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초등함수 Elementary Functions |
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<colbgcolor=#567843> 대수함수 | 다항함수 ( 상수 · 1차 · 2차 · 3차 · 4차 · 추론 · 공식 ( 길이 · 넓이 ) · 소수생성) · 유리함수 · 무리함수 |
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1. 개요
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| 왼쪽부터 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수[1] |
단항식으로 구성되어 있고 그 식의 계수가 1인 다항함수, 즉 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대하여 [math(y=x^n)]의 꼴이 되는 함수는 멱함수(冪函數)의 일종이다.
2. 특징
2.1. 연산
다항함수는 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈, 합성에 대해 닫혀있다. 그러나 나눗셈의 경우, 다항함수와 다항함수의 몫이 다항함수일 수도 있고, 다항함수가 아닌 유리함수일 수도 있다.모든 다항함수는 지수함수와 로그함수의 합성으로 변형할 수 있다. 주로 복소해석학에서 많이 볼 수 있다.
| [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k z^k \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{n} e^{k \log z + \log a_k})][2] |
2.2. 대칭성
모든 일차함수와 삼차함수는 점대칭이고, 모든 상수함수와 이차함수는 좌우대칭이다. 일차함수의 경우 모든 점에 대해 점대칭이고, 삼차함수는 유일하게 가지는 변곡점을 기준으로 점대칭이다. 상수함수는 모든 점에 대해 좌우대칭이고, 이차함수는 최대·최소를 갖는 꼭짓점을 지나는 대칭축을 기준으로 좌우대칭이다. 그러나 사차 이상의 다항함수는 항상 대칭성을 갖는 것은 아니다.특별히 단항식으로 정의된 다항함수인 멱함수의 경우에는 차수에 따라 대칭성이 결정된다. 멱함수의 정의에 대해서는 멱함수 문서 참고. 1, 3, 5... 등 홀수 차수의 멱함수는 원점대칭이고, 2, 4, 6... 등 짝수 차수의 멱함수는 y축 대칭이다. 다항함수의 이러한 특징 때문에 원점대칭인 함수는 홀함수, y축 대칭인 함수는 짝함수라고 부른다. 단, 홀함수와 짝함수는 다항함수만을 말하는 것은 아니다. 대표적인 예로 [math(\sin x)]는 다항함수가 아니지만 원점대칭인 홀함수이며, [math(\cos x)]도 다항함수가 아니지만 y축 대칭인 짝함수이다.
2.3. 연속성과 미분가능성
다항함수는 모든 점에서 연속인 연속함수이고, 모든 점에서 미분가능한 함수이다. 다항함수의 도함수도 다항함수이기 때문에, 무한히 미분해도 연속이며 미분가능하다. 즉, 매끄럽다.그래서 미적분을 배울 때는 다항함수부터 배운다. 다항함수는 모든 점에서 미분가능하기 때문에 고려할 점이 적어[3][4] 미적분이 사칙연산마냥 단순계산에 불과하기 때문이다. 실제로 2015 개정 교육과정에서 고등학생이 미적분을 처음 배우는 교과는 수학Ⅱ(2015)인데, 이 과목에서 미분·적분은 다항함수와 다항함수로 구성된 구간별로 정의된 함수만을 다룬다.
2.4. 차수
다항함수의 각 항의 차수 중에서 가장 높은 것을 그 다항함수의 차수라고 한다. 예를 들어 다항함수 [math(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1)]의 경우, 각 단항식의 차수는 [math(4)], [math(3)], [math(2)], [math(1)], [math(0)]이며 이중에서 가장 큰 값은 [math(4)]이므로 [math(f(x))]의 차수는 [math(4)]이다. 자연수 [math(n)]에 대하여 차수가 [math(n)]인 다항함수를 [math(n)]차함수라고 하며, 차수가 없는 함수는 상수함수가 된다. 이에 따르면 두 다항함수 [math(f(x))]와 [math(g(x))]에 대하여 차수를 다음과 같이 판별할 수 있다.| 수식 | 차수 |
| [math(f(x) + g(x))][5] | [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 각 차수 중 큰 것 보다 작거나 같다.[6] |
| [math(\deg(f(x) + g(x)) \leq \max\{\deg(f(x)),\deg(g(x))\})] | |
| [math(f(x)g(x))] | [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수의 합 |
| [math(\deg(f(x))+\deg(g(x)))] | |
| [math(\dfrac{f(x)}{g(x)})] [7] | [8] [math( f(x) )]의 차수에서 [math( g(x) )]의 차수를 뺀 것 |
| [math( \deg(f(x)) - \deg(g(x)) )] | |
| [math(f(g(x)))] | [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 차수의 곱 |
| [math(\deg(f(x))\times\deg(g(x)))] | |
| [math(f'(x))] | [math(0)]과 [math(f(x))]의 차수에서 1을 뺀 값 중 작지 않은 것[9] |
| [math(\max\{0,\,\deg(f(x))-1\})] | |
| [math(\displaystyle \int f(x)\,{\rm d}x)] | [math(f(x))]의 차수에 [math(1)]을 더한 값 |
| [math(\deg(f(x))+1)] |
다항함수 [math(f(x))]의 차수는
| [math(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^n})] |
좀 더 일반적으로는 [math(x)]와 [math(f(x))]에 각각 자연로그를 취한 뒤 그 비율에 대한 극한
| [math(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln|f(x)|}{\ln x})] |
| [math(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{xf'(x)}{f(x)})] |
2.4.1. 교점
[math(0\leq m\leq n)], [math(n\geq2)]인 두 정수 [math(m)], [math(n)]에 대하여, 임의의 [math(m)]차함수와 [math(n)]차함수의 그래프의 교점이 [math((n-1))]개일 경우, 두 그래프는 [math((n-2))]개의 교점에서 교차하고 나머지 한 개의 교점에서 접한다. 예를 들어 이차함수의 그래프와 직선의 교점이 1개이면 두 그래프는 해당 교점에서 접하며, 삼차함수의 그래프와 직선의 교점이 2개이면 두 그래프는 한 점에서 교차하고 한 점에서 접하는 식이다. 삼차함수 참고.2.5. 최댓값, 최솟값
홀수 차수 다항함수는 최댓값과 최솟값 모두 갖지 않으며, 짝수 차수 다항함수는 최고차항의 계수가 양수이면 최솟값을, 음수이면 최댓값을 반드시 갖는다. 이때 최솟값을 가지면 최댓값은 없으며, 최댓값을 가지면 최솟값이 없다. 즉, 최댓값과 최솟값을 모두 가지는 경우는 없다.그래프의 개형으로 보면 홀수 차수는 항상 그래프의 양 끝이 각각 위와 아래로 한없이 뻗어나가는 개형이며, 짝수 차수는 항상 양 끝이 같이 위 또는 아래로 한없이 뻗어나가는 개형이다. 이때 최고차항의 계수가 양수이면 위, 음수이면 아래로 뻗어나가게 된다. 따라서 홀수 차수의 경우 최댓값도 최솟값도 없으며, 짝수 차수의 경우 최고차항의 계수가 양수이면 양 끝이 모두 위를 향하므로 최댓값이 없고, 어딘가 맨 아래에 위치하는 점이 존재하므로 그것이 최솟값이 되며, 최고차항의 계수가 음수이면 마찬가지의 논리로 최솟값이 없고 최댓값이 생긴다.
2.6. 극값
홀수 차수 다항함수는 일차함수를 제외하면 각 차수에 대하여 극값을 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있으며, 짝수 차수 다항함수는 각 차수에 대하여 항상 극값을 갖는다. 이렇게 되는 이유를 알아보자.먼저 홀수 차수 다항함수는 일차함수와 그 외로 나눌 수 있다. 일차함수는 도함수가 상수함수여서 그래프가 수평선이 아닌 직선인 관계로, 예외적으로 무조건 극값이 존재하지 않는다. 그러나 삼차함수, 오차함수 등은 도함수가 상수함수가 아닌 짝수 차수 다항함수인데, 이는 앞서 밝혔듯이 최댓값이나 최솟값이 존재하므로 그 그래프는 [math(x)]축과 교차할 수도 있고 교차하지 않을 수도 있다. 즉, 최솟값이 0 이상이거나, 최댓값이 0 이하이면 교차하지 않게 된다. 따라서 원시함수에서는 극값이 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있는 것이다.
한편 짝수 차수 다항함수는 상수함수와 그 외로 나눌 수 있다. 상수함수는 그래프가 수평선이므로, 그래프 위의 모든 점이 극점이며 극값은 해당 함숫값 하나뿐이다. 즉 극값이 존재한다. 한편 이차함수, 사차함수 등은 도함수가 홀수 차수 다항함수인데, 이는 앞서 밝혔듯이 최댓값과 최솟값이 모두 존재하지 않아 그래프의 양 끝이 각각 위와 아래로 한없이 뻗어나가므로 어디에서인가 적어도 한 번 [math(x)]축과 교차할 수밖에 없다. 즉 도함수의 부호가 바뀌는 순간이 적어도 한 번 나타나며, 그 점에서 원시함수의 극값이 발생하는 것이다.
상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수 문서에서 다양한 그래프의 개형을 참고하자. 상수함수, 이차함수, 사차함수는 그래프의 개형은 다르더라도 모두 적어도 하나의 극값을 가짐을 확인할 수 있다. 또한 삼차함수는 개형에 따라서 극값을 갖기도 하고 갖지 않기도 함을 확인할 수 있다.
고등학교 수학에서는 사차 이하의 다항함수, 즉 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수만 명시적으로 다룬다. 이 가운데 극값을 갖기도 하고 갖지 않기도 하는 것은 기묘하게도 삼차함수뿐이다. 상수함수, 이차함수, 사차함수는 짝수 차수이므로 극값을 무조건 갖고, 일차함수는 홀수 차수이기는 하지만 예외적으로 극값을 무조건 갖지 않기 때문이다. 이 때문에 다항함수 중에서는 유독 삼차함수에 대해서만 '극값을 가질/갖지 않을 조건'을 문제로 내곤 하는데, 이는 물론 삼차함수의 도함수인 이차함수의 그래프가 [math(x)]축과 몇 번 만나는지와[10] 관련이 있다. 자세한 것은 삼차함수 문서를 참고하자.
또한 사차함수까지는 극댓값이 극솟값보다 작거나 같은 경우가 존재하지 않지만, 오차 이상의 함수부터는 가능하다.
3. 추론 및 공식
중·고등학교 수학과 교육과정에서 직접적으로 다루는 다항함수의 범위는 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 사차함수[11]인데, 이와 관련하여 교육과정에서 직접적으로 다루지는 않는 유용한 팁들을 설명하는 문서들이다.[12] 다항함수/추론에서는 알려져 있지 않은 다항함수의 특성을 추론하게 해주는 단서를, 다항함수/공식에서는 이미 알려진 단서를 편리하게 활용할 수 있게 해주는 공식을 소개한다.
이러한 팁들을 사용하면 한국교육과정평가원이 실시하는 시험( 수능, 임용시험[13], 수능 모의평가 등)에서 나오는 고난도 문항[14]에서 다항함수의 차수, 그래프의 개형, 위치, 방정식 등을 추론하기 편해진다. 현 교육과정( 2015 개정 교육과정)에서는 수학Ⅱ의 ' 미분적분학' 파트[15]와 연계도가 짙으며, 2022 수능부터 공통 출제 범위이다.[16]
이 문단은
4. 종류
4.1. 상수함수
상수 하나만 있어도 다항식이 될 수 있으므로, 상수함수도 다항함수이다.
4.2. 일차함수
4.2.1. 다중선형형식
일차함수의 일반화이다. 다중선형형식과 행렬과 벡터는 선형대수학의 기본정리에 의해 동일한 대상으로 볼 수 있다.
4.3. 이차함수
4.3.1. 이차형식
이차함수의 일반화이다.
4.4. 삼차함수
4.4.1. 삼차형식
삼차함수의 일반화이다.
4.5. 사차함수
4.6. 오차(五次)함수
[math(f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f \quad (a \neq 0))]최고차항의 차수가 5인 함수이다. '오차함수'라고 불리는 함수는 다항식으로 정의되는 꼴( 五 次 函 數, quintic function)과 다항식으로 정의되지 아니한 꼴( 誤 差 函 數, error function) 두 개가 있는데 이 문단에서 설명하고 있는 것은 전자이다.
그래프의 개형은 삼차함수에서 굴곡이 한 겹 더 추가된 형태, 즉 올라갔다 내려갔다 올라갔다 내려갔다 올라가는 모양새로 이해하면 편하다. 그러나 이는 수많은 오차함수 그래프의 개형 중 일부의 경우일 뿐이며, 사차함수 문서에도 서술되어 있듯이 6종류의 삼차함수 그래프의 개형으로부터 사차함수 그래프의 개형이 20개나 도출되는데, 오차함수는 그런 사차함수를 또 다시 도함수로 하기 때문에 그야말로 극악[17]이다. 오차 이상이 되면 지나치게 복잡해지는 관계로 고등학교에서는 사차 이하의 다항함수만을 다룬다.
오차 이상의 다항함수부터는 역함수를 초등함수로 표현할 수 없고, 브링 근호를 사용해야 한다. 또한 오차함수부터는 극댓값이 극솟값보다 작거나 같을 수 있다.
4.7. n차 다항함수
이외에도 육차함수(sextic function), 칠차함수(septic function) 등을 생각할 수 있다.위의 삼차함수부터는 '고차 함수'라고 불린다.[18]
4.8. 특수한 다항함수
일부 특수함수는 특정 조건[19]에서 다항함수의 형태를 띠기도 한다.5. 교육과정에서
5.1. 중등교육기관
- 7차 교육과정
- 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
- 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프, 이차함수의 최대·최소
- 수학 10-나 - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
- 수학Ⅱ - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
- 미분과 적분 - 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점
- 2007 개정 교육과정
- 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
- 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프, 이차함수의 최대·최소
- 수학 - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
- 미적분과 통계 기본[20] - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
- 수학Ⅱ(2007)[21] - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성, 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점
- 2009 개정 교육과정
- 중학교 2학년 - 일차함수의 그래프, 일차함수의 활용
- 중학교 3학년 - 이차함수의 그래프, 이차함수의 최대·최소
- 수학Ⅰ - 이차함수의 최대·최소, 이차함수와 직선의 위치 관계, 이차함수와 이차방정식, 이차함수와 이차부등식 (근의 분리 포함)
- 미적분Ⅰ - 도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 증감, 극값, 그래프의 개형 작성
- 미적분Ⅱ - 이계도함수를 활용한 삼차함수와 사차함수의 극값과 오목·볼록, 변곡점
- 2015 개정 교육과정
5.2. 고등교육기관
- 선형대수학 - 사실상 일차함수만 죽어라 파는 과목이라고 봐도 무방하지만, 이공계에서 이 과목의 지식을 갖추지 못하면 말 그대로 아무것도 못할 정도로 중요하다.
- 대수적 정수론 - 다항함수를 이용해 소수 등의 성질을 분석한다.[22] 또한 삼차형식 가운데 하나인 타원곡선에 대해서 지겹도록 공부하게 된다.
- 대수기하학 - 다항함수를 대수 다양체라는 다른 이름으로 깊게 다룬다.
- 미분기하학 - 다항함수(특히 이차형식)로 기술되는 도형 및 공간을 다룬다.
- 미분방정식 - 과목명답게 다항함수 꼴의 미분방정식을 다룬다.
-
복소해석학 - 다항함수에
복소수를 넣어서 그 성질을 연구한다.
[1]
모두 f(x)=x^n의 함수식으로 나타낸 값이다.
[2]
이 식에서의 [math(\log)]는
자연로그다.
[3]
정칙성의 조건 중 하나인
테일러 급수가 다항함수의 합으로써 함수를 근사하는 방법이므로, 다항함수는 자기 자신이 테일러 급수임은 자명하다.
[4]
이렇게 해석적, 미분가능성, 매끄러움을 모두 만족시키는 함수는 정칙(holomorphic) 또는 참한 함수(well-behaved function)라고 불린다.
[5]
[math( f(x) - g(x) )]꼴 또한 당연히 성립한다. [math( f(x) - g(x) )]를 [math( f(x) + (-g(x)) )]로 보면 [math( -g(x) )]가 다항식이기 때문이다.
[6]
큰 것 보다 작거나 같다는 건 최고차항이 상쇄될 수도 있기 때문이다. 예를 들어 [math( x^2+x+1 )]과 [math( -x^2+x+1 )]이 주어졌을 때, 각 차수는 모두 2이지만 더하면 최고차항이 상쇄되므로 [math( 2x+2 )]이고 차수는 1이다. 또한 이때, 더했을 때 최고차항이 상쇄되지 않고 남아있다는 보장이 있으면 [math( \deg(f(x) + g(x)) = \max(\deg(f(x)),\deg(g(x))) )]이다.
[7]
다항식의 나눗셈은 최소한 여기선 [math( f(x) )]가 [math( g(x) )]의 배수일때만 정의한다. 즉, 어떤 다항식 [math( r(x) )]에 대해 [math( f(x) = g(x)r(x) )]라면 [math( \dfrac{f(x)}{g(x)} = r(x) )]로 정의한다.
[8]
[math( f(x) )]가 [math( g(x) )]의 배수라면 즉, 어떤 다항식 [math( r(x) )]에 대해, [math( f(x) = g(x)r(x))]라면
[9]
상수함수의 경우 미분해도 상수함수이므로 그대로 차수가 [math(0)]이기 때문에 최댓값 조건이 있는 것이다. 곧, 상수함수를 제외하면 다항함수의 도함수는 원시함수보다 차수가 [math(1)] 작다.
[10]
즉, 이차방정식 [math(\textsf{\footnotesize(도함수)}=0)]의 서로 다른 근의 개수와
[11]
5차부터는
브링 근호 같은
특수함수를 이용해야 한다.
[12]
이러한 팁들은 교과서는 물론이고 수능 연계 교재에도 잘 언급되지 않는 내용인데,
EBSi 모의고사 해설 강의에서는 조금이나마 알려주기는 한다. 물론 학원에서는 잘 알려준다
[13]
트렌드는 조금 다르다.
[14]
한국교육과정평가원의 경향을 반영하는 사설 모의고사 또는 학교 시험에서도 출제될 수 있다.
[15]
2단원 미분 단원 중 도함수의 활용 부분이다.
[16]
2017 수능 ~
2021 수능 시기에서는 문과(수학 나형)만의 직접 출제 범위였으며, 이과(수학 가형)은 상위 과정의 미적분이 직접 출제 범위로 지정됨에 따라 간접 출제 범위에 그쳤다. 하지만 2021년에 실시되는 2022 수능부터는 문·이과 공통 범위가 되었으므로 수능을 치를 고등학생이라면 누구든 이 부분을 깊게 파야 한다.
[17]
물론
실해석학에서 각종
병리적 함수를 접하다
다시 보면 선녀 같다고 느껴지긴 하겠지만.
[18]
프로그래밍에서의
고차 함수와는 다른 개념이다. 이쪽은
범함수에 가깝다.
[19]
아래 세 함수 모두 밑첨자에 들어가는 변수가
[math({mathbb N}_0)]의 원소일 때에만 다항함수가 된다. 또한 밑첨자의 값은 그 차수와 동치이다.
[20]
문과용
[21]
이과용
[22]
대표적으로
특정 구간의 수를 넣을 경우 소수를 생성하는 다항함수가 있다.