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1. 정의
벡터 空 間 / vector space[1]체 위에서 정의된 가군.[2] 풀어쓰면, 체[3] [math(F)]에 대해 집합 [math(V)]가 체 [math(F)]위의 벡터 공간이라 함은, [math(V)]가 [math(F)]의 [math(F)]-가군인 것이다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 그리고 이때, [math(F)]를 [math(V)]의 스칼라라고 한다.
-
(가환군) [math(V)] 위에 연산 '[math(+)]'가 정의[4]되어 있으며, [math((V, +))]는
가환군이다. 즉, 다음의 4가지 성질을 만족한다.
임의의 [math(u, v, w \in V)]에 대하여 - 교환법칙 성립: [math(\forall u, v \in V)], [math(u + v = v + u)]
- 결합법칙 성립: [math(\forall u, v, w \in V)], [math((u + v) + w = u + (v + w))]
- 덧셈의 항등원 존재: [math(\forall u \in V)], [math(\exist 0 \in V \,{\sf s.t.}\, u + 0 = u)]
- 덧셈의 역원 존재: [math(\forall u \in V)], [math(\exist (-u) \in V \,{\sf s.t.}\, u + (-u) = 0)]
- (스칼라 곱) 임의의 체 [math(F)]에 대하여 연산 [math(f: F \times V \rightarrow V, f(a,v) := a \cdot v)](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math(a, b \in F)], [math(u, v \in V)]에 대해 다음이 성립한다.
즉, 위 조건들만 만족하면 벡터 공간이 되는 것이다. 따라서 우리가 주로 아는 좌표공간 이외에도, 위상공간에서 좌표 공간으로 가는 연속함수들의 집합[8]이나 다항식들의 집합[9]도 벡터 공간이 된다.
집합으로서의 벡터 공간은 [math(\mathbb V)]로 표기한다.
2. 벡터 공간의 준동형 사상(homomorphism)
벡터 공간의 준동형 사상은, 벡터 공간의 선형성을 보존하는 함수이다. 즉, 선형 변환이 벡터 공간의 준동형 사상이다. 자세한 것은 해당 문서 참고.3. 부분공간(subspace)
벡터 공간 [math(V)]의 부분집합 [math(W\subset V)]가 스칼라 곱과 덧셈, 역원에 대해 다시 닫혀있으면[10] [math(W)]를 [math(V)]의 부분공간(subspace)이라 하고, [math(W<V)], [math(W\leq V)] 등으로 표시한다. 다음을 쉽게 알 수 있다.- 임의의 [math(\alpha\in A)]에 대해, [math(W_{\alpha}<V)]라 하자.[11] [math({\displaystyle \bigcap_{\alpha}}W_{\alpha}<V)]다.
- [math( W_{1}, W_{2}, ... , W_{n}\le V )] 이면, [math(\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V )]이다. [12]
3.1. 부분공간의 생성원 (generator of subspace)
[math(X\subset V)]에 대해, [math(X)]를 포함하는 [math(R)]의 가장 작은(smallest) 부분공간을 [math(X)]가 생성하는 부분공간(subspace generated by [math(X)])이라 하고, [math(\left\langle X\right\rangle)] 로 적는다. [math(X)]는 [math(\left\langle X\right\rangle)]의 생성원(Generator)이라 한다. smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……이러한 부분공간 [math(\left\langle X\right\rangle)]의 존재성과 유일성은 [math(\left\langle X\right\rangle = \bigcap_{X \subset W \leq V} W )]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분공간의 교집합이 다시 부분공간인 것만 보이면 충분한데, 이는 쉽게 보일 수 있다.
구체적으로는 다음과 같음을 알 수 있다.
[math(\left\langle X\right\rangle=\left\{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}:v_{1},\ldots,v_{n}\in X,a_{1},\ldots,a_{n}\in F\right\})][13]
- [math(\left\langle \emptyset\right\rangle=\left\{ 0\right\} )]
3.2. 불변부분공간(invariant subspace)
선형 변환 [math( T : V \rightarrow V )]가 주어져 있을 때, [math( V )]의 부분 공간 [math( W )]가 [math(T)]-불변 부분 공간이라는 것은 [math( W )]의 [math( T )]에 의한 상이 [math( W )]의 부분 공간(즉, [math( T(W) \subseteq W)])이라는 것과 동치이며, 즉 [math( T)]를 [math( T|_W : W \rightarrow W)]로 축소시킬 수 있다는 것이다.3.3. 순환부분공간(cyclic subspace)
선형 변환 [math( T : V \rightarrow V )]가 주어져 있을 때, [math( V )]의 [math(T)]-불변 부분 공간 [math( W )]가 [math(T)]-순환 부분 공간이라는 것은 고정된 [math( w \in W )]가 존재해서 [math( W = \left\{ f(T) (w) | f(t) \in F[t] \right\} )] [14][15]라는 것이다. 즉, [math( w )]의 상수배와 [math( T(w) )]의 상수배, [math( (T \circ T) (w) )]의 상수배, ... 들의 합만으로 [math( W )]의 모든 원소를 나타낼 수 있다는 것이며, 이는 [math( W = \left< w, T(w), T^{2} (w), \cdots \right> )]와 동치이다.4. 벡터 공간의 합
벡터 공간 [math(V)]의 두 부분공간 [math(W_{1}, W_{2}\subset V)]를 생각하자. [math(W_{1}+W_{2})]는 [math(W_{1}+W_{2}:=\left\langle W_{1} \cup W_{2}\right\rangle)]로 정의되며, 구체적으로는 [math(W_{1}+W_{2}=\left\{ w_{1}+w_{2}:w_{i}\in W_{i}, i=1, 2\right\} )]로 계산된다. 유한한 경우에 한해 합을 다루었지만, 무한한 벡터 공간의 합도 다룰 수 있다.물론, [math(W_{1}+W_{2}+...+W_{n})]을 [math(\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V )]로 표현한다.
4.1. 직합(direct sum)
벡터 공간 [math(V)]의 두 부분공간 [math(W_{1}, W_{2}\leq V)]가 [math(W_{1}\cap W_{2}=\left\langle \emptyset\right\rangle=\left\{ 0\right\})]이라 하자. 그러면, 임의의 [math(w_{1}\in W_{1})], [math(w_{2}\in W_{2})]에 대해, [math(w_{1}+w_{2}=0)]이면, [math(w_{1}=w_{2}=0)]이다. 즉, [math(W_{1})], [math(W_{2})]는 독립적이다. 이 점을 강조해주기 위해, [math(W_{1}+W_{2})]를 [math(W_{1}\bigoplus W_{2})], [math({\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{2}}W_{i})] 등과 같이 쓴다. 이를 직합(direct sum)이라 한다. 무한 개의 부분 공간들의 모임[math(\left\{ W_{\alpha}:\alpha\in A\right\} )]에 대해서도 마찬가지의 일을 할 수 있고, 이때 독립성 조건은, 임의의 [math(\beta\in A)]에 대해 [math(W_{\beta}\cap{\displaystyle \sum_{\alpha\neq\beta}}W_{\alpha}=\left\langle \emptyset\right\rangle )]인 것이다.두 벡터 공간 [math(V)], [math(W)]에 대해서도 직합을 정의할 수 있다. [math(V\bigoplus W:=\left\{ \left(v,w\right):v\in V,w\in W\right\} )]라 정의해주고, 스칼라 배와 덧셈을 좌표별로(component wise) 정해준다. 무한 개의 벡터 공간들에 대해서도 비슷하다. 이 경우, [math(V=\left\{ \left(v,0\right):v\in V\right\}<V\bigoplus W)]와 같이 생각하여, [math(V\cap W=\left\langle \emptyset\right\rangle )]라 할 수 있다. 즉, 이 정의도 앞서 설명한 관점에 잘 맞는다.[16] 두 부분공간 [math(W_{1}, W_{2}\leq V)]의 경우로 돌아가 이야기하자면, [math(W_{1}+W_{2}=\left(W_{1}\bigoplus W_{2}\right)/\left(W_{1}\cap W_{2}\right))]이다.[17]
5. 선형 독립(linearly independent), 기저(basis)와 차원(dimension)
선형대수의 핵심 개념 중 하나가 선형 독립(linearly independent)과 기저(basis)의 개념이다. 기저라는 부분집합만 갖고 벡터 공간 전체를 묘사할 수 있기 때문이다. 그리고 기저에 대해 어떻게 묘사하더라도, 그에 맞는 벡터 공간에 대한 묘사를 찾을 수 있다. 이것이 free object의 개념이고, 이는 가군은 갖지 못하는 벡터 공간만의 특징이다.5.1. 선형 독립(linearly independent)
[math(F)] 위의 벡터 공간 [math(V)]와 그것의 부분집합 [math(S\subset V)]가 다음을 만족하면, [math(S)]가 선형 독립(linearly independent)이라 한다. 그렇지 않은 경우, 선형 종속(linearly dependent)이라 한다.임의의 서로 다른 [math(v_{1},\ldots,v_{n}\in S)]와 임의의 [math(a_{1},\ldots,a_{n}\in F)]에 대해, [math({\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}=0)]이면, [math(a_{1}=\ldots=a_{n}=0)]이다.[18]
- [math(\mathbb{R}^{2})]에서, [math(\left\{e_{1}, e_{2}\right\})]는 선형 독립이지만, [math(\left\{e_{1} , e_{2} , e_{1}+e_{2}\right\})]는 선형 독립이 아니다. [math( e_{1}+e_{2} )]는 나머지 둘의 선형결합으로 생성될 수 있기 때문이다
[math(S\subset V)]의 선형 독립성이 중요한 이유는, [math(S)]가 선형 독립이면 벡터 공간[math(V)]의 모든 원소가 [math(S)]의 선형 결합으로 유일하게[19] 표현되기 때문이다. [math(S)]가 선형 종속이면, [math(V)]의 원소에 대한 묘사가 유일하지 않을 수도 있다. 위에서 예로 든 [math(\left\{e_{1}, e_{2}, e_{1}+e_{2}\right\})]의 경우, [math( (3, 2))]가 [math( 3e_{1} + 2e_{2} )]로 표현될 수도 있고, [math( 3(e_{1}+e_{2})-e_{2})]로 표현될 수도 있다.
5.2. 기저(basis)[20]
부분 집합 [math(S\subset T\subset V)]를 생각하자. [math(S)]는 [math(T)]보다 선형 독립이기 쉬운 반면[21], [math(\left\langle S\right\rangle \lneq V)]이기도 쉽다[22]. 한마디로, 집합이 작으면 선형독립이기 쉽고, 집합이 크면 [math(V)] 전체를 표현하기 쉽다.예컨대 위에서 예로 든 [math(\mathbb{R}^{2})]에서, [math( \left\{e_{1}\right\})]는 작아서 선형독립이지만 너무 작아서 [math(\mathbb{R}^{2})] 전체를 표현하지 못하고[23], [math(\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\})]는 커서 [math(\mathbb{R}^{2})] 전체를 표현할 수 있지만 너무 커서 선형독립이지 않다.
이러한 관점에서, 집합의 크기에 따라 선형독립(즉, 유일한 표현)과 [math(V)]전체에 대한 표현의 여부가 달라진다고 볼 수 있다. 그렇다면, 두 조건(선형독립과 [math(V)] 전체에 대한 묘사)을 모두 만족하는 "적절한" 크기의 집합을 찾을 수 있을까? 만약 이러한 집합이 존재한다면, 그 적절한 크기의 집합을 기저(basis)라 부른다. 형식적인 정의는 다음과 같다.
부분 집합 [math(\mathcal{B}\subset V)]가 [math(V)]의 기저(basis)라 함은, 다음을 만족하는 것이다.
* (선형 독립성, linearly independent) [math(\mathcal{B})]는 선형 독립이다.
* (생성성, span) [math(\left\langle \mathcal{B}\right\rangle =V)]
* (생성성, span) [math(\left\langle \mathcal{B}\right\rangle =V)]
선택공리하에 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다. 좀 더 의미를 찾자면 다음과 같이 적을 수 있을 것이다.
* [math(V={\displaystyle \bigoplus_{v\in \mathcal{B}}}\left\langle v\right\rangle )]
5.2.1. 기저의 존재성 증명
선택공리와 동치인 초른의 보조정리(Zorn's lemma)[24]를 이용한다. [math(V)]의 선형독립인 부분집합 [math(L)]이 있다고 할 때, [math(L)]을 포함하면서 선형독립인 [math(V)]의 부분집합들을 모두 모은 집합을 [math(P)]라고 하자. 그리고 [math(P)] 위의 순서 관계 [math(\leq)]를 포함 관계 [math(\subset)]와 같도록 정의하자. 그러면 [math(\left(P, \leq \right))]는 부분순서 집합이 된다. 이때 [math(P)]의 임의의 사슬 [math(C=\left\{L_i : i\in I\right\})]에 대하여 [math(\displaystyle L_{\text{max}}=\bigcup C)]를 생각하자.[math(L_{\text{max}})]에서 임의로 유한 개의 원소 [math(v_1, v_2, \cdots, v_n)]을 뽑았을 때 [math(C)]가 포함 관계에 대하여 전순서 집합이기 때문에 [math(\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}\subset L_i)]인 [math(i\in I)]가 존재한다. 이때 [math(L_i)]가 선형독립이므로 [math(\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\})]도 선형독립이다. 따라서 [math(L_{\text{max}})]는 선형독립이고, [math(L)]을 포함하는 것은 자명하므로 [math(L_{\text{max}}\in P)]이다.
이로부터 [math(P)]의 임의의 사슬의 상계가 [math(P)]에 존재함을 알 수 있고 초른의 보조정리에 의하여 부분순서 집합 [math(\left(P, \leq \right))]은 극대 원소를 갖는다. 그 원소를 [math(B)]라 하자. 일단 [math(B)]는 선형독립이다. 그런데 [math(V\setminus \left\langle {B}\right\rangle \neq \emptyset)]이라면 [math(V\setminus \left\langle B\right\rangle)]의 원소 [math(w)]를 뽑아 [math(M:=B\cup \left\{w\right\})]이라 할 때 [math(M)]은 선형독립이고 [math(L)]을 포함하므로 [math(M\in P)]이다. 그러면 [math(B\leq M)]이고 [math(B\neq M)]이므로 [math(B)]가 극대원소라는 데 모순이다. 따라서 [math(V\setminus \left\langle {B}\right\rangle = \emptyset)]이어야 하고, [math(B)]는 [math(L)]을 포함하면서 [math(V)]의 기저가 된다.
5.3. 차원(dimension)
벡터 공간의 기저의 크기를 차원(dimension)이라 부르고, 체 [math( F )] 위에서 정의된 벡터공간 [math( V )]에 대해 [math( V )]의 차원을 [math(\dim_{F}V)]라 적는다. 이것이 잘 정의되어있으려면( well-defined), 모든 벡터 공간은 기저를 가져야 하고, 주어진 벡터 공간의 기저들은 모두 같은 크기를 가져야 한다. 전자는 위에서 말한 대로 선택공리를 가정한다면 보일 수 있고,[25] 후자도 쉽게 보일 수 있다.차원은 스칼라를 어떻게 택하느냐에 따라 달라지기도 한다. 예를 들어, 복소수체는 실수체와 복소수체 모두의 벡터 공간이고, [math(\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2\neq 1=\dim_{\mathbb{C}}\mathbb{C})]이다.
같은 스칼라 체를 갖는 두 벡터 공간이 동형적(isomophic)일 필요충분 조건은 차원이 같은 것이다. 동형이라면 차원이 같음은 자명하고, 차원이 같다면 두 벡터 공간의 기저 사이에 일대일 대응을 만든 후, 그 대응을 선형 변환으로 확장하면 된다. 이때 확장 가능성은 물론 기저의 선형 독립성과 생성성에 의해 보장된다.
5.3.1. 차원의 유일성 증명
5.3.1.1. 무한차원 벡터공간
[math(V)]의 모든 기저가 무한집합이고 [math(\mathcal{B})]와 [math(\mathcal{C})]가 [math(V)]의 서로 다른 두 기저라 하자. 그러면, 임의의 [math(b\in \mathcal{B})]에 대하여
[math(b\in\langle S_{b}\rangle)]
를 만족하는 유한집합 [math(S_{b}\subset C)]가 존재한다. 그런데 임의의 [math(c \in\mathcal{C})] 각각[26]에 대하여, [math(c\in S_{b})]를 만족하는 [math(b\in\mathcal{B})]가 존재하여야 한다. (그렇지 않으면 임의의 [math(b\in\mathcal{B})]에 대하여 [math(c\notin S_{b})]인 [math(c)]가 존재해서, [math(\mathcal{B})]가 [math(V)]의 기저이므로,
[math(c=k_{1}b_{1}+\cdots+k_{m}b_{m})]
를 만족하는 [math(b_{1},\cdots,b_{m})]이 존재하는데, 위 식의 우변이 [math(\langle S_{b_{1}}\cup\cdots\cup S_{b_{m}} \rangle )]의 원소가 되므로 기저는 일차독립이라는것에 모순이다.) 따라서 [math(c\in S_{b})]를 만족하는 [math(b)]중 하나를 [math(f(c))]가 되도록 함수 [math(f:\mathcal{C}\to \mathcal{B})]를 정의할 수 있다.[27] 또한 임의의 [math(b\in f(\mathcal{C}))]에 대하여, [math(f^{-1}(\{b\})\subset S_{b})]는 유한집합이다. 즉, [math(\Gamma=\{f^{-1}(\{b\}):b\in f(\mathcal{C})\})]는 공집합이 아닌 유한집합으로 이루어진 [math(\mathcal{C})]의 분할이다. 따라서 [math(\Gamma)], [math(\mathcal{C})], [math(f(\mathcal{C}))]의 카디널리티가 모두 같고, [math(f(\mathcal{C})\subset \mathcal{B})]이므로, 아래의 부등식
[math(|\mathcal{B}|\geq |\mathcal{C}|)]
가 성립한다. 위의 증명을 [math(\mathcal{B})] 와 [math(\mathcal{C})]를 바꿔서 반복하면 반대방향 부등식도 성립한다는것을 보일 수 있다.5.3.1.2. 유한차원 벡터공간
[math(V)]의 기저 중 유한집합이고, 원소의 갯수가 가장 작은것을 [math(\mathcal{B})]라고 하자. 또한 [math(\mathcal{C})]를 어떤 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(|\mathcal{B}|=m<n\leq|\mathcal{C}|)]가 성립하는 [math(V)]의 기저라고 하자. 그러면, [math(\{c_{1},\cdots,c_{n}\}\subset\mathcal{C})], [math(\{b_{1},\cdots,b_{m}\}=\mathcal{B})]일 때
[math(c_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{ij}b_{i})],
를 만족하는 스칼라 [math(a_{ij})]가 존재한다. 또한, 모든 자연수 [math(i\leq m)]에 대하여 [math(n)]개의 어떤 스칼라 [math(x_{j})]가
[math(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=0\cdots(1))]
을 만족하면
[math(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{j}c_{j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}a_{ij}x_{j}b_{i}=\sum_{i=1}^{m}\!\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)\!b_{i}=0\cdots(2))]
이 성립한다. 그런데, 연립방정식(1)은 식의 갯수가 미지수의 개수보다 적으므로 자명하지 않는 해 [math((x_{1},\cdots,x_{n}))]이 존재한다. 그러나, [math(\{c_{1},\cdots,c_{n}\}\subset \mathcal{C})]가 1차독립이므로 식 (2)의 해는 자명한해만 존재하여야 한다. 따라서 모순이다. 그러므로 어떤 벡터공간의 한 기저가 유한집합이면, 다른 기저도 유한집합이고, 원소의 개수는 서로 같다.6. 쌍대 공간(dual space)
[math(F)]를 스칼라로 갖는 벡터 공간 [math(V)] 위의 선형 범함수(linear functional)들의 모임, 즉 쌍대 공간(dual space) [math(V^{*})]은 다음과 같이 정의되고, 이 또한 [math(F)]를 스칼라로 갖는 벡터 공간이고 만약 V의 차원이 유한하다면, [math(\dim_{F}V=\dim_{F}V^{*})]이다. 따라서 [math(V\cong V^{*})]이다. 그러나 natural한 동형사상이 존재하는 것은 아니다.[28][29] 무한차원 벡터공간의 경우 [math(\dim{V^{*}}=|F|^{\dim V})][30]가 성립한다.[math(V^{*}:=L\left(V,F\right))][31]
6.1. 쌍대 기저(dual basis)
[math(V )]가 유한 차원인 경우, [math(V )]의 기저 [math(\mathcal{B} = \left\{ v_1, ..., v_n \right\} )]를 알고 있다면 이로부터 [math(V^{*} )]의 기저 [math(\mathcal{B}^{*} = \left\{ \varphi_1, ..., \varphi_n \right\} )]를 구성할 수 있다. [math(\varphi_i )]가 [math(\varphi_{i} (v_j) = \delta_{j}^{i} = )] [math(\begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \ne j) \end{cases} )][32]를 만족하는 [math(V^{*} )]의 원소라고 하자. 그러면 임의의 [math(\varphi = c_1 \varphi_1 + ... + c_n \varphi_n )]에 대해 [math(\varphi (v_i) = c_i )]이므로, [math(f \in V^{*} )]에 대해 [math(c_i = f(v_i) )]로 두면 [math(f = \varphi )]이다. 즉, [math(\mathcal{B}^{*} )]는 [math(V^{*} )]를 생성한다. 또한, [math(c_1 \varphi_1 + ... + c_n\varphi_n = 0 )]일 때 [math((c_1 \varphi_1 + ... + c_n\varphi_n) (v_i) = c_i = 0_F )]이므로, [math(\mathcal{B}^{*} )]는 선형 독립이다. 따라서, [math(\mathcal{B}^{*} )]는 [math(V^{*} )]의 기저가 되며 이를 쌍대 기저(dual basis)라 부른다.그렇다면, [math(V )]가 무한차원인 경우는 어떨까? [math(V )]의 기저 [math(\mathcal{B} = \left\{ v_i : i \in I \right\} )]를 생각해보자. 이때 index [math(I )]는 [math(V )]가 무한차원이므로 무한집합이다. 이제 [math(V^{*} )]의 쌍대기저 [math(\mathcal{B}^{*} = \left\{ \varphi_i : i \in I \right\} )]를 위와 같이 정의하자. 만약 [math(\mathcal{B}^{*} )]가 [math(V^{*} )]의 기저라면 [math(V^{*} )]의 모든 원소는 [math(\mathcal{B}^{*} )]의 유한한 부분집합에 의해 생성되어야 한다. 하지만 이는 불가능하다. 원소 [math(\varphi )]를 임의의 [math(i )]에 대해 [math(\varphi(v_i) = 1 )]이 되도록 잡고 이것이 [math(\mathcal{B}^{*} )]에 의해 생성된다고 하자. 그러면 [math(I )]의 유한한 부분집합 [math(J )]가 있어서 [math(\left\{ \varphi_j : j \in J \right\} )]의 한 선형결합이 [math(\varphi )]이여야 한다. 즉, [math(\varphi = \sum_{j \in J} {c_j \varphi_j} )]인 [math(c_j \in F )]가 존재한다. 하지만 임의의 [math(k \notin J )]에 대해 [math(\sum_{j \in J} {c_j \varphi_j} (v_k) = 0 )]이므로 모순이 일어난다. 즉, 무한 차원 공간에서는 쌍대 기저가 쌍대 공간의 기저가 될 수 없다.[33]
두 벡터 공간 [math(V)], [math(W)]에 대해 선형 사상 [math(A : V \to W)]를 생각해 보자. 이로부터 [math(V^*)]와 [math(W^*)] 간의 자연스러운 선형 사상을 어떻게 줄 수 있는지 생각해 보자. 먼저 [math(A)]의 이미지는 [math(W)]에 살고 있으므로 그 이미지의 아무 원소에나 [math(W^*)]의 아무 원소를 적용시킬 수 있을 것이다. 즉, 임의의 [math(v \in V)]와 [math(g \in W^*)]에 대해 [math(g(Av))]를 생각할 수 있다. 즉, [math((g \circ A)(v))]를 생각할 수 있다. 그런데 [math(g \circ A)]는 분명 [math(V)]를 [math(F)]로 보내는 선형 사상이다. 게다가 임의의 [math(g_1, g_2 \in W^*)]와 [math(a, b \in F)]에 대해 [math((ag_1 + bg_2) \circ A = a(g_1 \circ A) + b(g_2 \circ A))]가 성립한다. 따라서 [math(W^* \ni g \mapsto A^*(g) = g \circ A \in V^*)]를 만족하는 사상 [math(A^* : W^* \to V^*)]가 존재하며 이는 선형 사상이다. 이 선형 사상을 보통 [math(A)]의 쌍대(dual)라고 부른다.
이걸 쌍대 기저와 엮으면 재밌는 결과를 얻을 수 있다. [math(\{v_1, \cdots, v_n\})], [math(\{w_1, \cdots, w_m\})]을 각각 [math(V)], [math(W)]의 기저라고 하자. 그러면 [math(v_i^*(v_j) = \delta_{ij})], [math(w_i^*(w_j) = \delta_{ij})]인 [math(v_i^* \in V^*)], [math(w_i^* \in W^*)]가 존재하고, 이들은 각각 [math(V^*)], [math(W^*)]의 기저가 됨을 위에서 보였다. 그러면 이 기저들에 대한 [math(A^*)]의 행렬 꼴은 어떻게 될 지 궁금할 것이다. 즉, [math(A^* w_j^* = \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^*)]라고 썼을 때 [math(b_{ij})]가 과연 무엇인가 하는 것이다. 더 구체적으로, [math(Av_j = \sum_{i = 1}^m a_{ij} w_i)]라고 썼을 때 [math(a_{ij})]와 [math(b_{ij})]의 관계를 알아보자는 것이다. [math(A^*)]의 정의로부터 다음을 생각할 수 있다.
[math(\displaystyle (A^* w_j^*)(v_r) = \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^*(v_r) = \sum_{i = 1}^n b_{ij} \delta_{ir} = b_{rj} )]
[math(\displaystyle \phantom{(A^* w_j^*)(v_r)} = w_j^*(Av_r) = w_j^* \left( \sum_{i = 1}^m a_{ir} w_i \right) = \sum_{i = 1}^m a_{ir} w_j^*(w_i) = \sum_{i = 1}^m a_{ir} \delta_{ji} = a_{jr}.)]
따라서 [math(b_{ij} = a_{ji})]를 얻게 된다. 즉, 해당 [math(A^*)]의 행렬 꼴은 사실 대응하는 [math(A)]의 행렬 꼴의 전치행렬과 같다. 이로부터 전치행렬은 본질적으로 쌍대 사상과 같은 것임을 알 수 있다.
6.1.1. 쌍대 사상의 다른 유도
위에서는 쌍대 사상을 [math(V)], [math(W)]으로부터 [math(W^*)]와 [math(V^*)]간의 자연스러운 선형사상을 만들어내는 방법으로 쌍대 사상을 유도하고 행렬표현에 대한 물음으로부터 전치 행렬과의 관계를 이끌어 내었다. 그런데 이 과정을 반대로 하여 애초부터 전치 행렬과의 관계를 염두에 두고 쌍대 사상을 유도할 수도 있다. 즉, '어떤 사상의 행렬표현'이 '다른 사상의 행렬표현의 전치행렬'이 되는 그러한 사상을 찾는 물음에서 시작하자.전치행렬은 행을 열으로 바꾸는 동작이다. '어떤 행렬의 전치'의 [math( j )]열은 원래 행렬의 [math( j )]행(을 열로 표현한 것)과 같다. 이를 이번 절 동안 염두에 두자. 어떤 행렬의 전치행렬을 만드는 과정을 생각해 볼 때, 그 행렬의 각 행을 열로 전환해서 집어넣는다고 생각하면 도움이 될 수 있다. 어떤 행렬표현의 전치를 만드려면 먼저 그 행렬표현의 행에 대한 정보를 가져와야 할 것이다. 벡터공간 [math(V,W)]와 각각의 두 순서기저 [math( \beta = \left\{v_1, \cdots , v_n \right\} , \gamma = \left\{w_1 , \cdots , w_m \right\} )]에 대해 [math(T: V \rightarrow W)]의 행렬표현 [math( [T]_{\beta}^{\gamma} )]의 [math( i )]'행'은 각각의 '열'의 [math( i )]번째 성분들을 모아 만든 행벡터라고 생각 할 수 있다. 이때 열의 [math( i )]번째 성분은 그 열에 대응하는 기저벡터 [math( v_j )]에 대해 [math( T(v_j) )]의 순서기저(좌표계라 생각해도 좋다.) [math( \gamma )]아래의 [math( i )]번째 좌표에 해당한다. 이를 [math( \gamma )]의 좌표함수 [math( \phi_i )]들을 이용해 나타내면 다음과 같다.[34]
- 쌍대기저의 정의에서도 도출할 수 있는데, [math( \gamma )] 아래의 좌표함수[35] 들의 집합 [math( \bold{G} = \left\{ \phi_1 , \cdots , \phi_m \right\} )]가 바로 [math( \gamma )]의 쌍대기저가 된다. 이 사실은 중요하므로 계속 기억해 두자.
| [math( [T(v_1) ]_{\gamma} )] | [math( [T(v_2) ]_{\gamma} )] | [math(\cdots)] | [math( [T(v_i) ]_{\gamma} )] | [math(\cdots)] | [math( [T(v_n) ]_{\gamma} )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math( [T]_{\beta}^{\gamma} )] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| <colbgcolor=#FFB9B9> [math( \phi_1(T(v_1)) )] | <colbgcolor=#FFD3B0> [math( \phi_1(T(v_2)) )] | <colbgcolor=#FFFF8F> [math(\cdots)] | <colbgcolor=#E0FF8B> [math( \phi_1(T(v_i)) )] | <colbgcolor=#C4DEFF> [math(\cdots)] | <colbgcolor=#C7C4FF> [math( \phi_1(T(v_n)) )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math( \phi_2(T(v_1)) )] | [math( \phi_2(T(v_2)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_2(T(v_i)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_2(T(v_n)) )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math( \phi_3(T(v_1)) )] | [math( \phi_3(T(v_2)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_3(T(v_i)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_3(T(v_n)) )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math(\vdots)] | [math(\vdots)] | [math(\vdots)] | [math(\vdots)] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math( \phi_{i-1}(T(v_1)) )] | [math( \phi_{i-1}(T(v_2)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_{i-1}(T(v_i)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_{i-1}(T(v_n)) )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math( \phi_i(T(v_1)) )] | [math( \phi_i(T(v_2)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_i(T(v_i)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_i(T(v_n)) )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math( \phi_{i+1}(T(v_1)) )] | [math( \phi_{i+1}(T(v_2)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_{i+1}(T(v_i)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_{i+1}(T(v_n)) )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math(\vdots)] | [math(\vdots)] | [math(\vdots)] | [math(\vdots)] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| [math( \phi_m(T(v_1)) )] | [math( \phi_m(T(v_2)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_m(T(v_i)) )] | [math(\cdots)] | [math( \phi_m(T(v_n)) )] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 같은 계열 색으로 칠해진 [math( [T]_{\beta}^{\gamma} )]의 [math( j )]열은 [math( [T(v_j) ]_{\gamma} )]이고 그것의 [math( i )]번째 성분은 [math( T(v_j) )]의 [math( \gamma )]에 대한 [math( i )]번째 좌표[36]에 해당한다. 이 행렬의 진하게 칠해진 [math( i )]행은 보다시피 각 열의 [math( i )]번째 성분 [math( \phi_i(T(v_j)) (j = 1,\cdots,n))]들임을 알 수 있다. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
위 그림의 [math( i )]행은 [math( T(v_1), \cdots ,T(v_n) )]의 [math( i )]번째 좌표들이다. 전치행렬을 만드려면 이 행벡터를 열벡터로 저장해야 하므로 [math( i )]행의 열벡터 표현 [math( \begin{bmatrix}\phi_i(T(v_1)) \\ \vdots \\ \phi_i(T(v_n)) \end{bmatrix} )]가 어떻게 표현될 수 있는지 살펴볼 것이다. 결론적으로 이는 쌍대 기저를 이용하여 할 것이다. 먼저 기저 [math( \beta )]의 쌍대 기저를 [math( \bold{B} = \left\{ \bold{f}_1, \cdots ,\bold{f}_n \right\})]이라 하자. 그러면 위 목차의 초입 부분에서 보았듯이[37] [math( \bold{f} \in V^* )]에 대해 [math( \bold{f} = \bold{f}(v_1)\bold{f}_1 + \cdots + \bold{f}(v_n)\bold{f}_n)]가 성립한다.
따라서 [math( [\bold{f}]_{\bold{B}} = \begin{bmatrix} \bold{f}(v_1) \\ \vdots \\ \bold{f}(v_n) \end{bmatrix} )]이다. [math( [\bold{f}]_{\bold{B}} )]가 [math( \begin{bmatrix}\phi_i(T(v_1)) \\ \vdots \\ \phi_i(T(v_n)) \end{bmatrix} )]의 꼴과 비슷하게 표현되지 않는가? [math( \begin{bmatrix}\phi_i(T(v_1)) \\ \vdots \\ \phi_i(T(v_n)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\phi_iT(v_1) \\ \vdots \\ \phi_iT(v_n) \end{bmatrix})]이고 선형범함수 [math( \phi_i T )]는 [math( V )]에서 시작해 [math( W )]로 갔다가 체 [math( F )]로 가는 [math( V^* )]의 벡터이다.[38] 따라서 [math( [\phi_i T]_{\bold{B}} = \begin{bmatrix}\phi_i(T(v_1)) \\ \vdots \\ \phi_i(T(v_n)) \end{bmatrix} )]가 성립한다.[39] 따라서 [math( [\phi_i T]_{\bold{B}} )]는 [math( [T]_{\beta}^{\gamma} )]의 [math( i )]행을 열로 바꾸어 놓은 것이므로 그냥 어떤 사상의 행렬표현이 [math( \begin{pmatrix} [\phi_1 T]_{\bold{B}} & \cdots & [\phi_m T]_{\bold{B}} \end{pmatrix})]라고 가정해버리면 이 행렬이 결국 [math( [T]_{\beta}^{\gamma} )]의 전치행렬이므로 바로 끝난다. 이것이 성립하는 선형사상을 찾는 것은 그리 어렵지 않다. [math( \bold{T}: W^* \rightarrow V^* , \bold{T}(\phi) = \phi T)]라고 정의하면 이는 선형사상이고 각 [math( \phi_i \in \bold{G})]에 대해 [math( \bold{T}(\phi_i) = \phi_i T )]이므로 [math( [\bold{T}]_{\bold{G}}^{\bold{B}} = \begin{pmatrix} [\bold{T}(\phi_1) ]_{\bold{B}} & \cdots & [\bold{T}(\phi_m) ]_{\bold{B}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} [\phi_1 T]_{\bold{B}} & \cdots & [\phi_m T]_{\bold{B}} \end{pmatrix} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^T )]가 성립한다. 따라서 행렬표현이 [math(([T]_{\beta}^{\gamma})^T )]이도록 유도한 선형사상 [math( \bold{T} )]는 [math( T )]의 쌍대 사상 [math( T^T )]임을 알 수 있다.
결과적으로 정리하면 쌍대 공간의 쌍대 기저는 '행렬의 행을 열로 바꾸어 놓은 것'을 행렬표현의 열의
꼴인 [math( [T(\bold{f}) ]_{\bold{B}} )]로 나타낼 수 있다.
- 행렬 [math( A )]의 각 행을 열로 바꾼 것[40]이 [math( [T(\bold{f}) ]_{\bold{B}} )]꼴 [math( \rightarrow )] [math( [T(\bold{f}) ]_{\bold{B}} )]은 [math( T )]의 행렬표현의 열에 해당 [math( \rightarrow )] [math( T )]의 행렬표현의 열이 [math( A )]의 행 [math( \rightarrow )] [math( T )]의 행렬표현이 [math( A )]의 전치행렬
* 세줄 요약 *
벡터공간 [math( V,W )]를 생각할 때 선형변환 [math( T: V \rightarrow W )]와 각각의 기저 [math( \beta , \gamma )] 그리고 이들 각각의 쌍대기저를 [math( \bold{B} , \bold{G} )]라 하자.
- 1. 행렬표현 [math( [T]_{\beta}^{\gamma} )]의 [math( i )]행의 열벡터 표현이 [math( [\phi_i T]_{\bold{B}} )]임
- 2. 1.에 의해 [math( \begin{pmatrix} [\phi_1 T]_{\bold{B}} & \cdots & [\phi_m T]_{\bold{B}} \end{pmatrix} )]은 [math( [T]_{\beta}^{\gamma} )]의 전치행렬, 또한 이는 어떤 선형사상의 행렬표현 꼴로 나타내기 적합함
- 3. [math( T^T(\phi) = \phi T )]라고 정의하면 [math( [T^T]_{\bold{G}}^{\bold{B}} = \begin{pmatrix} [\phi_1 T]_{\bold{B}} & \cdots & [\phi_m T]_{\bold{B}} \end{pmatrix} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^T )]이 성립하고 [math( T^T )]는 [math( T )]의 쌍대 사상에 해당함
6.2. 이중 쌍대 공간(double dual space)
[math(V^{*})]도 벡터 공간이므로 이것의 쌍대 공간인 [math(V^{**})]을 생각할 수 있다. 이를 [math(V)]의 이중 쌍대 공간(double dual space)이라 한다. 이 역시 차원이 유한할 때, [math(V\cong V^{*}\cong V^{**})]에서, [math(V\cong V^{**})]이다. 이 동형은 [math(V\cong V^{*})]의 경우와 달리, natural isomorphism이다.[41] [math(\phi:V\rightarrow V^{**})]를 [math(\phi\left(v\right)\left(f\right)=f\left(v\right))]라 정의하면, [math(\phi)]가 동형이기 때문이다.[42] 이러한 자연스러운 동형사상 등의 여러 이유로 인해 이중 쌍대 공간은 흔히 원래 벡터 공간과 똑같다고 본다. 즉 [math(V \cong V^{**})]도 아니고 아예 [math(V = V^{**})]라고 둔다는 것이다.무한차원의 경우 [math(V = V^{**})]는 일반적으로 참이 아니다. 일반적으로 [math(V \subseteq V^{**})]이며, [math(V = V^{**})]인 경우 [math(V)]를 반사적(reflexible)이라 한다.
6.3. 텐서(tensor)
쌍대 공간의 개념을 다중 선형 사상 공간의 개념으로 확장한 것. 자세한 내용은 텐서 문서 참고.7. 관련 항목
[1]
linear space(선형 공간)라고 부르기도 한다.
[2]
책에 따라서는
나눗셈 환 위의 가군이라고도 한다. 그럴 만한 것이, 스칼라곱 조건에
스칼라끼리의 교환법칙이 기술되지 않기 때문. 애초에 체의 정의 자체가 한마디로 가환 나눗셈 환이기도 하고.
[3]
아주 간단히 말해
사칙연산이 상식대로 성립하는 것.
[4]
[math(u, v \in V \Rightarrow u + v \in V)]
[5]
이 조건 때문에 [math(a\in F)], [math(x\in V)]에 대해 [math(a\cdot x)]를 [math(ax)]로 줄여쓰는 것에 혼동의 여지가 없으므로 스칼라 곱을 [math(ax)]의 형태로 쓸 수 있다.
[6]
여기서 [math(1_F)]는 체 [math(F)]의 곱셈의 항등원이다.
[7]
이 내용이 생소한 사람들을 위해 간단하게 말해보자면, 벡터 공간에 대해 한 학기 정도 배우게 되면 "우리가 알고 있는
행렬이 사실은 선형함수([math(y=ax)]와 같이 상수항이 없는
일차함수)와 같다는 점과 왜 행렬의 곱셈이 이상하게 정의되어 있는지에 대해 알 수 있다" 정도로 생각하면 편하다. 물론 그것보다 더 많은 일을 하지만...
[8]
연속함수들을 더해도, 스칼라배 해도 연속함수이므로.
[9]
다항식들을 더해도, 스칼라배 해도 다항식이므로.
[10]
이 때, [math( w_{1}, w_{2} \in W )] 이면 [math(w_{1} + w_{2} \in W )]인 것과, [math(w \in W )]이고 [math(a \in F)] 이면 [math(aw \in W )] 인 것만 확인하면 된다.
[11]
즉, [math(\left\{W_{\alpha}\right\})]은 [math(V)]의 부분 공간들 중 일부를 모은 것이다.
[12]
이 표기에 대해서는 아래의 "벡터공간의 합" 문서 참고.
[13]
즉, [math(\left\langle X\right\rangle)] 는 [math( X)]의 원소들의 선형 결합들 전체의 집합이다
[14]
[math(T)]-불변 부분 공간 [math(W)]는 임의의 다항식 [math( f(t) \in F[t] )]에 대해 [math(f(T))]-불변 부분 공간이다
[15]
물론, [math( f(t) = a_n t^n + \cdots + a_1 t + a_0 )]일 때 [math( f(T) = a_n T^n + \cdots + a_1 T + a_0 I )]로 정의한다
[16]
정확히는 앞서 설명한 관점이 이 정의에 잘 맞는 것이다.
[17]
[math(W_{1}\cap W_{2}=\left\{ \left(w,-w\right):w\in W_{1}\cap W_{2}\right\} )]로 생각한다.
[18]
이 정의에서, [math(S)]는 무한집합일 수도 있지만, 합하는 건 유한 개뿐이라는 것에 주목하자.
[19]
만약 그 원소를 표현할 수 있다면
[20]
원 의미는 어떤 것의 바닥, 밑바탕이 되는 기초를 뜻한다.
[21]
즉, T가 선형 독립이라면 S도 선형 독립이다.
[22]
즉, .[math(\left\langle T\right\rangle \lneq V)]이면 [math(\left\langle S\right\rangle \lneq V)]이다.
[23]
[math( (1, 2) = e_{1}+2e_{2})]를 표현하지 못한다
[24]
부분순서 집합 [math(\left(P, \leq \right))]가 있다고 하자. 이때 [math(\left(C, \leq \right))]가 전순서 집합이 되는 [math(P)]의 임의의 부분집합 [math(C)]의 상계가 [math(P)]에 존재하면, [math(\neg \exists x\in P :M\leq x \,\ \text{and} \,\ x\neq M)]을 만족하는 [math(M\in P)]가 존재한다. 다시 말해 부분순서 집합 [math(P)]의 임의의 사슬이 [math(P)]에서 상계를 가지면 [math(P)]는 극대원소를 갖는다.
[25]
위 목차 5.2.1.에서 보였듯이
[26]
임의의 X에 대하여 Y가 존재한다는 류의 문장은 두가지로 해석가능한데, 각 X에 대해서 Y가 같아야 하는지, 달라도 되는지이다. 여기선 c에 따라 b가 달라도 상관없다. 그래서 각각이란 단어를 붙였다.
[27]
선택공리
[28]
이에 대해서는, 이중 쌍대공간을 설명할 것이다.
[29]
자연스러운 동형사상이 존재하기 위해서는 공간 위에 대칭이중선형형식(symmetric bilinear form)이 주어져 있다면 저것을 통해 정의할 수 있다. 하지만 여전히 이중선형형식의 선택에 의존한다는 점에서 조금 덜 자연스럽다.
[30]
|F|는 물론 F의 카디널리티이다.
[31]
[math(V)]에서 [math(F)]로 가는
선형 변환들의 집합이다. [math(F)] 역시 자기 자신의 벡터 공간이 때문에,
선형 변환들의 모임 [math(L\left(V,F\right))]을 생각할 수 있다.
[32]
[math(\delta_{j}^{i} )]는 크로네커 델타(Kronecker Delta)라고도 부른다.
[33]
양자역학에서 (무한 차원) 켓-공간의 "기저"를 뒤집어서 얻은 브라-공간의 원소들이 "기저"가 됨을 배운 사람들은 여기에서 혼동을 느낄 수도 있을 것이다. 하지만 사실 양자역학 등에서 말하는 "기저"는 그냥 기저가 아닌
orthonormal basis이고, 사실 orthonormal basis는 엄밀하게 말해 벡터 공간의 기저가 아니다. (Hamel basis를 찾아보자.)
[34]
각각의 [math( \phi_i )]들은 [math( \gamma )]아래의 [math( i )]번째 좌표를 출력하는 함수이다. 즉, [math( [x]_{\gamma} = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_i \\ \vdots \\x_n \end{bmatrix} )]일 때 [math( \phi_i(x) = x_i )]라고 정의한다.
[35]
[math( \gamma )]아래의 각각의 좌표들을 출력하는 함수
[36]
[math( \phi_i(T(v_j)) )]
[37]
"임의의 [math(\varphi = c_1 \varphi_1 + ... + c_n \varphi_n )]에 대해 [math(\varphi (v_i) = c_i )]이므로" 문장에서 이다.
[38]
다시 언급하지만 [math(\phi_i)]는 [math(W)]에서 [math(F)]로 가는 선형범함수다.
[39]
[math( \phi_i T \in V^* )]이므로 [math( [\bold{f}]_{\bold{B}} = \begin{bmatrix} \bold{f}(v_1) \\ \vdots \\ \bold{f}(v_n) \end{bmatrix} )]의 식에서 [math( \phi_i T )]를 [math( \bold{f} )]에 대입해 보라.
[40]
예를 들어 [math( \begin{pmatrix} 1,2,3 \end{pmatrix} )]을 열로 바꾸면 [math( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} )]이다.
[41]
이 때 natural의 의미는 벡터 공간과 그 쌍대의 대상(벡터 및 선형범함수) 및 사상(선형 변환)으로만 구성된 (따라서 기저의 선택에 의존하지 않는) 동형사상이 존재한다는 것이다. 일반적으로 차원이 같은 두 벡터 공간 사이의 동형사상은 기저를 먼저 잡은 후에 기저 사이에 일대일 대응을 만들지만, 이 경우에는 기저를 잡을 필요가 없다.
[42]
설명을 덧붙이자면, 기저와 쌍대기저 사이의 1:1대응을 선형확장하는 방법으로, 벡터공간과 쌍대공간 사이에 동형사상을 줄 수 있는데, 똑같은 방법으로 쌍대공간과 이중쌍대공간 사이의 동형사상을 구성한 후, 벡터공간과 쌍대공간 사이의 동형사상과 합성하면 처음에 기저를 어떻게 잡았는지와 관계없이 위의 와 동일한 선형변환이 나온다.
[43]
벡터의 미분 연산이다.