최근 수정 시각 : 2023-11-08 23:29:36

전송선

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1. 개요2. 필요성3. 모델4. 전신 방정식
4.1. 유도
5. 특성 임피던스(characteristic impedance)6. 임피던스 정합(impedance matching)7. 무손실(lossless) 전송선
7.1. 예제 1

1. 개요

漢: 傳 送 線 / En: transmission line

전자공학의 하위 분야인 전파공학에서 쓰이는 중요한 개념으로, 전파신호를 효율적으로 이동시키는 물건이다. 가청대역(20kHz) 이하의 주파수를 사용하는 전기용품들이나 음향기기들은 평범한 구리선에 달린 플러그를 꽂아서 사용한다. 하지만 이런 단순한 구리선은 진동수가 훨씬 큰, 흔히 "전파"라고 칭하는 신호를 보내기에는 부적절하다. 주파수가 올라갈 수록 해당하는 전자기파의 파장이 짧아지는데, 전송거리가 파장보다 크거나 비슷한 수준이면[1] 전송선 이론이 필요하다.[2]

2. 필요성

지점 A에서 지점 B로 교류(AC) 신호를 보내고 싶다고 가정하자. 그렇다면 전력의 근원(source)에서 부하(load)까지 어떤 도체를 연결하고, 또 그 부하에서 다시 근원으로 도체를 연결해야 한다. 하지만 절연체(insulator)로 분리된 2개의 도체는 커패시터이다. 따라서 이 두 도체 사이에는 분명히 커패시턴스(C)가 존재한다. 또한, 회로루프를 완성하면 전류가 흐르는데, 루프 + 전류는 인덕턴스(L)를 의미한다. 다시말해 금속선 자체에도 인덕턴스가 있다. 그래서 그냥 평범한 구리선 회로에도 약간의 커패시턴스와 인덕턴스가 존재한다. 다만 대게선 이것들을 무시하고, 금속선을 커패시턴스도, 인덕턴스도 없는 이상적인 도체선으로 취급한다. 그런데 지점 A와 B가 너무 멀리 떨어져 있으면 (교류의 파장에 맞먹는 길이 이상이면) 문제가 발생한다. 선이 길어지면 길어질수록, 총 커패시턴스와 인덕턴스도 증가한다. 커패시턴스와 인덕턴스는 각각 전압의 변화와 전류의 변화에 저항한다. 이것 때문에 신호가 A에서 B까지 가는데 시간이 걸린다. 이걸 이론적으로 기술하기 위한게 전송선 이론이다. 전송선 이론을 배제하고 단순히 회로이론 다루듯이 전송선로를 설계한다면 신호가 줄줄 새고(누설 전류, leakage current) 반사돼서 실제로 부하에 도달하는 전력(power)은 형편없을 것이다.

다음과 같은 예시들을 들어보자. 60 Hz 교류 전자파의 경우 [math(\lambda = \dfrac cf \fallingdotseq \dfrac{3 \times 10^8{\rm\,m/s}}{6 \times 10^1{\rm\,s^{-1}}} = 5 \times 10^6{\rm\,m} = 5000{\rm\,km})], 즉 파장이 5000 km인데, 서울과 부산을 전선으로 곧게 잇는다고 가정해도 325 km로 약 [math(\dfrac{\lambda}{15})] 정도 되므로 결코 무시할 수 없는 선로 길이가 된다. 따라서 이럴 때는 고전적인 회로이론(집중정수회로, lumped-element circuit, 전압·전류를 공간에 대해 독립적으로 놓는 것) 대신 전송선로 이론(분산정수회로, distributed-element circuit, 전압•전류를 공간에 대한 함수로 놓는 것)을 동원해서 모델링해야 한다. 물론 미국이나 중국같이 땅덩어리가 훨씬 더 큰 나라들은 더 이상의 자세한 설명은 생략한다. 이뿐만 아니라 반도체 공정의 경우 다른 의미에서 전송선로 이론이 필요하다. 전자(前者)는 낮은 주파수임에도 긴 길이에 대하여 해석하여야 해서 전송선로 이론이 필요한 반면, 후자(後者)는 짧은 길이임에도 높은 주파수(즉 짧은 파장)에 대하여 해석하여야 해서 전송선로 이론이 필요하다. 예를 들어 반도체소자를 5 GHz 클럭으로 작동시킨다고 하면, 파장은 [math(\lambda = \dfrac cf \fallingdotseq \dfrac{3 \times 10^8{\rm\,m/s}}{5 \times 10^9{\rm\,s^{-1}}} = 6 \times 10^{-2}{\rm\,m} = 6{\rm\,cm})], 즉 파장이 6 cm인데, 패키지 사이즈가 1 cm라 하면 선로길이가 [math(\dfrac{\lambda}6)]로 결코 무시할 수 없는 선로 길이가 된다. 따라서 이때도 전송선로 이론을 써야 하는 것이다.

최초의 해저케이블이 실패한 이유도 이걸 알지 못해서였다. 심지어 선을 강화하기 위해 금속으로 둘러 쌌기 때문에 C값이 매우 상승하여 단순히 모스코드를 쳐서 보내는 선로였는데도 신호가 제대로 전송되지 않았다.

3. 모델

파일:transmission_line.png

전송선 전체를 한꺼번에 논하기는 힘드니까[3] [math(\Delta x)]만큼의 미세한 부분을 분리해서 분석한다. 위 사진에서 보이는 [math(R)], [math(G)], [math(L)], [math(C)]는 각각 전송선의 단위길이(미소길이)당 저항, 컨덕턴스, 인덕턴스, 캐패시턴스다. 도체선은 완벽한 도체가 아니므로[4] 직렬로 [math(R)]만큼의 저항이, 두 도체선을 나누는 절연체 역시 완벽하지 않으니[5] 병렬로 [math(G)]만큼의 컨덕턴스가 있다고 가정한다. 다시 한번 강조하지만 [math(R)], [math(G)], [math(L)], [math(C)]는 단위길이당 값이다. 따라서 SI 단위들은 각각 [math(\Omega\rm/m)], [math(\mho\rm/m)], [math(\rm H/m)], [math(\rm F/m)]이다.

4. 전신 방정식

Telegraph(er's) equations. 전송선을 기술하는 지배 방정식(governing equations)은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x}V(x) &= -(R + j \omega L) I(x) \\
\frac{\rm d}{{\rm d}x}I(x) &= -(G + j \omega C) V(x)
\end{aligned})]

4.1. 유도

위 그림에서 맨 왼쪽의 전압을 [math(V)], 맨 오른쪽의 전압을 [math(V + \Delta V)]라 하자. 왼쪽의 저항기와 인덕터에 흐르는 전류를 [math(I)], 캐패시턴스와 그 옆에 흐르는 전류의 합을 [math(-\Delta I)]라 하자 (방향은 위에서 아래로). 그러면 오른쪽에 나오는 전류는 키르히호프의 법칙에 의해 [math(I + \Delta I)]다.

임피던스는 [math(Z \equiv \dfrac VI)]로 정의된다. 인덕터의 복소수 임피던스는 [math(j \omega L)], 커패시터(축전기)의 복소수 임피던스는[math(\dfrac1{j \omega C})], 저항기의 복소수 임피던스는 [math(R=\dfrac1G)]이다. 인덕터와 저항기는 직렬로 연결되어 있으니, 총 임피던스는 각각의 임피던스의 합인 [math(R + j \omega L)].

임피던스의 정의에 의해서 인덕터와 옆에 있는 저항기에 흐르는 전류는 왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 전압차에 비례한다.
[math(\begin{aligned}
V - (V + \Delta V) = (R + j \omega L)(\Delta x)I
\end{aligned})]

반면 컨덕터와 오른쪽의 저항기는 병렬로 연결되어 있다. 그래서 그들의 총 임피던스는 [math(\dfrac1{G + j \omega C})]. 임피던스 정의에 의해 오른쪽 윗쪽과 아랫쪽의 전압차는 두 도체 사이에 흐르는 전류에 비례한다.
[math(\begin{aligned}
I - (I + \Delta I) = (G + j \omega C)(\Delta x)(V + \Delta V)
\end{aligned})]

이제 양변을 [math(-\Delta x)]로 나누고 [math(\lim\limits_{\Delta x\to0})]을 취하면 [math(\dfrac{\Delta V}{\Delta x} \rightarrow \dfrac{{\rm d} V}{{\rm d}x}, \dfrac{\Delta I}{\Delta x} \rightarrow \dfrac{{\rm d} I}{{\rm d}x}, \Delta V \rightarrow 0)]이 성립하므로 위의 미분방정식들이 유도된다.

5. 특성 임피던스(characteristic impedance)

이 작은 전송선의 총 임피던스인 [math(Z_0)]는 무엇일까? 전신 방정식을 푼다음 [math(V(z) / I(z))]를 찾아내자.
일단 편의를 위해서 [math(R + j \omega L = Z)], 그리고 [math(G + j \omega C = Y)]로 치환하자. 그리고 전자파는 [math(+x)] 방향으로만 진행한다고 가정한다.

이제 전신 방정식을 둘다 한번씩 미분하면 다음의 관계가 유도된다.
[math(\begin{aligned}
\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2}V(x) = -Z\frac{\rm d}{{\rm d}x}I(x) = ZYV(x) \\
\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2}I(x) = -Y\frac{\rm d}{{\rm d}x}V(x) = ZYI(x)
\end{aligned})]

간단한 선형 이계 미분방정식들이다. 풀자.
[math(\begin{aligned}
V(x) = V_0e^{-\sqrt{ZY}x} \\
I(x) = I_0e^{-\sqrt{ZY}x}
\end{aligned})]

이제 하나를 골라서 미분하자.
[math(
\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}V(x) = -\sqrt{ZY}V_0e^{-\sqrt{ZY}x} = -ZI(x) = -ZI_0e^{-\sqrt{ZY}x} \\
\therefore \sqrt{ZY}V_0e^{-\sqrt{ZY}x} = ZI_0e^{-\sqrt{ZY}x})]

양변을 [math(\sqrt{ZY}I_0e^{-\sqrt{ZY}x})]로 나누면
[math(
\dfrac{V_0}{I_0} = \dfrac Z{\sqrt{ZY}} = \sqrt{\dfrac{Z^2}{ZY}} = \sqrt{\dfrac ZY} = \sqrt{\dfrac{R + j \omega L}{G + j \omega C}}\\
\therefore Z_0 = \sqrt{\dfrac{R + j \omega L}{G + j \omega C}})]
인 것을 알 수 있다.

6. 임피던스 정합(impedance matching)

유도의 과정을 보면 알 수 있듯, [math(V(x))]와 [math(I(x))]는 파동 방정식을 만족하므로, 파동이다.
우리는 [math(Z_0)]인 전송선로 소자로부터 오는 전압/전류 파동을 [math(Z_L)]만큼의 임피던스를 가진 다음 전송선로 소자, 또는 부하로 최대한 효율적으로 넘기고 싶다. 어떻게 해야 할까?

들어오는 전압 파동을 [math(V_i(x))], 반사되는 전압 파동을 [math(V_r(x))], 다음 소자로 전달되는 전압 파동을 [math(V_L(x))]라 하자. 임피던스의 정의에 의해, 들어오는 전류는 [math(I_i(x) = \dfrac{V_i(x)}{Z_0})], 반사되는 전류는 [math(I_r(x) = -\dfrac{V_r(x)}{Z_0})]. 후자에 마이너스가 붙는 이유는 반사파여서 반대쪽으로 이동하기 때문이다. 두 소자들의 경계에서 전압은 연속이여야 하니, [math(V_L(x) = V_i(x) + V_r(x))]다.

전류도 비슷하게 [math(I_L(x) = I_i(x) + I_r(x))]를 따른다. 여기에 전류들을 임피던스를 이용한 항들로 치환하면
[math(I_L(x) = \dfrac{1}{Z_0}(V_i(x) - V_r(x)))]

하지만 [math(I_L(x) = \dfrac{V_L(x)}{Z_L} = \dfrac{1}{Z_L}(V_i(x) + V_r(x)))]
정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{1}{Z_0}(V_i(x) - V_r(x)) = \frac{1}{Z_L}(V_i(x) + V_r(x))
\end{aligned} )]

이제 반사계수라는 것을 정의하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma \equiv \frac{V_r(x)}{V_i(x)}
\end{aligned} )]
효율적인 전송선로는 이 반사계수를 최소화할 것이다.

윗쪽 공식의 양변을 [math(V_i(x))]로 나누고 이 감마라는 반사계수의 정의를 사용하면 다음의 결과가 얻어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{1}{Z_0}(1 - \Gamma) = \frac{1}{Z_L}(1 + \Gamma) \\ \\
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rightarrow \frac{1}{Z_0}-\frac{\Gamma}{Z_0} = \frac{1}{Z_L}+\frac{\Gamma}{Z_L} \\ \\
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rightarrow \frac{\Gamma (Z_L + Z_0)}{Z_0Z_L} = \frac{1}{Z_0} - \frac{1}{Z_L} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_0Z_L} \\ \\
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rightarrow \Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}
\end{aligned})]

그렇다면 [math(Z_0 = Z_L)]일때 반사되는 파동이 없다는 걸 알 수 있다. 이것을 임피던스 정합(impedance matching)이라고 부른다.

7. 무손실(lossless) 전송선

[math(R = 0, G = 0)]인 전송선을 무손실(lossless) 전송선이라고 한다.[6] 주로 주파수가 높아질 수록 [math(R)]과 [math(G)]보다는 [math(C)]와 [math(L)]이 중요해져서 무손실 전송선에 가까워진다. 무손실을 가정하면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}
\end{aligned})]
가 된다.

7.1. 예제 1

동축 케이블(coaxial cable)은 대표적인 전송선이다.

파일:coax.png
[문제]
안쪽 도체선의 반지름이 [math(a)], 바깥쪽 도체까지의 반지름이 [math(b)], 그리고 그 사이에 있는 절연체의 유전율과 투과율이 [math(\varepsilon, \mu)]라고 가정할시, 무손실 동축 케이블의 임피던스를 구하라.

[math(Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}})]니까 [math(C)]와 [math(L)]을 구하면 된다. [math(h)]만큼의 길이를 가진 케이블 원소에 집중하자.
먼저 [math(C)]를 구하자. 단, 여기서 [math(C)]란 길이당 커패시턴스인걸 잊지 말자.
커패시턴스의 정의는 [math(Ch \equiv \frac{Q}{V})]. 안쪽 도체에 Q 만큼의 전하를, 바깥쪽 도체에는 -Q를 걸고 [math(V)]를 구해보자.

먼저 동축 케이블은 원통 대칭이란 점을 숙지하고, 가우스의 법칙을 써서 두 도체 사이에 있는 (절연체 안에 있는) 전기장을 구해보자. 가우스 도형은 반지름 [math(r)] (단, [math(a < r < b)])인 동축의 원통이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint \vec{D} \cdot \text{d}A = Q \\ \\
\rightarrow \oint \varepsilon\vec{E} \cdot \text{d}A = Q \\ \\
\rightarrow \vec{E} = \frac{Q}{\varepsilon h 2\pi}\frac{1}{r} \hat{a}_{\rho}
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
V = -\int_l \vec{E} \cdot \text{d}\vec{l}
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rightarrow V = \int_a^b \frac{Q}{\varepsilon h 2 \pi} \frac{1}{r} \text{d}r = \frac{Q}{\varepsilon h 2 \pi}\ln(b/a)
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rightarrow \frac{Q}{V} = \frac{2h\pi\varepsilon}{\ln(b/a)} \\ \\
\rightarrow C = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}
\end{aligned})]

이번에는 [math(L)]을 구해보자.
인덕턴스의 정의는 [math(Lh \equiv \frac{\Phi}{I})]. 안쪽 도체에는 [math(I)], 바깥쪽 도체에는 [math(-I)]만큼의 전류가 흐른다고 치자. 그러면 앙페르의 법칙으로 두 도체 사이에 있는 (절연체 안에 있는) 자기장을 구할 수 있다. 반지름이 [math(r)]인 원을 앙페르 루프로 사용하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\oint \vec{B} \cdot \text{d}l = \mu I \\ \\
\rightarrow \vec{B} = \frac{\mu I}{2\pi r}\hat{a}_{\rho}
\end{aligned})]

자기선속인 [math(\Phi)]는 [math(\oint_S \vec{B}\cdot \text{d}S)]다. 여기서 S는 절연체 안에 있는 길이 [math(h)], 너비 [math(b-a)]의 직사각형이다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Phi = h\int_a^b\frac{\mu I}{2 \pi}\frac{1}{r} \text{d}r
\rightarrow \Phi = \frac{\mu I h}{2 \pi}\ln(b/a)
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rightarrow \frac{\Phi}{I} = Lh = \frac{h\mu}{2\pi}\ln(b/a)
\end{aligned})]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rightarrow L = \frac{\mu}{2\pi}\ln(b/a)
\end{aligned})]

마지막으로 전에 유도한 임피던스 공식에 이 결과들을 대입하면 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\ln(b/a)}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}
\end{aligned})]

[1] 교과서에 따라서는 [math(\dfrac{\lambda}{50} < l < 50\lambda)]로 설명하기도 한다. 여기서 [math(\lambda)]는 파장, [math(l)]은 전송거리를 의미한다. [2] 참고로 [math(l < \dfrac{\lambda}{50})]일 때는 회로이론으로 커버되고, [math(l > 50\lambda)]일 때는 optical theory를 사용해야 한다. [3] 만약 이런 방식으로 순진하게 분포정수회로를 분석할 생각이라면 수천~수만 개에 달하는 저항, 인덕터, 캐패시터를 직병렬 혼합으로 일일이 다 계산하는 장대한 노가다를 수행해야 한다. [4] 즉 전력 손실이 발생하니 [5] 즉 누설 전류가 존재하니 [6] 이때 복소 전파( 電 波)상수(complex wavenumber) [math(\gamma)]에서 [math(\Re(\gamma) = 0)]이므로 [math(\gamma = j \Im(\gamma))]의 순허수가 된다는 점도 유의하자. 여기서 실수부인 [math(\Re(\gamma))]는 감쇠상수(attenuation constant), 허수부인 [math(\Im(\gamma))]는 전파( 傳 播)상수 또는 위상상수(propagation or phase constant)라고 부른다.

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