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이산수학 Discrete Mathematics |
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1. 개요
調 和 數 列 / harmonic sequence(progression)[math(\{1,\,1/3,\,1/5,\,1/7,\,\cdots\})]처럼 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 조화수열이라고 한다. 다시 말해서, 수열 [math(\{1/a_n\})]이 등차수열이면, 수열 [math(\{a_n\})]은 조화수열이다.
현악기의 현의 길이가 조화수열인 [math(\{1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\,\cdots\})]의 형태일 때 화음이 가장 듣기 좋다고 하여 붙은 이름이다.
아래의 성질에서 볼 수 있듯이 수열 4종 세트( 등차수열, 등비수열, 조화수열, 계차수열) 중에서 해석학의 성격이 가장 강한 수열이다.
2. 일반항
등차수열 [math(\{1/{a_n}\})]의 초항이 [math(a)], 공차가 [math(d)]이면 다음이 성립한다.[math(\dfrac1{a_n}=a+(n-1)d)]
이렇게 되는 이유는 수열의 귀납적 정의 참고. [math(\{1/{a_n}\})]이 등차수열이므로 [math(\{a_n\})]은 조화수열이며 일반항은 다음과 같다.
[math(a_n=\dfrac1{a+(n-1)d})]
만약 조화수열의 초항을 [math(a)]로 둔다면 역수를 취한 등차수열의 초항은 [math(1/a)]이므로 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}\dfrac1{a_n}&=\dfrac1a+(n-1)d\\&=\dfrac{1+a(n-1)d}a \end{aligned})]
따라서 일반항은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d} \end{aligned})]
3. 조화중항
[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 조화수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 조화중항 또는 조화평균이라고 하며, 세 항은 다음 관계를 만족시킨다.[math(b=\dfrac{2ac}{a+c})]
이를 증명하여 보자. [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 조화수열의 연속한 세 항이므로, [math(1/a)], [math(1/b)], [math(1/c)]은 등차수열을 이룬다.
[math(\begin{aligned}\dfrac1b &=\cfrac{(1/a)+(1/c)}2\\&=\cfrac{{(a+c)}/{ac}}2\\&=\dfrac{a+c}{2ac}\end{aligned})]
따라서 조화중항은 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}b&=\dfrac{2ac}{a+c}\end{aligned})]
4. 함수로 해석하기
조화수열의 일반항은[math(a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d})]
꼴이므로 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수로 해석할 수 있다. [math(ad \neq 0)]인 경우에 한하여 식을 적당히 조작하면
[math(\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d}\\ &=\cfrac{{a}/{ad}}{(n-1)+(1/{ad})}\\ &=\cfrac{1/d}{n-\{1-(1/{ad})\}}\end{aligned})]
이므로 [math(n)]축을 횡축, [math(a_n)]축을 종축으로 하여 그린 그래프는 다음과 같은 점근선을 갖는다.
- [math(n=1-\dfrac1{ad})]
- [math(a_n=0)]: 횡축([math(n)]축)과 일치
또한 [math(d>0)]이면 우상단과 좌하단에, [math(d<0)]이면 좌상단과 우하단에 그래프가 그려진다.
[math(d=0)]인 경우 0으로 나눌 수 없으므로 분모와 분자를 [math(ad)]로 나누는 계산은 성립하지 않는다. 이 경우 처음 식에 [math(d=0)]을 대입하면 그대로 [math(a_n=a)]의 상수함수가 되므로 그래프가 [math(x)]축에 평행한 직선이 된다.
5. 조화수열의 합
등차수열이나 등비수열과 달리 조화수열의 합을 구하는 간단한 공식은 없고 보통 아래의 정적분을 이용한다.[math(\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t )]
항의 개수가 적을 경우 부분분수분해를 해서 통분하는 것이 더 빠르다. 자세한 내용은 조화수 문서를 참고하라.
6. 극한
조화수열의 일반항은 등차수열의 일반항의 역수이므로 조화수열[math(a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d})]
의 극한은 [math(a)]의 부호와 관계없이 다음과 같다.
[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&0\; &(d\neq 0)\\&a\; &(d=0)\end{aligned}\end{cases})]