [math(b>a)]인 경우만 나타내었지만 위 식은 [math(b<a)]일 때도 성립한다.
증명은 사다리꼴 [math(\rm PRSQ)]를 사용하여 한다. 꼭짓점 [math(\rm R)]에서 [math(\overline{\rm QS})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하고, 이 수선이 [math(x)]축과 만나는 점을 [math(\rm G)]라 하자. 이때, 두 직각삼각형 [math(\rm RGF)], [math(\rm RHS)]는 닮음비가 [math(\overline{\rm RF}:\overline{\rm RS})]인 닮은 삼각형이고, 포물선의 성질에 의하여 [math(\overline{\rm FS}=\overline{\rm QS}=b)]이므로 [math(\overline{\rm HS}=b-a)]이다. 따라서 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm GF}}{b-a}=\frac{a}{a+b} \quad \to \quad \overline{\rm GF}=\frac{a(b-a)}{a+b} \end{aligned} )]
이에 [math(\overline{\rm TF}=\overline{\rm TG}+\overline{\rm GF})]임을 이용하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned}\overline{\rm TF} &=a+\frac{a(b-a)}{a+b} \\&=\frac{2ab}{a+b} \end{aligned} )]
한편, 포물선의 정의에 따라 [math(\overline{\rm TO}=\overline{\rm OF})]이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm OF}&=\frac{\overline{\rm TF} }{2}\\&=\frac{ab}{a+b} \\&=\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)^{-1} \end{aligned} )]
여기서 [math(\rm T)]는 준선과 [math(x)]축의 교점이다. 그런데 [math(\overline{\rm OF}=p)]이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} )]
3.2. 위치 관계
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- [math(\boldsymbol{D>0})]: 포물선과 직선은 두 점에서 만난다.
- [math(\boldsymbol{D=0})]: 포물선과 직선은 접한다(즉, 포물선과 직선은 한 점에서 만난다).
- [math(\boldsymbol{D<0})]: 포물선과 직선은 만나지 않는다.
3.3. 포물선의 접선
3.3.1. 포물선 위의 점에서의 접선
포물선 위의 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]에서의 접선의 방정식은 음함수의 미분법으로 구할 수 있다.[1] 준선이 [math( \boldsymbol{x=-p} )]이고 초점이 [math( \mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)} )]
먼저 접선의 기울기는 다음과 같다.
[math(\displaystyle 2y \frac{dy}{dx}=4p \,\to\, \frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y} )]
따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 식을 정리하여 구할 수 있다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle y-y_{1}&=\frac{2p}{y_{1}}(x-x_{1})\\\displaystyle yy_{1}-2p(x+x_{1})&=y_{1}^{2}-4px_{1}\\&=0\\ \\ \therefore\displaystyle yy_{1}&=2p(x+x_{1})\end{aligned})]
[2] 준선이 [math( \boldsymbol{y=-p} )]이고 초점이 [math( \mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)} )]
먼저 접선의 기울기는 다음과 같다.
[math(\displaystyle 2x=4p \frac{dy}{dx} \,\to\, \frac{dy}{dx}=\frac{x}{2p} )]
따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 식을 정리하여 구할 수 있다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle y-y_{1}&=\frac{x_{1}}{2p}(x-x_{1})\\2p(y+y_{1})&=x_{1}x-x_{1}^{2}+4py_{1}\\&=0\\\\\therefore\displaystyle xx_{1}&=2p(y+y_{1})\end{aligned})]
3.3.2. 특정한 기울기의 접선
우선 구하는 접선의 방정식을 [math(y=mx+n)]이라 하고 포물선의 방정식에 대입하여, [math(x)]에 관한 이차방정식을 만들고 이 이차방정식이 중근을 가질 때 포물선과 직선은 접한다는 것을 이용하면 된다. 즉, 해당 이차방정식의 판별식이 0이어야 한다.[1] 준선이 [math( \boldsymbol{x=-p} )]이고 초점이 [math( \mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)} )]
[math(\begin{aligned}n=\dfrac{p}m \,\to\, y=mx+\dfrac{p}m\end{aligned})]
[2] 준선이 [math( \boldsymbol{y=-p} )]이고 초점이 [math( \mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)} )]
[math(\begin{aligned}n=-m^2p \,\to\, y=mx-m^2p\end{aligned})]
3.4. 포물선과 직선의 성질
3.4.1. 준선 위의 한 점에서 그은 접선
위 그림과 같이 준선 [math(l)] 위의 한 점 [math({\rm P}(-p,\,k))](단, [math(k)]는 상수)에서 포물선 [math(y^2=4px)]에 그은 두 접선을 고려해보자. 포물선의 접선 기울기를 [math(m)]이라 하면 접선의 방정식은
[math(y=mx+\dfrac{p}m)]
이고, 이 직선이 [math({\rm P}(-p,\,k))]를 지나므로
[math(k=-mp+\dfrac{p}m)]
이다. 이때, 위 방정식을 [math(m)]에 대하여 정리하면
[math(pm^2-km-p=0)]
이고, 이 방정식의 두 근이 결국 각 접선의 기울기가 된다. 한편, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근을 [math(m_1)], [math(m_2)]라 하면,
[math(m_1m_2=\dfrac{-p}p=-1)]
각 접선의 기울기의 곱이 [math(-1)]이므로 포물선의 준선 위의 한 점에서 그은 포물선의 두 접선은 직교한다.
또한, 접선의 접점 [math(\rm A)], [math(\rm B)]와 포물선의 초점 [math(\rm F)]는 한 직선 위에 있다.
접점의 좌표는 포물선의 방정식과 접선의 방정식을 아래와 같이 연립하면 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \left( mx+\frac{p}{m} \right)^{2}=4px )]
따라서 두 접점은
[math(\displaystyle {\rm A}\left( \frac{p}{m_{1}^{2}}, \, \frac{2p}{m_{1}} \right), \qquad {\rm B}\left( \frac{p}{m_{2}^{2}}, \, \frac{2p}{m_{2}} \right))]
따라서 [math(\overline{\rm AB})]의 방정식은
[math(\displaystyle y-\frac{2p}{m_{1}}=\frac{\dfrac{2p}{m_{2}}-\dfrac{2p}{m_{1}} }{\dfrac{p}{m_{2}^{2}}-\dfrac{p}{m_{1}^{2}} }\left( x-\frac{p}{m_{1}^{2}} \right) )]
이고, 이 방정식의 [math(x)]절편을 [math(X)]라 하면 [math(m_1m_2=-1)]이므로
[math(\displaystyle X=\frac{p(m_{1}^{2}+m_{1}m_{2}+1)}{m_{1}^{2}}=p)]
가 되어 초점 [math({\rm F}(p, \,0))]을 지난다.
3.4.2. 포물선의 접선에 생기는 마름모
위 그림과 같이 포물선 [math(y^2=4px)]와 초점 [math(\rm F)]와 포물선 위의 임의의 점 [math(\rm R)]를 지나는 직선을 [math(\rm FR)]라 하고, 점 [math(\rm R)]에서 준선 [math(l)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm P)]라 하자. 또한, 접선과 [math(x)]축의 교점을 [math(\rm Q)]라 하자. 이때, 결정되는 사각형 [math(\rm PRFQ)]의 종류를 결정해보자.
[math({\rm R}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm F}(p,\,0))]이라 하면, [math(\overline{\rm PT}=p)]이고 포물선의 정의에 따라 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm PR}=\overline{\rm RF}=x_{1}+p )]
한편, [math({\rm R}(x_{1},\,y_{1}))]을 지나는 접선의 방정식은 [math(yy_{1}=2p(x+x_{1}))]이므로 [math(x)]절편인 [math({\rm Q}(-x_{1},\,0))]이고, 이에 따라 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \overline{\rm PR}=\overline{\rm FQ}=x_{1}+p )]
그런데 [math(\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ} )]이므로 사각형 [math(\rm PRFQ)]는 평행사변형이며, [math(\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF})]이므로 마름모이기도 하다.
따라서 [math(\rm PRFQ)]의 대각선 [math(\overline{\rm PF})], [math(\overline{\rm RQ})]는 마름모의 성질에 따라 직교한다. 또한 두 대각선의 교점 [math(\rm S)]는 [math({\rm P}(-p,\,y_{1}))], [math({\rm R}(x_{1},\,y_{1}))], [math({\rm F}(p,\,0))], [math({\rm Q}(-x_{1},\,0))]을 고려해보면, [math(y)]축 위에 있다.
이상에서 삼각형 [math(\rm PRF)]는 [math(\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF})]인 이등변삼각형이고, 마름모의 대각선은 다른 하나를 수직이등분하고, 이등변 삼각형의 밑변에 대한 수직이등분선은 밑변의 양 끝 각이 아닌 한 각을 이등분하므로 [math(\angle {\rm PRS}=\angle {\rm FRS})]이다. 또한, [math(\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ} )]에서 엇각으로 [math(\angle {\rm PRS}=\angle {\rm RQF})]가 된다.
3.4.3. 포물선의 광학적 성질
위 그림과 같이 위 문단과 거의 같은 상황에서 [math(\overline{\rm RF})]의 연장선과 그 위에 있는 점 [math(\rm M)], [math(\overline{\rm PR})]의 연장선과 그 위에 있는 점 [math(\rm N)], 접선 [math(\rm QR)] 위의 점 [math(\rm U)]를 고려하자.
사각형 [math(\rm PRFQ)]가 마름모인 것은 위 문단에서 증명했고, [math(\angle {\rm PRQ}=\angle {\rm FRQ})]인 것도 증명했다. 따라서 맞꼭지각으로 [math(\angle {\rm MRU}=\angle {\rm URN})]임도 자동적으로 나오게 된다.
이것의 성질을 광학에 빗대어보자. 만약 [math(\rm N \to \rm R)]로 광선이 들어왔다면, [math(\angle {\rm NRU}=\angle {\rm FRQ})]이므로 입사각과 반사각[1]은 같게 되어 반사 법칙에 의해 광선은 [math(\rm R \to \rm F)] 즉, 초점으로 향하게 된다. 또, 광선이 [math(\rm M \to \rm R)]로 들어왔다면, [math(\angle {\rm MRU}=\angle {\rm PRQ})]이므로 입사각과 반사각은 같아져 [math(\rm R \to \rm P)]로 향하게 된다. 따라서 이 두 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.
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안테나(일명 파라볼라 안테나) 등이 위 성질을 이용하는 물건이다.
4. 기타
- 물리학에서 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면 포물선 운동을 하게 된다.
- 또한, 지표면 근처의 균일한 중력장 등에서 물체를 비스듬히 던지면 포물선 운동을 하게 된다. 이는 역제곱법칙을 만족하는 보존적 벡터장 하에서의 한 궤도인 타원 운동의 근사적인 기술이다.
- 얼핏 보면 비슷해 보이지만 현수선과는 다르다.[비교]
- 여성의 긴 생머리를 위로 볼록한 포물선에 비유하기도 한다.
5. 어원
- 한자어
- 抛物線의 抛는 던지다, 物은 물체, 線은 곡선을 의미한다. 중국의 이선란(李善蘭)과 선교사 알렉산더 와일리(Alexander Wylie)가 쓴 책 「대미적습급(代微積拾級)」 (1859년) 에서 유래하였다. # #
- 영문