1. 사전적 의미
고려대한국어대사전에서는 부채꼴(Fan Shape)을부채처럼 생긴 모양.
으로 정의하고 있다.
#2. 기하학에서의 정의
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평면기하학 Plane Geometry |
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위 그림과 같이 반지름의 길이가 [math(r)]이고, 중심이 [math(\rm O)]인 원을 고려했을 때, 두 반지름과 한 호를 둘러싸는 도형을 부채꼴(circular sector)이라 한다. 위 그림에서 회색 영역에 해당하는 도형이다.[1]
이때, 두 반지름 사이의 각을 [math(\theta)]라 할 때, 그 각을 부채꼴의 중심각이라 하며, 그 범위는 [math(0\degree \le \theta \le 360\degree)]이다.[2] 호도법으로 나타내면 [math(0{\rm\,rad}\le \theta \le 2\pi{\rm\,rad})]이다.
2.1. 둘레
우선 지름이 1인 원의 둘레 [math(pi)]를 아래처럼 정의하자.| [math(\begin{aligned} \pi &\triangleq \int^1_{-1} \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} = 2\int_0^1 \frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^2}} \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} = 2\int_0^\infty \frac{{\rm d}t}{1+t^2} \\ &\approx 3.14159265358979 \cdots \end{aligned})] |
중심각이 [math(\theta)]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 부채꼴의 호의 길이 [math(l)]은
| [math(l=2\pi r\cdot \dfrac\theta{360\degree} = r\cdot\dfrac{\pi\theta}{180\degree})] |
| [math(l = r\theta/{\rm\,rad})] |
둘레 [math(L)]은 호의 길이 [math(l)]에 반지름 [math(r)]을 두 번 더하면 되므로[3]
| [math(\begin{aligned} l+2r &= r\cdot \frac{\pi\theta}{180\degree}+2r \\ &= r{\left(\frac{\pi\theta}{180\degree} + 2\right)}\end{aligned})] |
| [math(l=r(\theta/{\rm rad} + 2))] |
2.2. 넓이
부채꼴의 호의 길이를 [math(l)], 반지름의 길이를 [math(r)], 넓이를 [math(S)]라 하면| [math(360\degree:\pi r^2=\theta:S)] |
| [math(\begin{aligned} S &= \pi r^2\cdot \frac\theta{360\degree} \\ &= \frac12r\cdot {\left(r\cdot\frac{\pi\theta}{180\degree}\right)} \\ &= \frac12rl \end{aligned})] |
| [math(S=\dfrac12r^2\theta/{\rm rad})] |
[1]
하얀색 부분도 부채꼴이 맞긴 하다.
[2]
중심각의 크기가 [math(0\degree)]이면 반지름과 길이가 같은
선분, [math(90\degree)]이면 사분원, [math(180\degree)]이면 반원, [math(360\degree)]이면 원이 된다.
[3]
중심각이 [math(180\degree)] 미만인 경우 부채꼴을
이등변삼각형과
활꼴로 분할할 수 있다.