1. 개요
Electric dipole moment1.1. 일반적 정의
일반적으로 전기 쌍극자(Electric Dipole)는 전하량은 같고, 전하 부호는 다른 두 전하가 일정 거리 떨어져 있는 것을 나타낸다.이때, 양전하 [math(+q )] 음전하 [math(-q )]가 [math(d)]만큼 떨어져있을 때, 전기 쌍극자 모멘트(Electric Dipole Moment)는 다음과 같이 정의된다.
[math( \displaystyle \mathbf{p} \equiv q\mathbf{d} )]
이때, [math(\mathbf{d} )]는 크기 [math(d \ll 1 )]이고, 방향은 음전하로 부터 양전하를 가리키는 방향으로 정의되는 벡터이다.
이 전기 쌍극자 모멘트는 계의 극성을 나타내는 척도가 된다.
1.2. 확장
이것을 확장하게 되면, [math(N)]개의 전하가 있는 경우엔 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 정의된다.[math( \displaystyle \mathbf{p} = \sum_{i=1} ^{N} q_{i}\mathbf{r'}_{i} )]
이때, [math(\mathbf{r}_{i} )]는 전하 [math({q}_{i} )]까지의 위치벡터이다.
전하가 연속적으로 분포된 계는 합을 적분으로 쓸 수 있어,
[math( \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq )]
로 쓸 수 있고, 전하밀도(Charge density) [math( \rho )]를 도입하면,
[math( \displaystyle \mathbf{p} = \iiint \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'})\,dV' )]
로 쓸 수 있다.
이때, 계의 총 전하(Net charge)가 [math(0 )]인 경우엔 쌍극자 모멘트는 원점에 의존하지 않으나, 총 전하가 [math(0 )]이 아닌 경우는 원점에 의존하게 되므로 원점을 어디를 택하느냐에 따라 쌍극자 모멘트가 달라진다. 그런경우, 일반적으로 원점은 계의 질량중심으로 잡는 게 일반적이다. 이것에 대한 증명은 세 번째 문단에 있다.
1.2.1. 예제 : 표면에 대전된 구
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[문제] 축이 [math(z)]축인 반지름이 [math(R)]인 구 표면에 표면 전하 밀도 [math(\sigma=\sigma_{0}\cos{\theta})]로 대전되어있을 때, 이 구의 전기 쌍극자 모멘트를 구하시오. |
- [풀이 보기]
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확장된 전기 쌍극자 모멘트
[math( \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq )]
를 사용하자. 현재 전하가 분포하는 곳은 구의 표면이므로 [math(\mathbf{r'}=R\mathbf{\hat{r}})]이다. 이것을 직교 좌표계[1]로 쓰면,
[math( \displaystyle \mathbf{r'}=R(\mathbf{\hat{x}}\sin{\theta '}\cos{\phi '}+\mathbf{\hat{y}}\sin{\theta '}\sin{\phi '}+\mathbf{\hat{z}}\cos{\theta '}) )]
또한, 미소 전하 [math(dq= R^{2}\sigma_{0}\cos{\theta'}\, d \Omega')]이므로
[math( \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq=R^{3}\sigma_{0}\mathbf{\hat{z}} \oint_{\Omega} \cos^{2}{\theta '}\, d \Omega' )]
참고로, [math(x,\,y)]성분은 [math(\phi)] 대칭성에 따라 온 공간의 입체각에 대해 적분할 때 상쇄됨에 따라 기입하지 않았다. 따라서
[math( \displaystyle \mathbf{p} =\frac{4}{3}\pi \sigma_{0} R^{3} \mathbf{\hat{z}} )]
가 된다.
이 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 아래의 내용을 참고하면,
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} = \frac{\sigma_{0}}{3\varepsilon_{0}} \frac{R^{3}}{r^{2}}\cos{\theta} )]
임을 알 수 있다. 사실 전기 퍼텐셜 문서에서 같은 상황으로 구 내·외부의 전기 퍼텐셜 분포를 구해보았고, 외부의 상황과 같게 나왔음을 알 수 있다. 즉, 이 상황은 구 중심에 위에서 도출되었던 쌍극자가 있는 상황과 완전히 같다는 것을 알 수 있다.
1.3. 화학적 접근
하나의 공유 결합 내에서, 전자가 두 개의 원자 중 전기 음성도가 큰 원자 쪽으로 더 많이 끌리게 된다. 여기서 상대적으로 전기 음성도가 큰 원자는 [math((-))]전하를 띠게 되고, 전기 음성도가 작은 원자는 [math((+))]전하를 띄게 되는 것을 쌍극자라 한다. 이때 두 극의 세기와 두 원자핵 사이의 거리를 곱한 벡터량을 쌍극자 모멘트라 하고, 방향은 [math((-))]극에서 [math((+))]극으로 향하는 쪽이다. 따라서 산소, 질소와 같이 전기 음성도가 같은 두 원자로 이루어진 분자는 쌍극자 모멘트가 0인 무극성 분자이다.
분자가 전기장 내에 놓일 경우, 전자가 전기장에 의해 힘을 받아 이동하므로 무극성 분자도 유도된 쌍극자 모멘트를 가질 수 있다.
2원자 분자에 쌍극자 모멘트가 있다면 그 분자는 반드시 극성 분자이고, 3원자 이상의 분자는 쌍극자 모멘트가 있더라도 그 합이 0이면 무극성 분자이다.
특성상 고분자에 가까워질수록 쌍극자 모멘트는 옅어진다. 한편, 주위에서 흔하게 볼 수 있는 물질 중 쌍극자 모멘트가 특히 강한 것으로는 설탕이 있다.
용질과 용매의 전기 쌍극자 모멘트가 다르면 용해도가 매우 낮아진다. 멀리 갈 것 없이 기름장만 봐도 알 수 있다.
2. 전기 쌍극자의 물리량
2.1. 전기 퍼텐셜 · 전기장
전기 쌍극자가 자유공간에 놓여있는 경우에서 쌍극자로부터 [math( r \gg d )]만큼 떨어진 곳에서의 전기 퍼텐셜은[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )]
| {{{#!folding [ 증명 ] |
<table width=100%>그림과 같이 구면 좌표계[2]의 [math( z)]축 위에 있고, 쌍극자의 중점이 원점인 쌍극자 [math( \mathbf{p})]를 고려하자. 이때, 원점으로 부터 [math( r)] 만큼 떨어진 곳에서의 전기 퍼텐셜 [math( \Phi(r))]는 [math( +q)]에 의한 전기 퍼텐셜 [math( \Phi_{+})]와 [math( -q)]에 의한 전기 퍼텐셜 [math( \Phi_{-})]의 합이므로 [math(\Phi(r)=\Phi_{+}+\Phi_{-})] 가 된다. 따라서 점전하의 전기 퍼텐셜를 사용하면, [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r_{+}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r_{-}} \right |} \right ))] 로 쓸 수 있다. 이때, 다음을 이용하면, [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{r_{+}}&=\mathbf{r}-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}} \\ \mathbf{r_{-}}&=\mathbf{r}+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}} \end{aligned})] 다음과 같이 쓸 수 있다. [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r}-(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r}+(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |} \right ))] 이때, [math(\displaystyle \left | \mathbf{r}\pm(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |=\left ( r^{2}+\frac{d^{2}}{4}\mp rd\,\cos{\theta} \right )^{1/2})] 이고, [math(d \ll r )]이면, [math(\displaystyle \frac{1}{\left | \mathbf{r}\pm(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |}=\frac{1}{r} \left ( 1+\frac{d^{2}}{4r^{2}}\mp \frac{d}{r}\cos{\theta} \right )^{-1/2}\simeq \frac{1}{r} \left ( 1\pm \frac{d}{2r}\,\cos{\theta} \right ))] 로 근사적으로 쓸 수 있으므로 [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}})] 가 나오게 된다. 이때, 아래를 고려하면, [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}&=qd\mathbf{\hat{z}} \\ \mathbf{p}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r} &=qdr\cos{\theta} \end{aligned})] 최종적으로 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜를 좌표계에 무관하게 쓰면, [math( \displaystyle \Phi(r) = \frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )] 가 된다. |
}}} |
으로 나타내고, 전기장은 전기 퍼텐셜의 그레이디언트로 주어지므로
[math( \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\Phi = \frac{3(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )]
으로 나타낸다. [math(\varepsilon_{0})]는 자유공간의 유전율을 나타낸다.
| {{{#!folding [ 증명 ] |
<table width=100%>위에서 [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}})] 임을 구했으므로 전기장이 전위의 그레이디언트로 주어지는 것을 이용하자. 이때, 위에서 구한 것은 구면 좌표계에서 주어진 식이므로 [math(\displaystyle \mathbf{E} =-\boldsymbol{\nabla}\Phi=\frac{2qd\cos{\theta} \mathbf{\hat{r}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}+\frac{qd\sin{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}})] 따라서 정리하면, [math(\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left (\frac{2qd\cos{\theta}}{r^{3}}\mathbf{\hat{r}}+\frac{qd\sin{\theta}}{r^{3}}\hat{\boldsymbol{\theta}} \right ))] 이고, 이것을 다시 쓰면, [math(\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}} \left [ 3qd\cos{\theta}\mathbf{\hat{r}}+ qd \left ( \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\mathbf{\hat{r}} \right ) \right ])] 이때, 다음을 고려하면, [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}&=qd\mathbf{\hat{z}} \\ qd&=\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}} \\ \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\mathbf{\hat{r}}&=- \mathbf{\hat{z}} \end{aligned})] 최종적으로 [math( \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) = \frac{3(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )] 로 좌표계와 무관하게 쓸 수 있다. |
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전기 쌍극자가 형성하는 전기력선과 등전위선은 아래와 같다. 실선은 전기력선이며, 점선은 등전위선이다.
전하의 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장과 비슷한 것을 알 수 있고, 아래의 문단을 보면 사실 상 거의 동일한 것임을 알 수 있다.
찾은 전기장은 전하의 부호가 다른 두 전하의 간격가 극단적으로 줄어들었거나, 두 전하로 부터 극단적으로 먼 곳의 전기장[3]을 측정할 때 위의 장이 나오게 된다. 그러나 이것 역시도 근사이므로 두 전하의 간격을 무시할 수 없거나, 쌍극자로 다가갈수록 전기장은 위 식을 따르지 않고, 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장으로 가게 된다. (이를 잘 나타낸 그림)
2.2. 돌림힘과 힘
2.2.1. 전기장 내에서 받는 돌림힘
균일한 전기장 [math( \mathbf{E} )]안에 전기 쌍극자 모멘트 [math( \mathbf{p} )]가 있을 때, [math( \mathbf{p} )]에 작용하는 돌림힘은[math( \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E} )]
로 주어지고, 이때 쌍극자가 가지는 에너지는
[math( U=-\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} )]
이다.
그러나, 전기 쌍극자 모멘트가 균일하지 않은 전기장 [math( \mathbf{E} )]안에 있을 때, 받는 힘은
[math( \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E}+\mathbf{r} \times \mathbf{F})]
로 주어진다.
여기서 [math(\mathbf{r})]는 쌍극자의 위치 벡터와 [math(\mathbf{F})]는 쌍극자가 전기장 영역 속에서 받는 힘이다. 이때, [math(\mathbf{F})]는 후술 하듯, [math( \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E})] 로 주어지게 된다.
2.2.2. 전기장 내에서 받는 힘
전기 쌍극자 모멘트가 전기장 [math( \mathbf{E} )]안에 있을 때, 받는 힘은[math( \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E} )]
로 주어진다.
| {{{#!folding [ 증명 ] |
<table width=100%>전기장 내에 있는 쌍극자 [math( \mathbf{p} )]의 [math( -q )]와 [math( q )]까지의 위치 벡터를 각각 [math( \mathbf{r} )], [math( \mathbf{r_{+}} )]라 하자.[4] 전기장 내에서 점전하가 받는 힘은 [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \mathbf{E} (\mathbf{r}))] 으로 주어지므로 쌍극자가 받는 힘은 각각의 전하가 받는 힘의 벡터 합이다. 즉, [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}(\mathbf{r_{+}})-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ])] 로 쓸 수 있다. 이때, [math(\displaystyle \mathbf{r_{+}}=\mathbf{d}+\mathbf{r})] 로 쓸 수 있으므로 [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} )-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ])] 이다. 이때, 쌍극자는 일반적으로 [math(d \ll r )]를 만족하므로 [math(\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} ) \simeq \mathbf{E}(\mathbf{r} )+(\mathbf{d} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} ))] 으로 전개[5]해서 쓸 수 있다. 따라서 [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q (\mathbf{d} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )= (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} ))] 으로 정리되므로 [math(\displaystyle \mathbf{F}= (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E})] 가 나오게 된다. |
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정전기학에서 다루는 전기장 [math( \mathbf{E})]의 발산[6]과 회전[7]은 [math( 0)]이 되고, 전기 쌍극자 모멘트 [math( \mathbf{p})]는 상수 벡터이므로 [math( \mathbf{p})]가 전기장 내에서 받는 힘은 다음과 같이도 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \mathbf{F} = - \boldsymbol{\nabla}U = \boldsymbol{\nabla}(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}))][8][math( = (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E} )]
3. 전기 퍼텐셜의 다중극 전개
이번엔 국소화된 전하분포를 멀리서 관찰할 때, 어떤 방법으로 계를 분석할 수 있는지 알아보자. 그림과 같이 전하 분포 [math(\rho(\mathbf{r'}))]을 가지는 계에 대해 고려해보자.이때, 전기 퍼텐셜(Electric potential)은 다음과 같이 주어진다.
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\iiint \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\frac{\rho(\mathbf{r'})}{\left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right | }\,dV')]
이때,
[math( \displaystyle \left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{-1} =(r^2+r'^{2}-2rr' \cos{\theta} )^{-1/2} )]
이고, [math(r\gg r')]라면, 이것을 르장드르 다항식의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다.
[math( \displaystyle (r^{2}+r'^{2}-2rr' \cos{\theta})^{-1/2}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{r'}{r} \right )^{n} P_{n}(\cos{\theta})= \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) )]
이상에서 전기 퍼텐셜은
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} }\iiint \rho(\mathbf{r'})\left [ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) \right ]\,dV' )]
로 주어진다.
따라서 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 전개할 수 있다.
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} } \left [\frac{1}{r} \iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^2} \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^3} \iiint r'^{2} \left ( \frac{3}{2}\cos^{2}{\theta}-\frac{1}{2} \right ) \rho(\mathbf{r'})\,dV'+\boldsymbol{\cdot}s \right ] )]
여기서 첫째 항부터 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, [math(\boldsymbol{\cdot}s)], [math(2^{n-1})]극자항이라 부른다.
위의 논의는 다음을 얻는다.
| 국소화된 전하분포를 멀리서 전기 퍼텐셜을 관측하면, 그것은 홀극자, 쌍극자, 사극자, …의 전기 퍼텐셜의 합으로 근사시킬 수 있다. |
전기 쌍극자에 대해 논의하므로 이제부터는 제 2항만 논의하도록 한다. 해당 항을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}} )]
이때, 전기 쌍극자를 다음으로 정의한다.
[math( \displaystyle \mathbf{p} \equiv \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' )]
이것은 맨 위의 확장 부분에서 소개했던 것이다.
따라서 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은
[math( \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}}= \frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )]
으로 위와 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
원점을 [math(\mathbf{R})]만큼 이동했을 때, 기술되는 쌍극자를 [math(\mathbf{p'})]라 하면, 이 좌표계에서 [math(\mathbf{R'}=\mathbf{r'}-\mathbf{R})]가 되므로
[math( \displaystyle \mathbf{p'}= \iiint \mathbf{R'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'=\iiint (\mathbf{r'}-\mathbf{R}) \rho(\mathbf{r'})\,dV' )]
이것을 전개하면,
[math( \displaystyle \mathbf{p'}=\iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'-\mathbf{R}\iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV' )]
[math(\mathbf{R})]는 적분과 무관한 상수벡터이므로 적분 밖으로 나올 수 있다. 여기서 제 1항은 [math(\mathbf{p})]이고, 제 2항의 적분은 곧 총전하인데, 이것을 [math(Q)]라 놓으면 다음을 얻는다.
[math( \displaystyle \mathbf{p'}=\mathbf{p}-Q\mathbf{R} )]
위의 논의는 다음을 얻는다.
| 전기 쌍극자 모멘트는 계의 총전하가 0이 아닌 이상 좌표계의 원점에 의존한다. |
4. 편극 밀도
5. 관련 문서
[1]
직교 좌표계에서
다중극 전개를 하였기 때문에 기저 벡터는 직교 좌표계의 기저 벡터를 쓰는 것이 옳다.
[2]
다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 [math(\Phi )]방향에 대한 대칭성이 있어 우선 구면 좌표계로 특수한 상황의 전기 퍼텐셜을 구하고, 좌표계에 무관한 꼴로 고치는 것이 쉽기 때문에 구면 좌표계를 택한 것이다.
[3]
이를테면, 수소 원자의 경우도 양성자와 전자로 구성된 전기 쌍극자로 볼 수 있는데, 거시적인 세계에서 볼 때를 기준으로는 두 전하는 극단적으로 간격이 줄어든 것으로 보이고, 수소 원자 입장에서도 거시적인 우리 세계는 극단적으로 먼 곳이므로 위와 같은 전기장이 나오게 된다.
[4]
다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다.
[5]
테일러 급수의 벡터 버전.
[6]
[math( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = \rho\, / \, \varepsilon_0)]이므로 전하가 없는 영역에서는 전기장의 발산은 [math( 0)]이 된다.
[7]
정전기학은 기본적으로 보존장을 다루기 때문이다.
[8]
[math( \mathbf{p} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) )][9][math( + \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{p}))][10][math( + (\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{p})][11][math( + (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E})]