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1. 개요
삼각함수의 도함수(미분)를 설명하는 문서이다.2. 주요 삼각함수의 도함수
2.1. 사인 함수의 도함수
미분의 정의에 따라| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})=\lim_{h \to 0} \frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(x+h)}=\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\sin{x}(\cos{h}-1)+\cos{x}\sin{h}}{h} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}=\frac{1-\cos{h}}{2} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{-2\sin{x}\sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}+\cos{x}\sin{h}}{h} \\& =\lim_{h \to 0} -\sin{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2\cdot \frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{h}+\lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \cos{x} \\& =\lim_{h \to 0} -\sin{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2 \cdot\frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{\dfrac{h}{2}} \cdot \dfrac{1}{2}+\lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \cos{x}\\&=-\sin{x} \cdot 0 \cdot 1 +\cos{x} \cdot 1 \\ &=\cos{x} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{\sin{t}}{t}=1 \end{aligned} )] |
이상의 결과로 다음을 얻는다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x})=\cos{x} \end{aligned} )] |
이를 일반화하여 다음과 같이 표현하기도 한다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(\sin{x})=\sin{\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)} \end{aligned} )] |
2.2. 코사인 함수의 도함수
미분의 정의에 따라| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})=\lim_{h \to 0} \frac{\cos{(x+h)}-\cos{x}}{h} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \cos{(x+h)}=\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\cos{x}(\cos{h}-1)-\sin{x}\sin{h}}{h} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}=\frac{1-\cos{h}}{2} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{-2\cos{x}\sin^{2}{\left( \dfrac{h}{2} \right)}-\sin{x}\sin{h}}{h} \\& =\lim_{h \to 0} -\cos{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2 \cdot \frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \sin{x} \\& =\lim_{h \to 0} -\cos{x}\sin{\left( \frac{h}{2} \right)}\cdot 2 \cdot\frac{\sin{\left( \dfrac{h}{2} \right)}}{\dfrac{h}{2}} \cdot \dfrac{1}{2}-\lim_{h \to 0} \sin{x} \cdot \frac{\sin{h}}{h} \\&=-\cos{x} \cdot 0 \cdot 1 -\sin{x} \cdot 1 \\ &=-\sin{x} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to 0}\frac{\sin{t}}{t}=1 \end{aligned} )] |
이상의 결과로 다음을 얻는다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x})=-\sin{x} \end{aligned} )] |
이를 일반화하여 다음과 같이 표현하기도 한다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}^{n}}{{\rm d}x^{n}}(\cos{x})=\cos{\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)} \end{aligned} )] |
2.3. 탄젠트 함수의 도함수
탄젠트와 사인, 코사인은 아래와 같은 관계가 있다.| [math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\tan{x})&=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \left( \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \right) \\&=\frac{\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\sin{x}) \cos{x}-\sin{x} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\cos{x}) }{\cos^{2}{x}} \\&=\frac{\cos{x} \cdot \cos{x}-\sin{x} \cdot (-\sin{x}) }{\cos^{2}{x}} \\&=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x} }{\cos^{2}{x}} \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\tan{x})=\frac{1}{\cos^{2}{x}} =\sec^{2}{x} \end{aligned} )] |
추가로 [math(\sec^{2}{x}=1+\tan^{2}{x})] 임을 이용해
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\tan{x})=1+\tan^{2}{x} \end{aligned} )] |
3. 역수꼴
- [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sec x) = \sec x \tan x)]
- [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\csc x) = -\csc x \cot x)]
- [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cot x) = -\csc^2x)]
위의 사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수에 역수를 취하고 몫의 미분법을 사용하면 유도할 수 있다.
4. 미분 육각형
삼각함수의 도함수를 외우게 하려고 고안된 육각형이다. 증명 방법과는 전혀 관련이 없으니 유의하자. 이 육각형에서 마주보는 꼭지점이 서로 역수 관계이다. 가운데에 그어진 선은 [math(+)], [math(-)] 경계선이다.이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 [math(\boldsymbol+)], [math(\boldsymbol-)] 부호를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. 이중선은 제곱하라는 뜻이다. 이때 같은 방향으로 따라가야 하며, 최대 두 번의 따라감만 허용하며, 이중선은 두 번 따라간 것으로 간주한다.
몇가지 예를 들어보도록 하자.
- [math(\sin{x})]의 도함수를 알고 싶을 땐, [math(\sin)]이 적힌 곳의 부호를 [math(+)]를 확인하고, 화살표를 따라가본다. 이 경우 [math(\cos)]으로 향하는 화살표밖에 없으므로 구하는 도함수는 [math(+\cos{x})]가 된다.
- [math(\cot{x})]의 도함수를 알고 싶을 땐, [math(\cot)]이 적힌 곳의 부호를 [math(-)]를 확인하고, 화살표를 따라가본다. 이 경우 [math(\csc)]으로 향하는 화살표밖에 없고, 이중선이므로 제곱하면 구하는 도함수는 [math(-\csc^{2}{x})]가 된다. 이중선을 지나왔으므로 2번 따라간 것으로 간주 돼, 더 이상 이동하면 안된다.
- [math(\csc{x})]의 도함수를 알고 싶을 땐, [math(\csc)]이 적힌 곳의 부호를 [math(-)]를 확인하고, 화살표를 따라가본다. 이 경우 [math(\csc)]로 돌아오다 [math(\cot)]로 향하므로 두 개를 곱한다. 따라서 구하는 도함수는 [math(-\csc{x}\cot{x})]가 된다. 이때, [math(\boldsymbol{\cot})]로 간 뒤 다시 [math(\boldsymbol{\csc})]로 향하는 화살표가 있어도 움직이면 안된다. 이는 최대 따라갈 수 있는 허용량 2를 초과했기 때문이다.
- [math(\displaystyle \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + \mathsf{const.})]
- [math(\displaystyle \int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + \mathsf{const.})]
[1]
다른 삼각함수는 [math(\pm\ln |\cdot|)] 꼴의 식이 나온다. 그나마 화살표 두 줄은 [math(\pm\ln |A|)]로, 갈라지는 화살표는 [math(\pm\ln |A\pm B|)] 꼴로 어떻게든 끼워맞출 수 있기는 하지만.