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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Brahmagupta's formula / Brahmagupta 公 式원에 내접하는 평면 위의 사각형의 네 변의 길이로 사각형의 넓이를 구하는 공식으로, 네 변의 길이를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]라 하면 넓이는 아래와 같다.
| [math(\displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \quad \left(s=\dfrac{a+b+c+d}{2} \right) )] |
인도의 수학자인 브라마굽타(ब्रह्मगुप्त)가 발견했다.
2. 증명
그림과 같이 네 변의 길이가 [math(a, \ b, \ c, \ d)]인 내접사각형 [math(\square \rm ABCD)]에 대해, [math(\angle{\rm BAD}=\theta)]라 하고, 이 사각형의 넓이를 [math(S)]라 하자.
[math(S=\frac{1}{2} ad \sin \theta+ \frac{1}{2} bc \sin (180\degree- \theta)=\frac{1}{2}\sin\theta(ad+bc) (\because \sin (180\degree - x)= \sin x))]
코사인 법칙에 의해, [math(\overline{\rm BC}^2=a^2+d^2-2ad\cos \theta = b^2+c^2-2bc\cos (180\degree-\theta) = b^2+c^2+2bc\cos\theta(\because \cos (180\degree - x)= -\cos x))].
[math(\therefore \cos \theta = \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2ad+2bc})]
[math(\sin \theta = \sqrt{1- \cos^2 \theta}=\sqrt{1-\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{(2ad+2bc)^2}}=\sqrt{\frac{(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)(2ad+2bc-a^2-d^2+b^2+c^2)}{4(ad+bc)^2}}=\sqrt{\frac{\left[ (a+d)^2-(b-c)^2 \right] \left[ -(a-d)^2+(b+c)^2) \right]}{4(ad+bc)^2}}=\sqrt{\frac{(a+b-c+d)(a-b+c+d)(a+b+c-d)(-a+b+c+d)}{4(ad+bc)^2}}=\sqrt{\frac{16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{4(ad+bc)^2}}=2 \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ad+bc)^2}})]
[math(\therefore S=\frac{1}{\cancel{2}} \cancel{2}\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{\cancel{(ad+bc)^2}}} \times \cancel{(ad+bc)}=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)})]
3. 브레치나이더 공식
Formel von Bretschneider / Bretschneider 公 式브라마굽타 공식을 카를 안톤 브레치나이더가 임의의 사각형으로 일반화시킨 것이다.
| [math(\displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \theta} \quad \left(s=\dfrac{a+b+c+d}{2} \right) )] |
브라마굽타 공식은 저기서 [math(\theta = \pi/2\,{\rm rad})]인 경우이다.