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1. 개요
不可能性定理Impossibility Theorem
미국의 경제학자 케네스 애로우의 1951년 논문 'Social Choice and Individual Values'에 발표된 정리.
90여 쪽에 불과한 이 논문이 얼마나 대단한가는 서문만 봐도 알 수 있다. 감사의 글에 코프만스, 프리드먼, 사이먼, 슐츠, 모딜리아니가 언급되었는데 이 다섯 명은 모두 장차 노벨경제학상을 수상하게 된다.
2. 설명
다음 내용은 Kenneth A. Shepsle, Analyzing Politics: Rationality, Behavior, and Institions, 2nd Ed. (New York, London: W.W.Norton & Company), Ch. 4에서 발췌, 정리한 것이다.애로우는 그의 저서 <사회적 선택과 개인의 가치>에서 어떠한 합리적 선호 집합 방식도 만족해야 한다고 본 일반 조건 집합을 조직했다.
개인들의 집합 [math(G = \left\{1, 2, ..., n \right\})]이 있고, 이 집단이 선택할 수 있는 대안들의 집합 [math(A = \left\{1, 2, ..., m\right\})]이 있다 하자. (단 [math(n, m)]은 모두 3 이상이다.)
(Rationality assumption) 여기에서 집단 속 개인들은 모두 합리적 선호 체계를 가지고 있다고 가정한다. 즉 개인들의 선호는 완전(complete)하고 이행적(transitive)이다. 선호가 완전하다는 것은 모든 대안에 대하여 더 좋다, 나쁘다, 같다를 판단할 수 있다는 것이며, 이행적이라는 것은 대안 [math(x)]가 [math(y)]보다 선호되고, [math(y)]가 [math(z)] 보다 선호되면 [math(x)]가 [math(z)]보다 선호된다는 것이다.
이런 개인 선호 체계에 대한 가정 아래에서 애로우는 네 가지 조건을 덧붙인다.
- Condition U (Unrestricted Domain). 개인들은 대안들에 대해서 어떠한 선호도 가질 수 있다.
- Condition P (Pareto Optimality or Unanimity). 집단에 속한 모든 개인이 특정 대안을 다른 대안에 비해 선호하면, 집단 선호 역시 모든 개인들이 선호하는 대안을 선호해야 한다.[2][3]
- Condition I (Independence of Irrelevant Alternatives). 대안 j와 k에 대한 집단 선호가 이 대안들과 관련 없는 대안 s에 대한 선호 변화로 인해 변하지 않아야 한다.
- Condition D (Non-Dictatorship). 집단의 특정 구성원의 선호가 다른 구성원의 선호와 관계 없이 집단 선호를 결정해서는 안 된다.
예를 들어 사과와 배, 귤이라는 대안이 있다고 가정하자. 그리고 대상집단 A, B, C는 각각 (사과>귤>배), (귤>배>사과), (배>사과>귤)이라는 이행적 선호를 가지고 있다. 그런데 A,B,C에게 사과와 귤을 가지고 설문조사를 했더니 사과라는 답변(A,C>B)이 나왔다. 그리고 사과와 배를 가지고 조사를 했더니 배라는 답변(B,C>A)이 나왔다. 이제 배와 귤을 가지고 조사를 하면 배라는 답변이 나와야 한다. 사과를 기준으로 각 과일의 선호체계가 배>사과>귤로 수렴되었으니 당연히 배가 귤보다 선호되어야 하기 때문이다. 그런데 막상 배와 귤에 대한 선호를 투표에 부치면 배보다 귤을 더 좋아한다는 답변(A,B>C)이 나온다.(조건 U, 즉 각 개인은 자신의 선호를 아무런 제한 없이 투표로 표명한 것 뿐이다.) 왜냐하면 배와 귤의 비교에서 또 다른 대안인 사과는 무시되기(조건 I 충족) 때문이다. 즉 집단의 선택을 모든 개인의 선호에 의하게 되면, 이 집단은 사과와 배와 귤 가운데서 아무 것도 선호할 수 없게 된다. 이행적 조건을 준수하면 조건 I 하에서의 결론 뿐만 아니라, 구성원 다수의 선호가 사회 전체의 선호와 동일하다는 조건 P와도 위배되기 때문이다. 이런 패러독스와 같은 상황에서는 한명이 결단을 내려서 사과를 선택한다거나, 귤은 배제한다거나 해서 일반적으로 해결이 되지만, 그것을 부정(조건 D)하고 나면 문제를 해결 할 수가 없는 것이다.
3. 증명
앞서 언급한 바와 같이 애로의 1951년 논문은 전제조건부터가 현대의 조건보다 엄격하였고 조건D를 위배한다는 점을 보이기 위해 택한 방법도 집단선호에 영향을 끼치지 못하는 잉여 구성원을 하나씩 제거해서 독재자만 남기는 방식이었다. Salvador Barbera는 1980년 논문에서 pivotal voter개념을 도입하여 다른 방식으로 증명하였고, John Geanakoplos는 2005년 논문에서 콘도르세 승자 개념을 도입하여 Salvador Barbera의 증명을 한결 단순화 시켰다. Ning Neil Yu의 2012년 논문은 (i, j)쌍에 대한 pivotal voter가 제 3의 대안 k에 대해 (j, k)쌍에 대한 독재자임을 보이는 방식으로 고작 3장안에 증명을 끝내버렸다. 다른 논문의 접근방식을 요약한 서론과 참고문헌, 보조를 위한 도표를 다 빼면 증명 자체는 1장안에 들어간다. 하도 짧다보니 영어 위키피디아 불가능성 정리 항목에 증명이 올라와 있을 정도4. 의의
이 정리 덕택에 당시 경제학자들은 약 20여년 전 수학자들이 괴델의 불완전성 정리이랑 더불어 물리학자들이 하이젠베르크의 불확정성 원리에 대해 느꼈던 그 충격을 경험하게 되었다. 사실 사회적 선호 내지 사회후생함수를 전제하지 않더라도 효율성 위주의 경제적 후생분석에 있어 문제될 것은 거의 없다. 그러나 일단 어떤 식으로든 한 사회의 공감대를 반영하는 공평성이 관련되면 어떤 상태가 더 바람직한가라는 질문에 답하기 아주 곤란해진다. 좀 다행인 것은 예나 지금이나 경제학에서 공평성 측면은 좀 곁가지 취급이라서...[5]애로우가 최초의 논문에서 이 정리를 가능성 정리라고 이름붙였듯이, 제시한 조건들 중 일부를 완화시키는 경우 합리적 집단 선호가 집계될 수는 있다. 가령 조건 U를 완화하며, 개인들이 가질 수 있는 선호의 형태를 제한하는 식이다. 가장 의견이 분분한 조건은 조건 I인데, 과연 새로운 선택대안이 나타났음에도 기존 대안들간의 선호순위가 불변인 것이 합리적인가에 대해 논란이 있다.
물론 조건 I 역시 간단히 제외하기는 어렵다. 예를 들어 피자, 치킨, 햄버거 중에 저녁으로 무엇을 먹을지 선택한다고 하자. 원래 선호는 피자>치킨>햄버거 순이었다. 따라서 피자가 선택되어야 한다. 그런데 오늘 요리에 사용된 치킨에 유해한 균이 들어있을 수도 있다는 정보가 전달되어, 사람들은 치킨을 가장 선호하지 않게 되었다고 하자. 하지만 상식적으로 피자가 선택되어야 함이 당연하다. 이 점을 형식적으로 표현한 조건이 I다. 즉 조건 I를 무시한다는 것은, 치킨에 대한 선호가 바뀌었다고 하여 갑자기 저녁으로 피자 대신 햄버거를 선택하는 것과 같다.
그런데 문제는 조건 I는 위의 예시처럼 개인의 선호순위에 대한 것이 아니라 그것들이 집계된 집단의 선호순위에 대한 것이라는 점이다. 기술적인 내용을 생략하고 결론부터 말하면 조건 I를 준수하는 집단의사결정방식 하에서는 개인간 선호의 강약을 반영할 방법이 없다. 기수성이 있는 집계방식은 조건 I에 위배되는데, 과연 피자가 햄버거보다 좀 낫다는 선호와 햄버거를 먹으면 알레르기로 목숨이 위험하다는 사람들의 선호를 같은 강도로 놓고 보는 게 합리적이냐는 것이다.
또 하나. 전략적 투표가 발생할 수 있는 모든 투표방식[6]은 I 위반이다. 그런데 알려진 투표방식들 중에서 전략적 행동의 가능성이 없는 것이 있던가. 오직 대안이 두개로 주어지거나 만장일치제의 경우, 순차적으로 다른 사안의 투표가 이어지지 않는다는 비현실적 상황에서만 전략적 행동이 발생하지 않거나 발생하더라도 그 효과가 사회적 선호에 미치는 영향을 차단할 수 있다. 다시 말해 우리가 현실 속에서 알고 있는 모든 선거와 투표는 조건 I를 위배한다. 현실의 민주적 집계절차가 모조리 조건 I를 위배한다면 조건 I는 비독재성과 현실적 양립불가상태가 되며 이 시점에서 불가능성 정리는 예측될 수 있는 것이다.
이 정리는 오늘날까지도 합리적 선택이론을 적용한 정치학과 미시경제학 분야의 지류인 후생경제학과 공공선택론에서 기본적인 정리의 하나로 꼽히고 있다.
불가능성 정리는 상당히 암울한 내용을 담은 정리이지만, 다행히도 현실적으로 이를 우회할 수 있는 방법이 있다. 위의 불가능성 정리 및 관련된 기바드-사데르스웨잇 정리 등은 어떤 개인들의 선호가 있을 때 항상 같은 사회적 선호를 내놓는다는 것(즉 deterministic함)을 전제하고 있는데, 이를 완화시키면[7] 근사적(approximate)사회적 선호체계를 찾을 수 있다.
물론 모든 사회 구성원들이 같은 선호체계를 가졌고 모든 재화에 대한 선호도가 똑같다면 사회의 선호 및 투표 결과 역시 이를 그대로 반영할 것이고 일관적인 결과가 나올 것이다. 그러나 이는 조건 U 위반이고 조건 U는 양심의 자유나 다양성같은 자유민주주의의 기본이념과 직결되는 조건인지라 이런 접근은 거의 받아들여지지 않는다.
5. 관련 문서
[1]
수학적으로는 사회의 구성원이 무한하다고 가정할 경우에 한해서 선택공리를 받아들이면 우회할 방법이 존재한다. 다만 이 경우 독재자는 없어지나, 0이 아닌 측도를 지닌, 즉 수를 셀 수 없는 독재집단이 탄생한다.
[2]
파레토 최적을 달성한다는 뜻이다. 만장일치를 지향하지만 현실적으로는 다수결의 원칙이 된다.
[3]
사실 이 조건은 1951년 논문의 단조성 조건과 시민주권(비강제성) 조건을 대체한 것으로 보다 약한 조건이다. 따라서 불가능성 정리 자체는 이러한 수정 이후 보다 강화되었다.
[4]
이미 18세기 후반에 콩도르세가 지적한 '투표의 역설'의 내용과 일맥상통한다. 투표의 역설을 모면할 방법이 없다는 것을 증명한 것이 불가능성 정리다.
[5]
최적의 효율은 파레토가 제시한 효율에 관한 관점이 일반적으로 받아들여지지만, 무엇이 공정성인지에 대한 논의는 경제학적으로 수치화하기도 어렵고 공정성이란 무엇인가라는 근본적인 물음에 대해서도 답하기 어렵다. 가령 보편적 평등(모든 것을 같게 대하는 것)과 실질적 평등(각자의 차이를 인정하고 맞춰서 대하는 것) 중 뭐가 더 공정한 것인지에 대한 관점은 사람마다 다르다.
[6]
예를들어 투표자 거래, 즉 로그 롤링에서는 두 세력이 서로 손을 잡고 지지를 교환하는 것으로 서로의 목적을 둘 다 달성할 수 있게 되면서 거래에 참여하지 않은 이들이 모조리 물을 먹게 되는 현상이다. 이렇게 선택된 결론이 모두에게 가장 큰 이득이 된다는 근거가 하나도 없기 때문에 부정적 의미도 강하다.
[7]
즉 특정한 개인들의 선호체계가 주어졌을 때, 임의의 작은 확률로 최선의 사회선호체계가 선택되지 않을 수 있음을 용인한다면.