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정수론 Number Theory |
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1. 개요
親 和 數 / amicable numbers우애수( 友 愛 數), 친구수( 親 舊 數)라고 부르기도 한다.
두 자연수 [math(m, n)]이 있을 때, [math(m)]의 진약수들의 합이 [math(n)]이 되고, [math(n)]의 진약수들의 합이 [math(m)]이 되면 [math(m, n)]을 친화수라고 한다. 약수 함수(divisor function)를 이용해 나타내면 다음을 만족하는 자연수 쌍 [math(\left(m, n\right))]을 말한다.
[math(\sigma\left(m\right) = \sigma\left(n\right)=m + n)]
주기가 2 이상이면 모두 친화수다. 따라서 주기가 1인 건 친화수가 아니다.
* 유도식
[math(k)]라는 수가 있을 때 진약수의 합 공식은 [math(\sigma\left(k\right) -k)] 이므로
[math(\sigma\left(m\right) -m = n)]
양변에 [math(m)] 을 더하고
[math(\sigma\left(n\right) -n = m)]
양변에 [math(n)] 을 더하면 위 식이 유도 됨.
* 유도식
[math(k)]라는 수가 있을 때 진약수의 합 공식은 [math(\sigma\left(k\right) -k)] 이므로
[math(\sigma\left(m\right) -m = n)]
양변에 [math(m)] 을 더하고
[math(\sigma\left(n\right) -n = m)]
양변에 [math(n)] 을 더하면 위 식이 유도 됨.
2. 성질
예를 들어 220의 진약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110으로 모두 합하면 284가 된다. 그리고 284의 진약수는 1, 2, 4, 71, 142으로 이를 모두 더하면 220이 된다. 약수의 관점에서 생각하면 220의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220이므로 이를 모두 합치면 504(=284+220) 이고, 284의 약수는 1, 2, 4, 71, 142, 284 이므로 이를 모두 더하면 504(=284+220)으로 같게 된다.따라서 ( 220, 284)를 친화수라고 부른다.
두 번째로 발견된 친화수는 조금 큰 (17296, 18416) 인데 페르마가 발견하였다. 그 이후로 수학자들이 이를 찾기 시작하여 여러 친화수가 발견되었다. 그런데, 정작 두번째로 작은 친화수인 (1184,1210)은 페르마로부터 200년 이상 경과한 1866년에야 파가니니에 의해 발견되었다.
이후 컴퓨터의 도움으로 수많은 친화수들이 발견되었다. 2017년 기준 발견된 친화수는 10억개가 넘는다.
친화수는 무한히 많을 것으로 예상되지만, 증명되거나 반증되지는 않았다.
친화수를 확장시켜서 나온 개념이 사교수이다.
친화수 한 쌍 중 더 큰 수는 부족수, 더 작은 수는 과잉수이다. 이를 이용하면 220과 284는 친화수이고, 220이 더 작으므로 220은 과잉수이고, 284는 부족수라는 것을 쉽게 알 수 있다.
3. 친화수 목록
( 220, 284), ( 1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368) 등등(220, 284) 이후로 오랫동안 새로운 친화수가 발견되지 않다가 피에르 드 페르마가 1636년에 (17296, 18416)을 발견했으며, 르네 데카르트는 세 번째로 (9363584, 9437056)을 발견했다. 레온하르트 오일러는 무려 62쌍의 친화수를 발견했는데, 1886년에 이탈리아의 16세 소년 니콜로 파가니니가 유명한 수학자들이 발견한 친화수보다 훨씬 간단한 (1184, 1210)을 발견했다.[1]
친화수의 일부 목록은 http://djm.cc/amicable.txt 참조
4. 여담
- 오가와 요코의 소설 「 박사가 사랑한 수식」에 ' 우애수'라는 이름으로 친화수가 등장한다. 주인공인 가사도우미의 생일이 2월 20일(220)이고, 박사의 시계에 쓰여 있는 숫자가 284이다. 박사가 얼마나 숫자로 소통을 깊게 하는지 알 수 있는 부분.
[1]
당시 수학자들이 놓쳤던 수로, 발견 당시 수학계에서 큰 화제가 되었다.